Формалізована аксіоматична теорія натуральних чисел

Таким чином, Гедель дав строго логічне  обґрунтування нездійсненності ідеї Р. Карнапа про створення єдиного, універсального, формалізованого «фізикалістськи» мови науки. Тобто з геделевской теореми "про неповноту» випливає, що точна формалізована система, яка виступає як мова науки, не може вважатися абсолютно адекватною системі обєктів, бо деякі змістовно істинні пропозиції не можуть бути отримані засобами даного формалізму, а це означає, що формалізація мови науки не знижує, а навпаки, припускає змістовні моменти в побудові мовної системи.

Результати робіт Геделя викликали  інтенсивні дослідження обмеженості  формальних систем (роботи А. Черча, С. Кліні, Тарського та ін.) Теореми  Альфреда Тарського (1902-1984) про формалізації поняття істини для досить багатих формалізованих теорій виявили обмеженість дедуктивних і виразних можливостей формалізмів. Тарський довів внутрішню обмеженість виразних можливостей формалізованих теорій - неможливість строго формальними методами передати все те пізнавальне зміст, який виражається досить багатими змістовними науковими теоріями, що зазнали формалізації. Таким чином, так звані обмежувальні Черча теореми, Тарського і Геделя переконливо показують, що зі складу математики та формальної логіки не можна виключити пропозиції, які через певні змістовних мотивів, не можна не визнати дійсними, але які тим не менш неможливо розвязати на основі правил побудови відповідних формальних систем.

У філософському плані ці теореми  означали затвердження принципову неможливість повної формалізації наукового знання. Застосування аксіоматичних і формальних методів дослідження має свої межі.

 

 

Висновки до першого  розділу

 

Аксіоматичний метод — спосіб побудови наукової теорії, при якому в основу теорії кладуться деякі вихідні положення, що їх називають аксіомами теорії, а всі інші положення теорії випливають як логічні наслідки аксіом.

Для арифметики принципово неможливо  вичерпати весь обсяг її змістовно  істинних суджень класом виводимих  формул хоч якою формальною системою і що немає жодної надії отримати яке-небудь фінітне доведення несуперечливості арифметики, тому що, очевидно, усяке  розумне уточнення поняття фінітного  доведення виявляється формалізуємим  у формальній арифметиці.

Більшість напрямків сучасної математики, теоретична механіка, ряд розділів фізики побудовані на основі аксіоматичного методу. В математиці аксіоматичний метод дає можливість створення закінчених, логічно завершених наукових теорій. Не менше значення має й те, що математична теорія, побудована аксіоматично, часто знаходить застосування в інших науках.

 

 

РОЗДІЛ ІІ. ЗАСТОСУВАННЯ ФОРМАЛІЗОВАНОЇ АКСІОМАТИЧНОЇ ТЕОРІЇ НАТУРАЛЬНИХ ЧИСЕЛ НА ПРАКТИЦІ

 

2.1. Приклади застосування  формалізованої аксіоматичної теорії  натуральних чисел на практиці.

1. Довести, що .

Доведення.

1. (аксіома індукції).
2. (дістали з 1) підстановкою ).
3. (аксіома 4 порядку).
4. (дістали з 3) підстановкою ).
5. (дістали з 3) підстановкою ).
6. (аксіома 2 порядку).
7. (дістали з 6) за допомогою правила перестановки умов).
8. (дістали з 7) підстановками: ).
9. (дістали з 5) і 8) за допомогою правила висновку).
10. (дістали з 9) правилом зв’язування квантором).
11. (вивідна формула в мові ).
12. (дістали з 4),10) і 11) правилом висновку).
13. (дістали з 2) і 12) правилом висновку).
14. ( дістали з 13) підстановкою ).
15. (дістали з 14) правилом зв’язування квантором).

Послідовність формул є доведенням формули , яка є теоремою в системі .

2. Довести, що .

Розв’язання. 1) Припустимо, що . Цього бути не може, бо .

2) Припустимо, що  . Тоді існує таке, що . З того, що , випливає що існує натуральне число таке, що . Тоді маємо і . Отже, не може. Припущення неправильне.

3. Довести, якщо , то (якщо і ), .

 Розв’язання. 

;

2. ;
3. ;

.

4. Довести, що для будь-якого натурального n справджується нерівність:

.

Розв’язання.

Для n=1 доводжуване твердження має такий вигляд:

.

Далі припускаємо, що твердження задачі правильне для n=k, тобто

,                                                                     (1)

доведемо, що воно правильне  і для n=k+1, тобто

.                                                           (2)

Помноживши обидві частини  нерівності (1) на додатний дріб , маємо:

.

Таким чином, залишається  довести, що

.                                                                  (3)

Помноживши обидві частини  нерівності на і підносячи обидві частини до квадрата, дістанемо:

, або

.                                                (4)

Нерівність (4) правильна, оскільки k 1. Отже, нерівність (3) доведена; звідси правильна і нерівність (2). За аксіомою , нерівність правильна для всіх натуральних n.

5. Нехай де

Із рівностей 

; n=2           

; n=3

; n=4      

 Робимо індукційний  висновок, що 

Доведемо цю формулу 

1 спосіб доведення:

1) При n=2  маємо   . Формула вірна.

Припустимо, що при n=k, k>2 формула  справджується, тобто

.

Враховуючи це припущення, доведемо, що вона вірна і при n=k+1.

Формула справджується і  при n=k+1.

Отже, за принципом повної математичної індукції, вона вірна  і при  ,

 

2 спосіб доведення:

При доведенні даної  тотожності за допомогою методу математичної індукції корисно було б зробити  так:

Записати цю тотожність при n=k.               (1)

потім при n=k+1.                    (2)

Поділити (2) на (1), ліву частину  на ліву, праву на праву

.

Одержали один і той  самий вираз  , а це значить, що за методом математичної індукції можна сказати, що дана тотожність справджується при всіх натуральних n.

 

6. Довести, що сума 1³+2³+3³+...+n³ при будь-якому цілому значенні квадратом цілого числа.

Доведення.

n=1                                  1³=1²

n=2              1³+2³+3³=1+8=(1+2)²

n=3        1³+2³+3³=1+8+27=(1+2+3)²

Із цих рівностей робимо індуктивний висновок, що 1³+2³+3³+...+n³=(1+2+3+…+n)².

Враховуємо, що 1+2+3+…+n (за формулою суми n перших членів арифметичної прогресії, у якої a₁=1; a_n=n; d=1).   1+2+3+…+n

Доведемо це.

1. При n=1,2,3 ми перевірили, твердження справджується.
2. Зробимо припущення, що при n=k

1+2+3+…+k , де - ціле число.

Доведемо, що S_k+1= і число - ціле.  Маємо:

S_k+1= S_k+(k+1)³; враховуємо припущення, тоді  S_k+1 +(k+1)³=(k+1)²( +k+1)=(k+1)²

.

(k+1) і (k+2) – це два  послідовних натуральних числа.  Одне з них обов’язково ділиться  на 2. Отже, добуток (k+1)(k+2) ділиться  на 2. Значить, число 

 ціле. Твердження справджується. 

За припущенням математичної індукції воно вірне і при будь-якому  .

7. Довести, що при будь-якому натуральному значенні n>3 нерівність

.

Доведення

1) При n=4 маємо     

Дійсно,

  Нерівність вірна.

2) Припустимо, що нерівність  вірна і при n=k, тобто

  (*)

Доведемо, що нерівність вірна  і при n=k+1, покажемо, що

.

Додамо до обох частин нерівності (*) дріб

Маємо:

тому що

 і  

Отже, нерівність вірна і  при n=k+1.

 

Тоді за узагальненим принципом  математичної індукції нерівність вірна  і для , якщо n>3.

 

ВИСНОВКИ

 

У нашій роботі було розглянуто основні відомості та поняття про аксіоматичну теорію натуральних чисел. Також були розглянуті теоретичні відомості про можливості і межі формалізації.

Ми розглянули змістовну теорія. Система аксіом цієї теорії категорична і незалежна. Несуперечливість не може бути доведена за методом моделей, бо при цьому доведеться користуватися моделями складнішої природи, в несуперечливості яких менше впевненості, ніж у несуперечливості арифметики. Абсолютне доведення несуперечливості в цій теорії також неможливе, бо тут немає поняття формального доведення, Отже, впевненість у несуперечливості змістовної теорії має науково-природничий, досвідний характер, такий, як скажімо, наукові гіпотези у фізиці або хімії, які не можна вивести формально. В цій теорії ми не маємо повної гарантії від суперечностей, але є досить велика практична впевненість в її несуперечливості.

Розуміння необхідності обґрунтування математики і конкретні задачі в цій області зародилися в більш-менш виразній формі вже в XIX ст. Уточнення основних понять аналізу і зведення складніших понять до найпростішого на точній і логічно усе міцнішій основі, а також відкриття неевклідових геометрій стимулювали розвиток аксіоматичного методу і виникнення проблем загальнішого математичного характеру, таких, як несуперечність, повнота і незалежність тієї чи тієї системи аксіом.

За допомогою методичної літератури були приведені приклади застосування формалізованої аксіоматичної теорії натуральних чисел на практиці.

 

 

 

 

 

 

СПИСОК ВИКОРИСТАНИХ ДЖЕРЕЛ

 

1. Арнольд И.  В. Теоретическая  арифметика.— 2-е изд.— М. : Учпедгиз, 1939.— 400 с.

2.  Бородін О. І. Теорія  чисел.— 3-є вид,— К. : Вища шк., 1970.— 

274 с.

3.  Бухштаб А. А. Теория  чисел.—М. : Учпедгиз, 1960.— 375 с.

4.  Вивальнюк Л. М  . Числові системи.— К. : Вища шк. Головне вид-во,

1977.— 184 с.

5.  Гонин Е. Г. Теоретическая  арифметика.— М. : Гос. учеб.-пед. 

изд-во Министерства просвещения  РСФСР, 1959.— 232 с.

6.  Демидов И. Т. Основания  арифметики.— М. : Гос. учеб.-пед.  изд-во 

Министерства просвещения  РСФСР, 1963.— 159 с.

7.  Завало С. Т. Арифметика, алгебра і елементи аналізу.—  К. : Рад. 

шк., 1969.— 503 с.

8.  Колмогоров А. Н.  Величины // БСЭ.—3-є изд.—1971.—Т. 4.— 

С. 456-457.

9.  Колмогоров А. Н.  Научные основы школьного курса  математики //

Математика в шк. Лекция 1.— 1969.— № 3.— С. 12—17; Лекция 2.— 1969.—  № 5.— С. 8—17; Лекция 3.— 1970.— № 2. —  С. 27—32.

10.  Колмогоров А. Н.  О системе основных понятий  и обозначений для 

школьного курса математики // Математика в шк.— 1971.—№ 2.— 

С. 17—22.

11.  Кужель О. В. Основи  арифметики.— К. : Рад. шк., 1965.—  131 с.

12.  Ландау Э. Основы  анализа.— М. : Изд-во иностр. лит. 1947.— 

182 с.

13.  Нечаев В . Я. Числовые  системы.— М. : Просвещение, 1975. —

199 с.

14.  Нечаев В. И. Упорядоченные  множества и упорядоченные алгебры 

с одной й двумя бинарными  операціями // Математика в шк.— 

1973.— № 5.—С. 4—13.

15.  Проскуряков И.  В  . Понятие множества, группы, кольца  и поля.

Теоретические основы арифметики // Энциклопедия элементарной