Число, як основне поняття математики

 

Ось як записували єгиптяни свої дробу. Якщо, наприклад, в результаті вимірювання виходило дробове число 3 / 4, то для єгиптян воно уявлялося у вигляді суми одиничних дробів Ѕ + ј.

 

3.1.3. Дроби в Стародавньому Римі

 

Римляни користувалися, в основному, тільки конкретними дробами, які заміняли абстрактні частини підрозділами використовуваних заходів. Вони зупинили свою увагу на мірі «ас», який у римлян служив основною одиницею вимірювання маси, а також грошовою одиницею. Асс ділився на дванадцять частин - унцій. З них складали всі дробу зі знаменником 12, тобто 1 / 12, 2 / 12, 3 / 12 ...

 

Так виникли римські Дванадцяткова дробу, тобто дробу, у яких знаменником завжди було число 12. Замість 1 / 12 римляни говорили «одна унція», 5 / 12 - «п'ять унцій» і т.д. Три унції називалися чвертю, чотири унції - третю, шість унцій - половиною.

 

Зараз «ас» - аптекарський фунт.

 

3.1.4. Вавилонські шестидесятеричной дробу

 

Розкопками, проведеними в ХХ столітті серед руїн стародавніх міст південної частини Дворіччя, виявлено велику кількість клинописних математичних табличок. Вчені, вивчаючи їх, встановили, що за 2000 років до н. е.. у вавілонян математика досягла високого рівня розвитку.

 

Письмова шістдесяткова нумерація вавілонян комбинировалась їх двох значків: вертикального клина ▼, символу одиницю, і умовного знака ◄, символу десять. У вавилонських клинописних текстах вперше зустрічається позиційна система числення. Вертикальний клин позначав не тільки 1, але і 60, 60 2, 60 3 і т.д. Знака для нуля в позиційній шестидесятеричной системі у вавілонян спочатку не було. Пізніше був введений знак è è, замінює сучасний нуль, для відділення розрядів між собою.

 

Походження шестидесятеричной системи числення у вавілонян пов'язано, як вважають вчені, з тим, що вавилонська грошова і вагова одиниця виміру підрозділялися в силу історичних умов на 60 рівних частин:

 

v 1 талант = 60 хв;

 

v 1 міну = 60 шекель.

 

Шістдесяті частки були звичні у житті вавілонян. Ось чому вони користувалися шестидесятеричной дробами, що мають знаменником завжди число 60 або його ступеня: 60 2 = 3600, 60 3 = 216 000 і т.д. У цьому відношенні шестидесятеричной дробу можна порівняти з нашими десятковими дробами.

 

Вавилонська математика справила вплив на грецьку математику. Сліди вавілонської шестидесятеричной системи числення втрималися в сучасній науці при вимірі часу і кутів. До наших днів збереглося поділ години на 60 хв., Хвилини на 60 с, кола на 360 градусів, градуси на 60 хв., Хвилини на 60с.

 

Вавилоняни зробили цінний внесок у розвиток астрономії. Шістдесяткова дробами користувалися в астрономії науковці всіх народів до XVII століття, називаючи їх астрономічними дробами. На відміну від них, дробу загального вигляду, якими користуємося ми, були названі звичайними.

 

3.1.5. Нумерація й дробу в Древній Греції

 

У Древній Греції арифметику - вчення про загальні властивості чисел - відокремлювали від логістики - мистецтва обчислення. Греки вважали, що дроби можна використовувати тільки в логістиці. Тут ми вперше зустрічаємося з загальним поняттям дробу виду m / n. Таким чином, можна вважати, що вперше область натуральних чисел розширилася до області додаткових раціональних чисел у Стародавній Греції не пізніше V століття до н. е.. Греки вільно оперували всіма арифметичними діями з дробами, але числами їх не визнавали.

 

У Стародавній Греції існували дві системи письмовій нумерації: аттическая і ионийская або алфавітна. Вони були так названі по давньогрецьким областям - Аттіка і Іонія. У аттической системі, названої також геродіановой, більшість числових знаків є першими літерами грецьких відповідних числівників, наприклад, ГЕNTE (Гент або центі) - п'ять, ΔЕКА (дека) - десять і т.д. Цю систему застосовували в Аттиці до I століття н.е., але в інших областях Стародавньої Греції вона була ще раніше замінена більш зручною алфавітної нумерацією, швидко поширилася по всій Греції.

 

Греки вживали поряд з одиничними, «єгипетськими» дробами і загальні звичайні дроби. Серед різних записів вживалася і така: зверху знаменник, під ним - чисельник дробу. Наприклад, 5 / 3 означало три п'ятих і т.д.

 

3.1.6. Нумерація і дробу на Русі

 

Як свідчать стародавні пам'ятники російської історії, наші предки-слов'яни, які перебували в культурному спілкуванні з Візантією, користувалися десятковою алфавітної слов'янської нумерацією, подібної з іонійської. Над буквами-числами ставилося особливий знак, названий титло. Для позначення тисячі застосовувався інший знак, який приставлявся ліворуч від букв.

 

У російських рукописних арифметика XVII століття дробу називали частками, пізніше «ламаними числами». У старих довідниках знаходимо такі назви дробів на Русі:

 

1 / 2 - половина, полтина      1 / 3 - третина

 

1 / 4 - четь 1 / 6 - пів на третю

 

1 / 8 - полчеть     1 / 12-полполтреть

 

1 / 16 - полполчеть      1 / 24 - полполполтреть (мала третину)

 

1 / 32 - полполполчеть (мала четь)         1 / 5 - п'ятина

 

1 / 7 - седьмин     1 / 10 - десятина

 

Слов'янська нумерація вживалася в Росії до XVI століття, потім в країну почала поступово проникати десяткова позиційна система числення. Вона остаточно витіснила слов'янську нумерацію за Петра I.

 

3.1.7. Дроби в інших державах давнину

 

У китайській «Математики у дев'яти розділах» вже мають місце скорочення дробів і всі дії з дробами.

 

У індійського математика Брахмагупти ми знаходимо досить розвинену систему дробів. У нього зустрічаються різні дробу: і основні, і похідні з будь-яким чисельником. Чисельник і знаменник записуються так само, як і у нас зараз, але без горизонтальної межі, а просто розміщуються один над іншим.

 

Араби першими почали відокремлювати рисою чисельник від знаменника.

 

Леонардо Пізанський вже записує дробу, поміщаючи в разі змішаного числа, ціле число праворуч, але читає так, як прийнято у нас. Йордан Неморарій (XIII ст.) Виконує розподіл дробів з допомогою розподілу чисельника на чисельник і знаменник на знаменник, уподібнюючи поділ множення. Для цього доводиться члени першого дробу доповнювати множниками:

 

 

 

У XV - XVI століттях вчення про дробах набуває вже знайомий нам тепер вигляд і оформляється приблизно в ті самі розділи, які зустрічаються в наших підручниках.

 

Слід зазначити, що розділ арифметики про дробах довгий час був одним з найбільш важких. Недарма у німців збереглася приказка: «Потрапити в дробу», що означало - зайти в безвихідне становище. Вважалося, що той, хто не знає дробів, не знає і арифметики.

 

3.1.8. Десяткові дроби

 

З часом практика вимірювань і обчислень показала, що простіше і зручніше користуватися такими заходами, у яких відношення двох найближчих одиниць довжини було б постійним і дорівнювало б саме десяти - основи нумерації. Цим вимогам відповідає метрична система заходів.

 

Вона виникла у Франції як один з наслідків буржуазної революції. Нові заходи повинні були задовольняти наступним вимогам:

 

v основою загальної системи заходів повинна бути одиниця довжини;

 

v міри довжини, площі, обсягу, місткості і ваги повинні бути пов'язані між собою;

 

v основну міру довжини слід було вибрати так, щоб вона була постійною «для всіх часів і всіх народів»;

 

v основою системи заходів необхідно було взяти число, рівне основи системи числення.

 

У Франції за основну міру довжини взяли одну десятимільйонну частину чверті земного меридіана і назвали її метром (від грецького слова «метрон», що означає «міра»). На підставі вимірів меридіана, зроблених французькими вченими Мешеном і Деламбр, був виготовлений згодом платиновий еталон метра. Число 10 лягло в основу підрозділів метра. Ось чому метрична система заходів, що застосовується нині в більшості країн світу, виявилася тісно пов'язаної з десятковою системою числення і з десятковими дробами.

 

Однак слід зазначити, що європейці не перші, хто прийшов до необхідності використовувати десяткові дроби в математиці.

 

Зародження і розвиток десяткових дробів у деяких країнах Азії було тісно пов'язане з метрологією (вченням про заходи). Вже в II столітті до н.е. там існувала десяткова система мір довжини.

 

Приблизно в III столітті н.е. десятковий рахунок поширився на заходи маси та об'єму. Тоді й було створено поняття про десяткового дробу, що зберегла, проте метрологічну форму.

 

Наприклад, у Китаї в Х столітті існували такі заходи маси: 1 лан = 10 цянь = 2 жовтня фень = 10 3 чи = 10 4 хао = 10 Травня си = 10 червня хо.

 

Якщо спочатку десяткові дробу виступали в якості метрологічних, конкретних дробів, тобто десятих, сотих і т.д. частин більш великих заходів, то пізніше вони по суті стали все більше набувати характер абстрактних десяткових дробів. Цілу частину стали відокремлювати від дробової особливим ієрогліфом «дянь» (крапка). Проте в Китаї як у давні, так і в середні століття десяткові дробу не мали повної самостійності, залишаючись в тій чи іншій мірі пов'язаними з метрологією.

 

Більш повну і систематичну трактування отримують десяткові дробу в працях середньоазіатського вченого ал-Каші в XV столітті. Незалежно від нього, в 80-тих роках XVI століття десяткові дроби були «відкриті» заново в Європі нідерландським математиком Стевіном.

 

З початку XVII століття починається інтенсивне проникнення десяткових дробів в науку і практику. В Англії в якості знака, що відокремлює цілу частину від дробової, була введена точка. Кома, як і крапка, як роздільник була запропонована в 1617 році математиком Непер.

 

Розвиток промисловості і торгівлі, науки і техніки вимагали все більше громіздких обчислень, які за допомогою десяткових дробів легше було виконувати. Широке застосування десяткові дробу отримали в XIX столітті після введення тісно пов'язаної з ними метричної системи мір і ваг. Наприклад, в нашій країні в сільському господарстві та промисловості десяткові дроби та їх окремий вид - відсотки - застосовуються набагато частіше, ніж звичайні дроби.

 

3.2. Негативні числа

 

Обходитися тільки натуральними числами незручно. Наприклад, ними не можна відняти більше з меншого. Для такого випадку були введені негативні числа: китайцями - у Х ст. до н. е.., індійцями - в VII столітті, європейцями - тільки в XIII столітті.

 

3.2.1. Негативні числа в Стародавній Азії

 

Позитивні кількості в китайській математики називали «Ч», негативні - «фу»; їх зображували різними кольорами: «Ч» - червоним, «фу» - чорним. Такий спосіб зображення використовувався в Китаї до середини XII століття, поки Лі Е не запропонував більш зручне позначення негативних чисел - цифри, які зображували негативні числа, перекреслювали рискою навскіс праворуч ліворуч.

 

У V-VI століттях від'ємні числа з'являються і дуже широко поширюються в індійській математиці. В Індії негативні числа систематично використовували в основному так, як це ми робимо зараз.

 

Вже у творі видатного індійського математика і астронома Брахмагупти (598 - близько 660 рр..) Ми читаємо: «майно та майно є майно, сума двох боргів є борг; сума майна і нуля є майно; сума двох нулів є нуль ... Борг, який віднімають від нуля, стає майном, а майно - боргом. Якщо потрібно відняти майно від боргу, а борг від майна, то беруть їх суму ».

 

Негативними числами індійські математики користувалися при вирішенні рівнянь, причому віднімання замінювали додаванням з равнопротівоположним числом.

 

Разом з негативними числами індійські математики ввели поняття нуль, що дозволило їм створити десяткову систему числення. Але довгий час нуль не визнавали числом, «nullus» по-латині - ніякої, відсутність числа. І лише через X століть, у XVII-му столітті з введенням системи координат нуль стає числом.

 

3.2.2. Розвиток ідеї негативного кількості в Європі

 

У Європі до ідеї негативного кількості досить близько підійшов на початку XIII століття Леонардо Пізанський, проте в явному вигляді негативні числа застосував вперше в кінці XV століття французький математик Шюке.

 

Сучасне позначення позитивних і негативних чисел із знаками «+» і «-» застосував німецький математик Відман, однак ще в ХVI столітті багато математиків (наприклад, Вієт) не визнавали від'ємних чисел.

 

Натуральні числа, протилежні їм (негативні) числа і нуль називаються цілими числами. Цілі і дробові числа на 2-му рівні узагальнення отримали загальну назву - раціональні числа. Їх називали також відносними, бо кожне з них можна представити відношенням двох цілих чисел. Кожне раціональне число можна представити як нескінченну періодичну десяткову дріб.

 

За допомогою раціональних чисел можна здійснювати різні вимірювання (наприклад, довжини відрізка при обраній одиниці масштабу) з будь-якою точністю. Тобто сукупність раціональних чисел достатня для задоволення більшості практичних потреб.

 

4. Дійсні числа

 

4.1. Ірраціональні числа

 

Ще в Давньому Єгипті і Вавілоні ХХ століть тому були відомі так звані несумірні відрізки (  ,  , Π ...), які не можна було висловити ставленням, відносними, раціональними числами.

 

Точно не відомо, дослідження яких питань привело до відкриття несумірності. Це могло відбутися:

 

q в геометричних розрахунках при знаходженні загальної міри сторони і діагоналі квадрата;