Фильтр Калмана-Бьюси

Федеральное агентство по образованию Российской Федерации

Национальный минерально-сырьевой  университет «Горный»

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Кафедра: Автоматизация технологический процессов и производств

 

 

 

Реферат по теме: «Фильтр Калмана-Бьюси»

 

 

 

 

Выполнила:          гр. АПМ-10-1                                                   /Воробьева А.С./

/Ложкина А.С./

/Апполонова Т.Ю./

 

Проверил:                                                 ___________         /Блинов В.А./

                                                                                                                                                                                    (Ф.И.О.)

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2014 г

 

Содержание

 

 

Введение

 

С давних времен естествоиспытатели и инженеры интересовались исследованием окружающего их физического или технического мира. При этом для понимания сущности некоторого процесса необходимо экспериментально определить лежащие в его основе закономерности с помощью исследования и наблюдения и представить их в форме математической модели. Цель построения модели состоит обычно в получении количественных выводов о поведении рассматриваемой системы, либо для описания процесса, оканчивающегося в настоящее время, либо для предсказания будущих событий и экспериментов.

С течением времени математическая модель физического мира все более совершенствуется. Наряду с этим растут и требования к точности процедур измерения, оценивания и экстраполяции интересующих исследователей величин.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

История теории фильтрации

 

Начало современной теории фильтрации датируется 1940 годом, когда независимо друг от друга появились процедуры Колмогорова и Винера (Работа Винера была связана С измерением траекторий полета с помощью радара и опубликована лишь в 1945 году). Колмогоров и Винер рассматривали стационарные процессы, бесконечный интервал наблюдения и фильтр, не зависящий от времени. В качестве критерия качества была взята среднеквадратичная ошибка. Искомой была весовая функция или весовая последовательность фильтра, делающая значение критерия как можно меньшим.

В случае непрерывного времени необходимым и достаточным условием оптимальности весовой функции является ставшее известным интегральное уравнение Винера — Хопфа. Аналогом для дискретного времени является соответствующее уравнение в виде суммы для оптимальной весовой последовательности. Мы рассмотрим оба эти уравнения в обобщенной форме. Винер привел также изящный метод решения интегрального уравнения Винера - Хопфа. Он состоит в том, чтобы преобразовать уравнение в частотной области и определить фильтр с помощью частотной характеристики посредством специального разложения встречающихся спектральных плотностей. Разложение спектральной плотности некоторого случайного процесса в произведение двух зеркально симметричных сомножителей соответствует конструкции частотной характеристики упомянутой системы передачи информации, порождающей рассматриваемый процесс из белого шума. Это толкование было дано в 1950 году Боде и Шенноном на основе решения Винера. И поныне эта так называемая концепция формирующего фильтра имеет центральное значение в теории фильтрации.

Уже давно делались попытки снять ограничительные предположения теории Колмогорова - Винера, чтобы расширить область ее применения. В 1952 году Бутон обобщил исходное интегральное уравнение Винера - Хопфа на случай нестационарных процессов и фильтров, зависящих от времени. При этом, однако, решение проблемы было изучено лишь в математическом смысле, ибо с технической точки зрения результат выглядел незавершенным. Действительно, в противоположность винеровсквй процедуре, здесь не было практического метода ни для исследования интегрального уравнения, ни для реализации зависящей от времени весовой функции. Примерно в 1955 году Фоллин и другие рассмотрели задачу фильтрации при конечном времени наблюдения. Они обнаружили, что параметр соответствующего фильтра даже для стационарных процессов зависит от времени и установили определяющее дифференциальное уравнение. Далее было показано, что решение этой системы дифференциальных уравнений при t совпадает со значением параметра в фильтре Винера. Бьюси показал позднее, что параметр фильтра может быть вычислен с помощью дифференциальных уравнений также и для нестационарных процессов. Подобное исследование для дискретного времени было выполнено Сверлингом в 1958 году. Калман связал сформулированную им в пространстве состояний теорию наблюдения линейных систем с понятием ортогональной проекции случайных векторов и опубликовал в 1960 году рекуррентный алгоритм в форме системы разностных уравнений для фильтра и его коэффициента усиления Этот результат, справедливый для нестационарных векторных процессов с дискретным временем, зависящих от времени фильтров и произвольной длительности интервала наблюдения ввиду его общности и математической элегантности будет ниже рассмотрен. Совместно с Бьюси в 1961 году Калман получил соответствующий результат для непрерывного времени. При этом задача фильтрации сформулирована в пространстве состояний, установлен зависящий от времени матричный вариант интегрального уравнения Винера - Хопфа, который далее преобразован в эквивалентную систему дифференциальных уравнений.

Начиная с этой пионерской работы, появились многочисленные публикации, в том или ином виде посвяшенные развитию процедуры фильтрации Калмана - Бьюси. Поразительно к тому же множество различных способов вывода уравнений, определяющих решение. С течением времени были обнаружены различные связи с другими процедурами оценивания, например, с байесовским оцениванием, методом максимума правдоподобия, а также с методом минимальной среднеквадратичной ошибки и методом наименьших квадратов.

 

Фильтр Калмана-Бьюси

 

Поведение во времени некоторой динамической системы может быть вычислено, если задана математическая модель этой системы, и кроме того, известны входные воздействия и начальные условия. 

Цель построения динамической модели состоит обычно в получении количественных выводов о поведении рассматриваемой системы, либо для описания процесса, оканчивающегося в настоящее время, либо для предсказания будущих событий и экспериментов. 

Знание внутреннего состояния системы имеет при этом фундаментальное значение как при определении изменения во времени заданной динамической системы, так и при построении управляющей функции, которая должна осуществлять целенаправленное влияние на поведение системы. Однако зачастую внутреннее состояние системы недоступно измерению по техническим причинам. В этих случаях оно должно быть вычислено на основании результатов измерений выхода системы. Ввиду ошибок измерений это вычисление приводит, вообще говоря, не к точному, а лишь приближенному значению - к так называемой оценке внутреннего состояния системы. 

Изначально, данная задача решалась с помощью более простых методов, например метода наименьших квадратов, которые не учитывали случайные ошибки. Если же относительно ошибки измерения известны некоторые подробности, например, ее матожидание и дисперсия, то методами теории вероятностей можно получить лучшее, или оптимальное значение оценки. В этом случае ошибки наблюдения измерительного устройства, а также неизвестные входные воздействия (возмущения) интерпретируются как векторные случайные процессы и говорят о задаче стохастической фильтрации. В данном направлении Калманом были развиты такие две основные идеи: 1)динамическая система рассматривается, как перемещение в пространстве состояний; 2) линейная фильтрация рассматривается как ортогональная проекция в гильбертовом пространстве. Метод Калмана-Бьюси учитывает как результаты измерений, представляющие собой полезный сигнал плюс случайная помеха, так и свойства исследуемой системы путем введения в уравнения фильтра уравнения динамики системы. Вычислительная ценность алгоритма фильтрации Калмана-Бьюси обусловлена его реккурентной формой, что позволило существенно снизить нагрузки на ЭВМ, поскольку поступающие вновь результаты измерений сразу же обрабатываются и не нуждаются в дальнейшем хранении. Кроме того, метод Калмана-Бьюси дает возможность: 1) получать наилучшие в смысле минимума дисперсии линейные оценки на основании известных статистических характеристик входных переменных и помех измерений; 2) обрабатывать измерения по мере их поступления, что позволяет, в принципе, использовать метод в реальном масштабе времени; 3) получать практически реализуемую структуру оптимального фильтра (в отличие, например, от фильтра Винера- Колмогорова), решать задачи синтеза многомерных динамических систем; 4) строить фильтры с конечной, растущей и бесконечной памятью для различных сигналов (стационарных или нестационарных, непрерывных или дискретных) при произвольном распределении датчиков измерений и времени их включения и работы; 5) сохранять структуру алгоритма при совместном решении задач оптимальной фильтрации и оптимального управления. 

Целью работы является изучение методов фильтрации Калмана-Бьюси случайных векторных процессов. Рассматривается ситуация, когда коэффициенты фильтра не зависят от времени.

Пусть   - пара случайных величин, из которых   - наблюдаема, а   наблюдению не подлежит. Возникает вопрос: как по значениям наблюдений над   "оценить"  ненаблюдаемую компоненту  ? 

Пусть   - борелевская функция. Случайная величина   называется  оценкой   по  , а величина   - среднеквадратической ошибкой этой оценки. 

Оценка   называется оптимальной (в среднеквадратическом смысле), если                          

где   берется по классу всех борелевских функций    

Имеют место следующие утверждения:  

Теорема 1. Пусть   Тогда оптимальная оценка   существует, и в качестве нее может быть взята функция                                       

  

Теорема 2. Пусть   - гауссовский вектор с   Тогда оптимальная оценка   по   есть                           

а ее ошибка                        

 

Пусть   - гауссовский вектор, где     

Справедлива следующая теорема:  

Теорема (о нормальной корреляции). 

Для гауссовского вектора   оптимальная оценка   вектора   по   и ее матрица ошибок                            

задаются следующими формулами:                               

                                                                            

 

где 

 - векторы-столбцы средних значений  

 - матрицы ковариаций, и предполагается, что существует матрица   

Пусть   - частично наблюдаемая последовательность случайных векторов, таких что                                      

                                       

При этом последовательность   управляется рекуррентными соотношениями                             

  

Согласно теореме 1,   является оптимальной в среднеквадратическом смысле оценкой вектора   а

    есть матрица ошибок оценивания. 

Задача фильтрации состоит в отыскании этих величин для произвольных последовательностей   управляемых уравнениями (1). Предположим, что условное распределение   является гауссовским,                

                        

с параметрами     

Тогда справедлива следующая теорема:   

Теорема Калмана-Бьюси. 

Пусть   - частично наблюдаемая последовательность, удовлетворяющая (1) и (2). Тогда   подчиняются следующим реккурентным уравнениям:

Рассмотрим примеры на применение фильтра Калмана-Бьюси.

Пример 1. Рассматриваются две стационарные некоррелированные случайные последовательности   и   со средними значениями   и спектральными плотностями            

где 

 

Последовательность   рассматривается как полезный сигнал, для которого находится оптимальная линейная оценка   и среднеквадратическая ошибка  . Последовательность   играет роль шума, и наблюдению подлежит последовательность   такая что   

Пример 2. Рассмотрена проблема определения отказа работы реактивных двигателей стабилизации системы управления космического аппарата. Данная проблема приводит к невыполнению целевой задачи и отказу типа "неотключение" двигателя, что является причиной больших потерь рабочего тела и раскрутки космического аппарата до недопустимых угловых скоростей. Построен алгоритм идентификации отказов двигателей стабилизации в дискретном времени с помощью фильтра Калмана-Бьюси, имеющий вид:                           

                            

                                 

                                        

где   - оценка вектора состояния,

 - переходная матрица для вектора  состояния,

 - матрица измерений,

 - ковариационная матрица ошибок  фильтрации,

 - ковариационная матрица ошибок  прогноза,

 - матричный коэффициент усиления,

 - ковариационная матрица шумов  измерения,

Работа алгоритма основана на анализе величины оцениваемого в фильтре Калмана-Бьюси возмущающего момента. 

Если математическое ожидание оценки возмущающего момента, вычисленного на некоторой временной базе, где управление равно нулю, превосходит допустимый порог, то принимается решение об отказе двигателей стабилизации.

 

Нецентрированные начальные воздействия и измеряемые входные воздействия

 

Сформулируем поэтому сейчас следующую теорему: Пусть состояния системы и результаты наблюдений описываются соотношениями

 

Предполагаются заданными входные воздействия . Тогда линейная несмещенная оценка состояния с минимальной среднеквадратической ошибкой определяется уравнением: