Уравнения полных дифференциалов

 

∂Φ   ∂x =  f, ∂Φ   ∂t =  g

(5)

и, следовательно,

 

∂f   ∂t =  ∂2Φ   ∂t∂x ,   ∂2Φ   ∂x∂t =  ∂g   ∂x .

Поэтому из известной теоремы о равенстве смешанных производных вытекает следующий необходимый признак уравнения в полных дифференциалах:

 

 

∂f   ∂t =  ∂g   ∂x ((t, x) ∈ J1×J2).	(6)

Мы сейчас покажем, что он является и достаточным, и заодно опишем алгоритм нахождения функции Φ(t, x). Будем считать в уравнении (5) переменную t параметром,x — аргументом, Φ — неизвестной функцией. Тогда

 

Φ = ∫ x    x0 f(t, ξ) dξ + C(t)

и

 

 

∂Φ   ∂t = ∂   ∂t ∫ x    x0 f(t, ξ)  dξ + C′(t) = g(t, x),

т. е.

C′(t) = g(t,x)  –  ∂   ∂t ∫ x    x0 f(t, ξ)  dξ.

Воспользовавшись известным правилом Лейбница дифференцирования интеграла по параметру, получим

 

∂   ∂t ∫ x    x0 f(t, ξ) dξ  =  ∫ x    x0 ∂f(t, ξ)   ∂t dξ  =  ∫ x    x0 ∂g(t, ξ)   ∂ξ  dξ  = g(t, x) – g(t, x0).

 

Поэтому

 

C′(t) = g(t, x0), C(t) = ∫ x    x0 g(s, x0) ds + C1.

Таким образом, при выполнении условия (6) в качестве Φ можно взять функцию

 

Φ(t, x) = ∫ x    x0 f(t, ξ) dξ + ∫ x    x0 g(s , x0) ds,	(7)

где t0, x0 — произвольные фиксированные точки промежутков J1 и J2, соответственно.

Итак, если f и g непрерывны на J1×J2 вместе с ∂f/∂t и ∂g/∂x и удовлетворяют условию (6), то (1) есть уравнение в полных дифференциалах, для которого функция Φ находится с помощью описанного алгоритма или непосредственно по формуле (7).

 

Пример. Решим уравнение

 

 

(3t2 – x2)dt + (3x2 – 2tx)dx = 0.

(8)

 

Для него

 

g(t, x) = 3t2 – x2;    ∂g   ∂x = – 2x;

f(t, x) = 3x2 – 2tx;    ∂f   ∂t = – 2x.

Условие полного дифференциала (6) выполнено в D = R×R. Найдем Φ(t, x). Поскольку

 

∂Φ   ∂x = 3x2 – 2tx,

очевидно

 

Φ = ∫ x    x0 (3ξ2 – 2tξ) dξ + C(t) =

= [ξ3 – tξ2]| x    x0 + C(t) = x3 –  tx2 + C(t).

 

а так как

 

∂Φ   ∂t = – x2 + C′(t) = 3t2 x2,

очевидно, C′(t) = 3t2. Поэтому C(t) = t3 + C1 и, следовательно, Φ(t, x) = x3 – tx2 + t3. Мы нашли полный интеграл:

 

 

x3 – tx2 + t3 = C   (t, x ∈ D1).

Интегрирующий множитель. Если для уравнения (1) условие полного дифференциала (6) не выполнено, то иногда удается найти функцию μ = μ(t, x), такую, что для уравнения

 

μ · f(t, x)dx + μ · g(t, x)dt = 0	(9)

оно уже выполнено. В этом случае функция μ называется интегрирующим множителем. Общего способа нахождения интегрирующего множителя не существует, однако можно указать простые признаки существования и прием построения интегрирующих множителей, зависящих только от x или только от t.

Если, например, считать, что μ зависит только от x, то

 

 

∂μ · f   ∂t = μ ∂f   ∂t = ∂μ · g   ∂x = μ′ + μ ∂g   ∂x ,

и аналог условия (6) для (9) выглядит так:

 

 

μ′ = [ ( ∂f   ∂t –  ∂g   ∂x ) / g ] · μ.	(10)

Если выражение в квадратных скобках не зависит от t, то (10) есть линейное однородное уравнение относительно μ = μ(x); оно легко решается и дает интегрирующий множитель для (1).

Аналогично ищется интегрирующий множитель, зависящий только от t.

 

 

Пример. Найдем интегрирующий множитель μ = μ(x) для уравнения

 

 

(3t2/x2 – 1)dt + (3 – 2t/x)dx = 0	(11)

(оно получено почленным делением уравнения (8) на x2, поэтому мы заранее знаем, что интегрирующий множитель μ = x2 существует). Выпишем для уравнения (11), умноженного почленно на μ, условие полного дифференциала:

 

∂μ · (3 – 2t/x)   ∂t = μ · ( – 2   x ) ;

∂μ · (3t2/x2 – 1)   ∂x = μ′(3t2/x2 – 1) + μ · ( – 6t2   x3 ) ;

μ′ = [ ( – 2   x + 6t2   x3 ) / (3t2/x2 – 1) ] · μ = 2   x μ.

Поскольку выражение в квадратных скобках оказалось не зависящим от t, искомый интегрирующий множитель существует и находится из уравнения:

 

∂μ   μ = 2dx   x ;   μ = Cx2.

В частности, мы получили уже известный нам заранее интегрирующий множитель μ = x2.

 

 

Обобщенное утверждение об уравнении в полных дифференциалах. Пусть в уравнении

 

 

f1(x)dx1 + f2(x)dx2 + ... + fn(x)dxn = 0	(12)

функции fi(x) = fi(x1, ..., xn) непрерывны вместе со своими частными производными ∂fi/∂xk (i ≠ k) на декартовом произведении интервалов J1 × J2×... × Jn = D.

Тогда левая часть уравнения (12) будет полным дифференциалом некоторой функции Φ(x) в том и только том случае, если

 

 

∂Φi   ∂xk = ∂Φk   ∂xi (i, k = 1, 2, ..., n;  i ≠ k; x ∈ D).

 

При этом функция Φ находится по формуле

 

Φ(x) = n  ∑  k = 1 ∫ xk    x0k f(x1, ..., xk–1, ξ, x0k+1, ..., x0n)  dξ

(x0k ∈ Jk — произвольные фиксированные точки), а полный интеграл уравнения (12) можно записать в виде

Φ(x) = C    (x ∈ D1).

В частности, условиям данной теоремы удовлетворяет уравнение с разделенными переменными

 

f1(x1)dx1 + f2(x2)dx2 + ... + fn(xn)dxn = 0,

если функции fk: Jk → R непрерывны; полный интеграл имеет вид

F1(x1) + F2(x2) + ... + Fn(xn) = 0,

где Fk — первообразная fk (k = 1, ..., n).

 

 

Пример: уравнение гармонического осциллятора. Умножив обе части известного из школьного курса физики уравнения гармонического осциллятора

 

x′′ + ω2x = 0	(13)

на dx, получим

x′′dx + ω2xdx = 0.	(14)

Заметив, что x′′dx = x′′x′dt = x′dx′, мы придем к уравнению вида (12):