Формалізована аксіоматична теорія натуральних чисел

 

МІНІСТЕРСТВО  ОСВІТИ І НАУКИ, МОЛОДІ ТА СПОРТУ

Бердянський державний педагогічний університет

Інститут фізико-математичної і  технологічної освіти

Кафедра математики та методики викладання математики

 

 

 

 

 

 

 

Формалізована аксіоматична теорія натуральних чисел

(Курсова робота)

 

 

 

 

 

                                           Студентки 5 курсу

денної форми навчання

 

Науковий керівник:

старший викладач

 

 

 

 

 

 

 

 

Бердянськ – 2012

 

ЗМІСТ

 

ВСТУП……………………………………………………………………………….	3
РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ФОРМАЛІЗОВАНОЇ АКСІОМАТИЧНОЇ ТЕОРІЇ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ ………………………………………………...	5
Основні відомості про аксіоматичну теорію натуральних чисел…………	5
Поняття про формалізовану аксіоматичну теорію натуральних чисел…………………………………………………………………………	10
Можливості і межі формалізації ……………………………………………	16
Висновки до першого розділу……………………………………………………...	19
РОЗДІЛ ІІ. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМАЛІЗОВАНОЇ АКСІОМАТИЧНОЇ ТЕОРІЇ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ НА ПРАКТИЦІ………………………………	20
2.1. Приклади застосування формалізованої аксіоматичної теорії натуральних чисел на практиці…………………………………………………………………...	20
ВИСНОВКИ…………………………………………………………………………	26
СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ…………………………………………..	27

 

 

ВСТУП

 

У безлічі формул виділяється підмножина аксіом, і задається кінцеве число правил виводу - таких правил, за допомогою яких (і тільки за допомогою їх) з аксіом і раніше виведених теорем можна утворити нові теореми. Всі аксіоми також входять до числа теорем. Іноді (наприклад в аксіоматиці Пеано) теорія містить нескінченну кількість аксіом, що задаються за допомогою однієї або декількох схем аксіом. Таким способом задається формальна аксіоматична теорія.

Повнота аксіоматичної теорії - логіко-методологічна вимога до аксіоматично побудованим теоріям і полягає  в тому, що в даній аксіоматичної, формальній системі мають бути доведені (тобто виведені з аксіом) усі  істинні речення цієї теорії. У  зв'язку з розрізненням синтаксичних і семантичних аксіоматичних  теорій вимога повноти диференціюється; виділяється синтаксична повнота  в слабкому сенсі (всі пропозиції, що належать некоректній системі, виводяться або спростовуються в ній) і в  сильному сенсі (після додавання  до аксіомам пропозиції , не виведеного в цій системі, вона стає суперечливою), семантична повнота щодо певної моделі (кожне речення, відповідне істинному  висловом в даній моделі, що виводиться в цій системі).

У ході досліджень достатньо  багатих аксіоматичних теорій (наприклад, арифметики ) була доведена (Гедел' - 1931 та наступні результати) їх принципова не повнота, тобто наявність таких  пропозицій, які в їх рамках недоведені. Вимога повноти не є абсолютно  неминучою умовою успішної аксіоматизації: неповні теорії можуть мати успішні  практичні додатки.

Дослідженню формалізованої аксіоматичної теорії натуральних  чисел присвяченні роботи таких  вчених як Л. М. Вивальнюк, І. Т.Демидов, О. І. Бородін, А. М. Френкель  та ін.

У 30-і рр.. XX століття Курт Гедель показав, що є цілий клас теорій першого порядку, що є неповними. Більш того, формула, яка стверджує несуперечність теорії, також невиведені засобами самої теорії . Цей висновок мав величезне значення для математики, так як формальна арифметика (а на ній базується теорія дійсних чисел, без якої не можна уявити сучасну математику) є якраз такою теорією першого порядку, а отже, формальна арифметика і всі теорії, що містять її, у тому числі теорія дійсних чисел, є неповними.

Мета дослідження: розкрити елементи формалізованої аксіоматичної теорії натуральних чисел.

Об’єкт дослідження: елементи формалізованої аксіоматичної теорії натуральних чисел.

Предмет дослідження: пошук оптимальних розв’язків задач формалізованої аксіоматичної теорії натуральних чисел.

Завдання дослідження:

1. Вивчити  наукову, психолого-педагогічну та навчальну літературу з предмету дослідження. 
2. Розкрити теоретичні основи формалізованої аксіоматичної теорії натуральних чисел.
3. Систематизувати теоретичні відомості,  розкрити елементи формалізованої аксіоматичної теорії натуральних чисел.

Курсова робота складається  зі вступу, двох розділів, висновків, переліку літератури. Загальний обсяг роботи 28 сторінок.

 

 

РОЗДІЛ І. ТЕОРЕТИЧНІ ОСНОВИ ФОРМАЛІЗОВАНОЇ АКСІОМАТИЧНОЇ  ТЕОРІЇ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ

1. Основні відомості про аксіоматичну теорію натуральних чисел

 

Аксіоматичний метод — спосіб побудови наукової теорії, при якому в основу теорії кладуться деякі вихідні положення, що їх називають аксіомами теорії, а всі інші положення теорії випливають як логічні наслідки аксіом. Більшість напрямків сучасної математики, теоретична механіка, ряд розділів фізики побудовані на основі аксіоматичного методу. В математиці аксіоматичний метод дає можливість створення закінчених, логічно завершених наукових теорій. Не менше значення має й те, що математична теорія, побудована аксіоматично, часто знаходить застосування в інших науках.

У математиці аксіоматичний метод зародився в роботах давньогрецьких геометрів. Блискучим зразком його застосування аж до XIX ст. була геометрична система, відома під назвою «Начала» Евкліда (бл. 300 до н.е.). Хоча в той час не поставало ще питання про опис логічних засобів, застосовуваних для отримування змістовних наслідків з аксіом, у системі Евкліда вже досить чітко прослідковується ідея отримання всього основного змісту геометричної теорії чисто дедуктивним шляхом, з певного, відносно невеликого, числа тверджень — аксіом, істинність яких уявлялася наочно очевидною.

Відкриття на початку XIX ст. неевклідової геометрії М. І. Лобачевським та Я. Больяї стало поштовхом до подальшого розвитку аксіоматичного методу. Вони встановили, що, замінивши звичний і, здавалося б, єдино «об'єктивно істинний» V постулат Евкліда про паралельні прямі його запереченням, можна розвивати чисто логічним шляхом геометричну теорію, настільки ж струнку і багату змістом, як і геометрія Евкліда. Цей факт змусив математиків XIX ст. звернути особливу увагу на дедуктивний спосіб побудови математичних теорій, що призвело до виникнення зв'язаної із самим поняттям аксіоматичного методу і формальної (аксіоматичної) математичної теорії нової проблематики, на основі якої виросла так звана теорія доведень як основний розділ сучасної математичної логіки.

Розуміння необхідності обґрунтування математики і конкретні задачі в цій області зародилися в більш-менш виразній формі вже в XIX ст. Уточнення основних понять аналізу і зведення складніших понять до найпростішого на точній і логічно усе міцнішій основі, а також відкриття неевклідових геометрій стимулювали розвиток аксіоматичного методу і виникнення проблем загальнішого математичного характеру, таких, як несуперечність, повнота і незалежність тієї чи тієї системи аксіом.

Перші результати в цій області  приніс метод інтерпретацій, який може бути описаний у такий спосіб. Нехай кожному вихідному поняттю і співвідношенню даної аксіоматичної теорії Т поставлений у відповідність певний конкретний математичний об'єкт. Сукупність таких об'єктів називається полем інтерпретації. Усякому твердженню U теорії Т природним чином ставиться у відповідність певне висловлення U* про елементи поля інтерпретації, яке може бути істинним чи помилковим. Тоді говорять, що твердження U теорії Т відповідно істинне або помилкове в даній інтерпретації. Поле інтерпретації і його властивості звичайно самі є об'єктом розгляду певної математичної теорії T₁, яка, зокрема, може бути теж аксіоматичною.

Метод інтерпретацій дозволяє встановлювати факт відносної несуперечливості, тобто довести твердження типу: «якщо теорія T₁ несуперечлива, то несуперечлива і теорія Т». Нехай теорія Т проінтерпретована в теорії T₁ таким чином, що всі аксіоми А_і теорії Т інтерпретуються істинними твердженнями А_і* теорії Т₁. Тоді всяка теорема теорії Т, тобто всяке твердження А, логічно виведене з аксіом А_і в Т, інтерпретується в T₁ певним твердженням А*, яке можна вивести у Т з інтерпретацій А*_і аксіом А_і, і отже істинним. Останнє твердження спирається на ще одне припущення, що робиться неявно нами, певної подібності логічних засобів, застосовуваних у теоріях Т и Т₁. Практично ця умова звичайно виконується. Нехай тепер теорія Т суперечлива, тобто якесь твердження А цієї теорії виведене в ній разом зі своїм запереченням. Тоді з вищесказаного випливає, що твердження А* та «не А*» будуть одночасно істинними твердженнями теорії Т₁, тобто теорія Т₁ суперечлива. Цим методом була, напр., доведена (Ф. Клейн, А. Пуанкаре) несуперечливість неевклідової геометрії Лобачевського в припущенні, що несуперечлива геометрія Евкліда, а питання про несуперечливість гільбертової аксіоматизації евклідової геометрії був зведений (Д. Гільберт) до проблеми несуперечливості арифметики.

Метод інтерпретацій дозволяє також  вирішувати питання про незалежність систем аксіом: для доказу того, що аксіома А теорії Т не виводима з інших аксіом цієї теорії і, отже, істотно необхідна для отримання всього обсягу даної теорії, досить побудувати таку інтерпретацію теорії Т, у якої аксіома А була б помилкова, а всі інші аксіоми цієї теорії істинні. Згадане вище зведення проблеми несуперечливості геометрії Лобачевского до проблеми несуперечливості евклідової геометрії, а цієї останньої — до питання про несуперечливість арифметики має своїм наслідком твердження, що V постулат Евкліда невиводимій з інших аксіом геометрії, якщо тільки несуперечливою є арифметика натуральних чисел.

Слабкий бік методу інтерпретацій  полягає в тому, що в питаннях несуперечливості і незалежності систем аксіом він дає можливість одержувати лише результати, що носять відносний  характер. Важливим досягненням цього  методу став той факт, що з його допомогою  була виявлена особлива роль арифметики як такої математичної теорії, до питання про несуперечності якої зводиться аналогічне питання для цілого ряду інших теорій.

Подальший розвиток — у відомому смислі це була вершина — аксіоматичний метод дістав у роботах Д. Гільберта і його школи. У рамках цього напряму було вироблено подальше уточнення поняття аксіоматичної теорії, а саме поняття формальної системи. У результаті цього уточнення виявилося можливим представляти самі математичні теорії як точні математичні об'єкти і будувати загальну теорію, або метатеорію, таких теорій. При цьому привабливою представлялася перспектива (і Д. Гільберт був у свій час нею захоплений) вирішити на цьому шляху всі головні питання обґрунтування математики. Усяка формальна система будується як точно окреслений клас виразів — формул, у якому певним точним образом виділяється підклас формул, що називають теоремами даної формальної системи. При цьому формули формальної системи самі не несуть у собі ніякого змістовного смислу; їх можна будувати з довільних знаків або елементарних символів, керуючись тільки міркуваннями технічної зручності. Насправді спосіб побудови формул і поняття теореми тієї чи тієї формальної системи вибираються з таким розрахунком, щоб весь цей формальний апарат можна було застосовувати для якомога адекватнішого і повнішого вираження тієї чи тієї конкретної математичної (або не математичної) теорії, точніше, як її фактичного змісту, так і її дедуктивної структури. Усяку конкретну математичну теорію Т можна перекласти на мову придатної формальної системи S таким чином, що кожне осмислене (неправдиве або істинне) висловлювання теорії Т виражається певною формулою системи S.

Природно було сподіватися, що метод  формалізації дозволить будувати весь позитивний зміст математичних теорій на такій точній і, здавалося б, надійній основі, як поняття виведеної формули (теореми формальної системи), а принципові питання типу проблеми несуперечності математичних теорій вирішувати формі  доказів відповідних тверджень  формальних систем, які формалізують ці теорії. Щоб одержати доведення  тверджень про несуперечливість, що не залежать від тих потужних засобів, які в класичних математичних теоріях саме і є причиною ускладнень їх обґрунтування, Д. Гільберт пропонував досліджувати формальні системи  т.зв. фінітними методами (див. Метаматематика).