Функции действительной переменной

ФУНКЦИИ ДЕЙСТВИТЕЛЬНОЙ ПЕРЕМЕННОЙ

Некоторые сведения из теории.

Пусть произвольное множество действительных чисел. Если каждому числу поставлено в соответствие некоторое вполне определенное число , то говорят, что на множестве задана функция или .

При этом число  называется аргументом или независимой переменной, а - частным значением функции в точке .

Пусть - совокупность всех частных значений для . Множество X называется областью определения функции.

 Множество Y называется областью значений функции.

 

Функция называется возрастающей (убывающей) на интервале , если из неравенства   следует неравенство   .

Функция, которая только возрастает или только убывает, называется монотонной.

Функция называется ограниченной на интервале , если существует такое положительное число , что для всех .

В противном случае функция  называется неограниченной.

Функция называется четной (нечетной), если     .

Замечание 1. Очевидно, область определения и четной и нечетной функции симметрична относительно начала координат.

Замечание 2. График чётной функции симетричен относительно оси (рис.5),  a график нечётной функции симметричен относительно начала координат ( рис.6).

Функция называется периодической, если существует такое отличное от нуля число , что для любого из области определения функции имеет место равенство

Наименьшее из таких чисел называется периодом функции.

Если график функции неограниченно  приближается к некоторой прямой при своём удалении от начала координат, то эта прямая называется асимптотой.

 

Элементарные функции  и их графики

 

Степенная функция. Функция , где , называется степенной функцией.

Рис 1  График степенной функции

 

 

Показательная функция.

Функция  , где , и называется показательной функцией.

Основные характеристики и свойства показательной функции:

а) область определения функции ;

б)   область значений функции ;

в) функция монотонна (возрастает при  и убывает при );

г) функция неограниченная, непрерывная, непериодическая.

 

Рис. 2 Графики функций  и .

Рис. 3 Графики функций  и .

Логарифмическая функция.

Функция , где , и , называется логарифмической.

Эта функция является обратной к показательной функции.

Основные характеристики и свойства логарифмической функции:

а) - область определения функции ;

б) - область значений функции ;

в) функция монотонна (возрастает при  и убывает при );

г) функция неограниченная, непрерывная, непериодическая;

д) (т.е. график функции проходит через точки ).

Тригонометрические функции.

К тригонометрическим функциям относятся

, , и .

Функция называется синусоидой.

Рис. 4 Графики функции

.

Основные характеристики и свойства функции :

а) - область определения функции ;

б) - область значений функции ;

в) функция периодическая (период равен );

г) функция непрерывная, ограниченная ;

д) где целое число (т.е. график функции проходит через точки ).

Рис.5  Графики функции 

 

 

Основные характеристики и свойства функции :

а) - область определения функции ;

б) - область значений функции ;

в) функция периодическая (период равен );

г) функция непрерывная, неограниченная;

д) где целое число (т.е. график функции проходит через точки ).

е) - вертикальные асимптоты графика функции .

 

Рис. 6 Графики функции 

Рис. 7 Графики функции

 

Обратные тригонометрические функции.

К обратным тригонометрическим функциям относятся  , , и .

Рис. 8 Графики функций 

и

Основные характеристики и свойства функции :

а) - область определения функции ;

б) - область значений функции ;

в) функция монотонно возрастающая функция;

г) функция непрерывная, ограниченная ;

д) (т.е. график функции проходит через начало координат).

Рис. 9 Графики функции 

Рис. 10 Графики функции

Основные характеристики и свойства функции :

а) - область определения функции ;

б) - область значений функции ;

в) функция монотонно возрастающая функция;

г) функция непрерывная, ограниченная ;

д) (т.е. график функции проходит через начало координат).

 

 

Домашнее задание №1

 

1.1. .

Найти , , , , , , , , , .

1.2**. Найти  
и , 
если .

1.3**. Найти , если .

1.5. Найти все значения и , при которых справедливо тождество , если .

1.6. Пусть

Указать область определения этой функции.

Построить график функции 

Найти

Решить графически и аналитически уравнение  .

1.9. Найти , если 

1.10. Найти область определения следующих функций:

а)   б)

в)   г)

д)   е)

ж)  з)

1.11. Доказать, что

а) сумма двух нечетных функций есть нечетная функция;

б) сумма двух четных функций есть четная функция;

в) произведение двух четных или нечетных функций есть четная функция.

1.12. Установить, какие из следующих функций являются четными и какие нечетными:

а)   б)

з)   и)

1.19. Пусть

Найти