Число, як основне поняття математики

 

q в теорії музики при спробах поділити октаву навпіл, що зводиться до визначення середнього геометричного між 1 і 2;

 

q в арифметиці при визначенні дробу, квадрат якої дорівнює двом.

 

Мова йшла про відшукання і дослідженні величини, яку ми тепер позначаємо  . Відкриття факту, що між двома відрізками - стороною і діагоналлю квадрата - не існує загальної міри, призвело до справжнього кризі основ, принаймні, давньогрецької математики.

 

Факт існування несумірних відрізків, тим не менш, не гальмував розвиток геометрії в стародавній Греції. Греки розробили теорію відносини відрізків, яка враховувала можливість їх несумірності. Вони вміли порівнювати такі співвідношення за величиною, виконувати над ними арифметичні дії в чисто геометричній формі, інакше кажучи, користуватися такими співвідношеннями як числами.

 

Індійці розглядали ірраціональні числа як числа нового виду, але допускають над ними такі ж арифметичні дії, як і над раціональними числами. Наприклад, індійський математик Бхаскара знищує ірраціональність у знаменнику, множачи чисельник і знаменник на той же самий ірраціональний множник. У нього ми зустрічаємо вирази:

 

 

 

Розвиваючи тригонометрію як самостійну наукову дисципліну, азербайджанський учений XIII століття Насретдін ат-Тусі (1201 - 1274 рр..) Трактує співвідношення несумірних величин як числа: «Кожне з цих співвідношень може бути названо числом, яке вимірюється одиницею як і саме, як один з членів співвідношення позначається іншим з цих членів ». Схожу трактування числа давав і Омар Хайям.

 

У Європі існування геометричних несумірних величин в середні століття не було оскаржено, але для багатьох ірраціональні числа були лише символами, позбавленими точно певного змісту, тому їх називали «глухими», «недійсними», «фіктивними» і т.д.

 

Тільки після появи геометрії Декарта (1637 р) почалося застосування ірраціональних, як втім, і від'ємних чисел. Ідеї Декарта призвели до узагальнення поняття про число. Між точками прямої і числами було визначено взаємно однозначна відповідність. У математику була введена змінна величина.

 

На початку XVIII століття існувало три поняття ірраціонального числа:

 

q ірраціональне число розглядали як корінь n-го ступеня з цілого або дробового числа, коли результат добування кореня не можна виразити «точно» цілим чи дробовим числом;

 

q ірраціональне число трактували як межу, до якої його раціональні наближення можуть підійти як завгодно близько;

 

q число розглядали як відношення однієї величини до іншої величиною того ж самого роду, взятої за одиницю; коли величина непорівнянна з одиницею, число називали ірраціональним.

 

Пізніше Ейлер, Ламберт показали, що ірраціональні числа можна представити нескінченними непериодическими десятковими дробами (наприклад, π = 3,141592 ...).

 

Свій подальший розвиток теорія ірраціональних чисел отримала у другій половині XIX століття в працях Дедекінда, Кантора та Вейерштрасе у зв'язку з потребами математичного аналізу.

 

Раціональні та ірраціональні числа на 3-му рівні узагальнення утворили дійсні числа.

 

4.2. Алгебраїчні і трансцендентні числа

 

Дійсні числа іноді поділяють також на алгебраїчні і трансцендентні.

 

Алгебраїчними називають числа, які є корінням алгебраїчних многочленів з цілими коефіцієнтами, наприклад,  ,  , 4  ,  . Усі інші (неалгебраіческіе) числа відносяться до трансцендентних. Оскільки кожне раціональне число p / q є коренем відповідного многочлена першого ступеня з цілими коефіцієнтами qx - p, то всі трансцендентні числа ірраціональні.

 

Виділимо характерні особливості розглянутих (натуральних, раціональних, дійсних) чисел: вони моделюють тільки одну властивість - кількість; вони одновимірних і всі зображуються точками на одній прямій, званої координатною віссю.

 

5. Комплексні числа

 

5.1. Уявні числа

 

Ще більш дивними, ніж ірраціональні, виявилися числа нової природи, відкриті італійським вченим Кардано у 1545 році. Він показав, що система рівнянь  , Яка не має рішень у безлічі дійсних чисел, має рішення виду  ,  . Потрібно тільки умовитися діяти над такими виразами за правилами звичайної алгебри і вважати, що  •  = -  .

 

Кардано називав такі величини «чисто негативними» і навіть «софистически негативними», вважав їх непотрібними і намагався не вживати.

 

Довгий час ці числа вважали неможливими, неіснуючими, уявними. Декарт назвав їх уявними, Лейбніц - «виродком зі світу ідей, сутністю, що знаходиться між буттям і небуттям».

 

Справді, за допомогою таких чисел не можна висловити ні результат вимірювання якої-небудь величини, ні зміна якої-небудь величини.

 

Уявним числах не було місця на координатній осі. Однак вчені помітили, що якщо взяти дійсне число b на позитивній частині координатної осі і помножити його на  , То отримаємо уявне число b  , Невідомо де розташоване. Але якщо це число ще раз помножити на  , То отримаємо - b, тобто первісне число, але вже на негативній частині координатної осі. Отже, двома множеннями на  ми перекинули число b з позитивного в негативні, і рівно на середині цього кидка число було уявним. То знайшли місце уявним числах у точках на уявної координатної осі, перпендикулярної до середини дійсної координатної осі. Точки площині між уявної та дійсної осями зображують числа, знайдені Кардано, які в загальному вигляді a + b • i містять дійсні числа а й уявні b • i в одному комплексі (складі), тому називаються комплексними числами.

 

Це був 4-й рівень узагальнення чисел.

 

Поступово розвивалася техніка операцій над уявними числами. На рубежі XVII і XVII століть була побудована загальна теорія коренів n-них ступенів спочатку з негативних, а потім з будь-яких комплексних чисел, заснована на наступною формулою англійського математика А. Муавра:

 

 

 

За допомогою цієї формули можна було також вивести формули для косинусів і синусів кратних дуг.

 

Леонард Ейлер вивів в 1748 році чудову формулу:

 

 ,

 

яка зв'язувала воєдино показову функцію з тригонометричної. За допомогою формули Ейлера можна було зводити число е в будь-яку комплексну ступінь. Цікаво, наприклад, що  . Можна знаходити sin і cos комплексних чисел, обчислювати логарифми таких чисел і т.д.

 

Довгий час навіть математики вважали комплексні числа загадковими і користувалися ними тільки для математичних маніпуляцій. Так, швейцарський математик Бернуллі застосовував комплексні числа для вирішення інтегралів. Трохи пізніше з допомогою уявних чисел навчилися висловлювати рішення лінійних диференціальних рівнянь з постійними коефіцієнтами. Такі рівняння зустрічаються, наприклад, в теорії коливань матеріальної точки в чинять опір середовищі.

 

5.2. Геометричне тлумачення комплексних чисел

 

Близько 1800-го року відразу кілька математиків (Вессель, Арган, Гаус) зрозуміли, що комплексними числами можна моделювати векторні величини на площині.

 

 

 

   

 

Дійсні числа геометрично зображуються точками числової прямої. Комплексне число A + B • i можна розглядати як пару дійсних чисел (A; B). Тому природно комплексне число зображати точками площини. У прямокутній системі координат комплексне число Z = A + B • i зображується точкою площині координатами (A; B), і ця точка позначається тією самою літерою Z (малюнок 1). Очевидно, що отримується при цьому відповідність є взаємно однозначною. Воно дає можливість інтерпретувати комплексні числа як точки площини, на якій обрана система координат. Така координатна площина називається комплексної площиною. Вісь абсцис називається дійсною віссю, тому що на ній розташовані точки відповідні дійсним числам. Вісь ординат називається уявною віссю - на ній лежать точки, відповідні уявним комплексним числам.

 

 

 

SEQ Рисунок \ * ARABIC 1

 

 

 

Малюнок SEQ Малюнок \ * ARABIC 1

 

Не менш важливою та зручною є інтерпретація комплексного числа A + B • i   як вектора, тобто вектора з початком у точці O (0; 0) і з кінцем в точці М (A; B) (малюнок 2).

 

Відповідність встановлена між безліччю комплексних чисел, з одного боку, і множинами точок або векторів площини, з іншого, дозволяє комплексні числа точками або векторами.

 

Вектор  можна задавати не тільки його координатами a і b, але також довжиною r і кутом φ, який він утворює з позитивним напрямом осі абсцис. При цьому a = r • cos φ, b = r • sin φ і число z приймає вигляд    z = r • (cos φ + i • sin φ), який називається тригонометричної формою комплексного числа. Число r називають модулем комплексного числа z і позначають  . Число φ називають аргументом z і позначають Arg Z. Зауважимо, що якщо z = 0, значення Arg Z не визначено, а при z ≠ 0 воно визначено з точністю до кратного 2π. Згадана раніше формула Ейлера дозволяє записати число z у вигляді z = r • e i ּ φ (Показова форма комплексного числа)

 

Геометричне тлумачення комплексних чисел дозволило визначити багато понять, пов'язані з функцією комплексного змінного, розширило область їх застосування.

 

5. Векторні числа

 

Надалі стали розшукувати якісь тривимірні числа, які моделювали б векторні величини в просторі з його трьома координатними осями.

 

Бився над цим завданням і ірландський учений Гамільтон. Після 15-ти років роботи в 1843 році Гамільтон придумав таки тривимірні числа a + bi + cj + dk, де i = j = k =  і відкладаються кожен на своїй осі. Такі числа - комплексні a + bi і уявні cj і dk за двома додатковим осях - Гамільтон назвав кватерніонами (quaterni в перекладі з латині - чотири). Пізніше, в 1853 році, як варіант кватерніонів, Гамільтон запропонував більш зручні числа bi + cj + dk і назвав їх векторними числами. Вони й узагальнили всі попередні числа на 5-му рівні узагальнення.

 

6. Матричні числа

 

Алгебраїчні операції над векторними величинами створили багатоелементні числові об'єкти, названі за пропозицією Ейнштейна тензорними величинами. Для їх моделювання Артур Келі в 1850 році ввів числа, в яких елементи (більше трьох) записувалися вже квадратними і прямокутними таблицями (матрицями) і розглядалися як єдиний числовий об'єкт.

 

Векторні числа + тензорні величини породили матричні числа. Це був 6-ий рівень узагальнення чисел.

 

Виділимо особливість всіх складних (комплексних, векторних, матричних) чисел: вони моделюють відразу дві властивості - кількість і спрямування модельованих величин.

 

7. Трансфінітної числа

 

Нарешті, в 1883 році німецький вчений Георг Кантор, мабуть, оцінивши багатовікову історію послідовного узагальнення чисел, в якій натуральні числа були узагальнені раціональними, а ті в свою чергу - дійсними, ті - комплексними, ті - векторними, ті - матричними, створив на цьому матеріалі свою теорію трансфінітної (нескінченних, позамежних) чисел.

 

Для цього він назвав безліччю всякий набір елементів, який можна зіставити з частиною самого себе, як наприклад, цілі числа зіставляються з парними числами:  Кантор зауважив, що така безліч повинно містити нескінченне число елементів. А якщо ці елементи можна порівняти з множиною натуральних чисел, то їх кількість утворює перший трансфінітної число א 0 (Алеф-нуль - з івриту). Але безліч א 0 теж нескінченно багато, і вони разом, як кількість елементів нової множини, утворюють наступне трансфінітної число א 1 . І так далі ...

 

 Такою гарною теорією Кантор завершив узагальнення чисел на 7-му рівні. І до теперішнього часу абстрактніше її немає: поки ніщо не поглинуло трансфінітної числа. Однак правда й те, що трансфінітної числа не знайшли ще застосування за межами самої математики. Історія з нулем і комплексними числами знову повторюється для трансфінітної чисел: що ними можна моделювати? Вже більше століття не знають. Може, Кантор породив красиву, але мертву теорію?

 

Кантор довго аналізував трансфінітної числа і встановив, що вони можуть моделювати або просто кількість (тоді це кількісні, кардинальні трансфінітної числа, наприклад - безліч учнів у класі), або кількість і напрям (тоді це порядкові, ординальні трансфінітної числа, наприклад - той же безліч учнів, але впорядковане за успішність). Але ці властивості (кількість і спрямування) успішно моделюються числа менших рівнів узагальнення. А таблиця чисел підказує закономірність: щоб стати абстрактніше, нові числа повинні моделювати більше, розвиваючись від рівня до рівня або екстенсивно, змінюючись кількісно (наприклад, в обліку моделюючих елементів числами рівнів 1, 2, 3: натуральні + нуль + негативні + ірраціональні; або в обліку модельованих напрямків числами рівнів 3, 4, 5, 6: одновимірно-двовимірні-тривимірні-багатомірні і т.п).

 

 8. Функції = функціональні числа?

 

Маріупольський математик С. Ф. Клюйков також вніс свій внесок у визначення поняття числа: «Числа - це математичні моделі реального світу, придумані людиною для його пізнання». Він же вніс у традиційну класифікацію чисел так звані «функціональні числа», маючи на увазі те, що в усьому світі зазвичай іменують функціями. 

 

С. Ф. Клюйков стверджує, що прийняті в усьому світі і представлені в таблиці 1 рівні узагальнення чисел не зовсім повні, вони включає не всі вже відомі числа.

 

8.1. Розвиток функціональних чисел

 

 Історія зародження і розвитку функціональних чисел надзвичайно тривала і багата. Їх вдосконалювали вже вчені Стародавнього Сходу (Х ст. До н. Е..), Знаходячи обсяги судин для зерна, переданого у вигляді податку; античні греки (III ст. До н.е.), досліджуючи конічні перетину; Галілей (1638 р. ), перевіряючи досвідом свої формули руху тіл. Вперше ясно і чітко функціональні числа були представлені Лагранжем (1797 р.) в теорії функцій дійсної змінної та її додатку до різноманітних задач алгебри та геометрії. Однак у наші дні функціональні числа продовжують удосконалювати, незважаючи на величезний накопичений досвід: весь математичний аналіз з його нескінченними рядами, межами, мінімумами і максимумами, з диференціальним, інтегральним і варіаційним численням, рівняннями і методами їх вирішення.