Автор работы: Пользователь скрыл имя, 24 Мая 2015 в 01:16, реферат
С давних времен естествоиспытатели и инженеры интересовались исследованием окружающего их физического или технического мира. При этом для понимания сущности некоторого процесса необходимо экспериментально определить лежащие в его основе закономерности с помощью исследования и наблюдения и представить их в форме математической модели. Цель построения модели состоит обычно в получении количественных выводов о поведении рассматриваемой системы, либо для описания процесса, оканчивающегося в настоящее время, либо для предсказания будущих событий и экспериментов.
Наблюдаемый процесс и фильтр Винера. Слева - частное представление, справа - представление в пространстве фазовых переменных.
Матрица ковариации ошибки оценивания удовлетворяет матричному дифференциальному уравнению Риккати
Доказательство: В соответствии с уравнением минимальной среднеквадратической ошибкой оценка, очевидно, линейна по y. Для доказательства несмещенности образуем разность дифференциальных уравнений результатов поведения системы и и построим, дифференциальное уравнение для ошибки оценивания:
Начальное условие , a также возмущения и имеют нулевые математические ожидания. Следовательно, математическое ожидание равняется нулю для всех , независимо от значений и Последнее означает, что оценка ад является несмещенной. Матрица ковариации начального значения ошибки равна
Дальнейшее изменение со временем матрицы должно удовлетворять тому же матричному дифференциальному уравнению Риккати, что и в случае. и равенства начальных условий P(t0) в обоих случаях матрица для всех t также имеет одинаковые значения. Поэтому дисперсии , стоящие на главной диагонали матрицы будут минимальными.
Учет в фильтре известных входных воздействий и заданного значения математического ожидания величины уже был сделан на рисунок.
Поскольку матричное дифференциальное уравнение Риккати лишь в немногих тривиальных случаях имеет аналитическое решение, так обычно оно должно быть решено с помощью численных процедур. Поэтому без больших вычислительных машин даже примеры едва ли могут быть просчитаны. Напротив, в случае дискретного времени по крайней мере примеры от первого и в некоторых случаях до третьего порядка могут быть исследованы с помощью логарифмической линейки или настольной вычислительной машины.
Предсказание T
Искомой теперь является оценка будущих состояний на основе наблюдений функции , проведенных до текущего момента времени t. Эта оценка также должна удовлетворять некоторому уравнению Винера - Хопфа. Поскольку, однако, оно справедливо лишь для центрированных случайных переменных, то здесь вновь предположим прежде всего, что математическое ожидание начального состояния и входные воздействия равны нулю. В дальнейшем будем исходить из уравнения Винера – Хопфа/ При незначительных модификациях его можно записать в виде
Будущее состояние системы можно выразить через текущее с помощью формулы для общего решения дифференциального уравнения Имеем
При этом ковариация интеграла с равняется нулю, поскольку будущие значения возмущений некоррелированы с прошлыми значениями наблюдений. Оставшееся равняется
Последнему условию можно удовлетворить при
где - значение оптимального фильтра
Вынесем из-за знака математического ожидания. Оставшаяся часть математического ожидания, имеющую вид
Тогда линейная несмещенная оценка с минимальной среднеквадратичной ошибкой будущего состояния при T t дается формулой
Здесь - переходная матрица, соответствующая , а - оценка текущего состояния .
Заключительные замечания
Исходя из двух отправных пунктов, именно, следящего устройства с непрерывным временем и фильтра с дискретным временем, построен фильтр Калмана - Бьюси с помощью предельного перехода so времени аналогично фильтру Калмана. Определенная трудность для систем с непрерывным временем связана с корректной интерпретацией белого шума. Отмеченная проблематика выражается, в частности в том, что соответствующая матрица ковариации содержит дельта-функцию. Используя подходящие меры предосторожности, связанные в особенности с рассмотрением дельтафункции лишь под знаком интеграла и применением ее свойств, можно устранить щекотливые моменты.
Выводы из исследования коррелированных возмущений и шумов в наблюдении, цветших шумов и систематических ошибок для дискретного времени сохраняют силу и в непрерывном времени.
Список литературы