Шпаргалка по "Математическому анализу"

1.  Задачи, приводящие к обыкновенным ДУ, основные определения

Математические модели в виде уравнений, связывающих независимую переменную, искомую функцию и ее производные, называются дифференциальными. Решением дифференциального уравнения называется функция, которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Если искомая (неизвестная) функция зависит от одной переменной, то ДУ называют обыкновенным; в противном случае – ДУ в частных производных.

Процесс поиска решения ДУ называется его интегрированием, а график решения ДУ – интегральной кривой.

Задачи, приводящие к обыкновенным ДУ:

1) Закон изменения массы радия в зависимости от времени («радиоактивный распад») описывается дифференциальным уравнением dm/dt = – k · m, где k > 0 – коэффициент пропорциональности, m (t) – масса радия в момент t;

2) Зависимость массы x вещества, вступившего в химическую реакцию, от времени t во многих случаях описывается уравнением dx/dt = k · x, где k – коэффициент пропорциональности;

3) «Закон охлаждения тел», т.е. закон изменения температуры тела в зависимости от времени, описывается уравнением

dT/dt = k (T – t0), где T (t) – температура тела в момент времени t, k – коэффициент пропорциональности, t0 – температура воздуха (среды охлаждения).

4) И многие др.

 

2. Задача Коши, формулировка теоремы существования в единственности ее решения. Геометрический смысл ДУ 1-го порядка, поле направлений, метод изоклин

Задача отыскания решения ДУ первого порядка P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0, где P (x; y) и Q (x; y) – известные функции, удовлетворяющего заданному начальному условию y (x0) = y0 или y | x = x0 = y0, называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности решения задачи Коши: если в уравнении y’ = f (x; y) функция f (x; y) и ее частная производная f ’y (x; y) непрерывны в некоторой области D, содержащей точку (x0; y0), то существует единственное решение y = φ (x) этого уравнения, удовлетворяющее начальному условию y (x0) = y0 или y | x = x0 = y0.

ДУ первого порядка y’ = f (x; y), разрешенное относительно производной, устанавливает связь (зависимость) между координатами точки (x; y) и угловым коэффициентом y’ касательной к интегральной кривой, проходящей через эту точку. Следовательно, ДУ y’ = f (x; y) дает совокупность направлений (поле направлений) на плоскости Oxy. Таково геометрическое истолкование ДУ первого порядка.

Кривая, во всех точках которой направление поля одинаково, называется изоклиной. Изоклинами можно пользоваться для приближенного построения интегральных кривых. Уравнение изоклины можно получить, если положить y’ = c, т.е. f (x; y) = c.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.  ДУ 1-го порядка  с разделяющимися переменными. Однородные  ДУ 1-го порядка

Наиболее простым ДУ первого порядка является уравнение вида

P (x) · dx + Q (y) · dy = 0.

В нем одно слагаемое зависит только от x, а другое – от y. Иногда такие ДУ называют уравнениями с разделенными переменными. Проинтегрировав почленно это уравнение, получаем:

P (x) · dx + Q (y) · dy = c – его общий интеграл.

Более общий случай описывают уравнения с разделяющимися переменными, которые имеют вид: P1 (x) · Q1 (y) · dx + P2 (x) · Q2 (y) · dy = 0. Особенность этого уравнения в том, что коэффициенты при dx и dy представляют собой произведения двух функций (чисел), одна из которых зависит только от x, другая – только от y.

К уравнению с разделяющимися переменными приводятся однородные ДУ первого порядка.

Дифференциальное уравнение y’ = f (x; y) называется однородным, если функция f (x; y) есть однородная функция нулевого порядка.

Функция f (x; y) называется однородной функцией n-го порядка (измерения), если при умножении каждого ее аргумента на произвольный множитель λ вся функция умножится на λn, т.е.

f (λ · x; λ · y) = λn · f (x; y).

Однородное ДУ можно записать в виде y’ = φ (y/x).

Однородное уравнение часто задается в дифференциальной форме: P (x; y) · dx + Q (x; y) · dy = 0.

ДУ будет однородным, если P (x; y) и Q (x; y) – однородные функции одинакового порядка.

 

4.  Линейные  ДУ 1-го порядка. Уравнение Бернулли 

Дифференциальное уравнение первого порядка называется линейным, если его можно записать в виде y’ + p (x) · y = g (x), где p (x) и g (x) – заданные функции, в частности – постоянные.

Особенность этого ДУ: искомая функция y и ее производная y’ входят в уравнение в первой степени, не перемножаясь между собой.

Уравнение вида y’ + p (x) · y = g (x) · yn, n Э IR, n ≠ 0, n ≠ 1 называется уравнением Бернулли. Если n = 0, то это ДУ – линейное, а при n = 1 – с разделяющимися переменными.

На практике ДУ удобнее искать методом И. Бернулли в виде y = u · υ (не сводя его к линейному).

 

5.  ДУ в полных  дифференциалах. ДУ 1-го порядка, неразрешенные  относительно производной

Уравнение P (x; y) dx + Q (x; y) dy = 0 называется уравнением в полных дифференциалах, если его левая часть есть полный дифференциал некоторой функции u (x; y), т.е.

P (x; y) dx + Q (x; y) dy = du (x; y). В этом случае ДУ можно записать в виде du (x; y) = 0, а его общий интеграл будет: u (x; y) = c.

Т.: для того чтобы выражение Δ = P (x; y) dx + Q (x; y) dy, где функции P (x; y) и Q (x; y) и их частные производные ∂P/∂y и ∂Q/dx непрерывны в некоторой области D плоскости Oxy, было полным дифференциалом, необходимо и достаточно выполнение условия ∂P/∂y = ∂Q/dx.

ДУ 1-го порядка, неразрешенные относительно производной: уравнения Лагранжа и Клеро.

Уравнение вида y = x · φ (y’) + ψ (y’), где φ и ψ – известные функции от y’ = dy/dx, называется уравнением Лагранжа.

Уравнение y = x · φ (y’) + ψ (y’) при φ (y’) y’ принимает вид

y = x · y’ + ψ (y’) и называется уравнением Клеро.  

 

 

 

 

 

 

 

6.  ДУ высших  порядков. Задача Коши, формулировка  теоремы существования и единственности  ее решения. ДУ, допускающее понижение  порядка

Дифференциальные уравнения порядка выше первого называются ДУ высших порядков. ДУ второго порядка в общем случае записывается в виде F (x; y; y’; y”) = 0 или, если это возможно, в виде, разрешенном относительно старшей производной: y” = f (x; y; y’).

Решением последнего ДУ называется всякая функция y = φ (x), которая при подстановке в уравнение обращает его в тождество.

Общим решением ДУ называется функция y = φ (x; c1; c2), где c1 и c2 – не зависящие от x произвольные постоянные, удовлетворяющая условиям:

1. φ (x; c1; c2) является решением ДУ для каждого фиксированного значения c1 и c2 .

2. Каковы бы ни были начальные условия y | x = x0 = y0, y’ | x = x0 = y’0, существуют единственные значения постоянных c1 = c10 и c2 = c20 такие, что функция y = φ (x; c10; c20) является решением уравнения y” = f (x; y; y’) и удовлетворяет начальным условиям.

Всякое решение y = φ (x; c10; c20) уравнения y” = f (x; y; y’), получающееся из общего решения y = φ (x; c1; c2) при конкретных значениям постоянных c1 = c10, c2 = c20, называется частным решением.

Как и в случае уравнения первого порядка, задача нахождения решения ДУ y” = f (x; y; y’), удовлетворяющего заданным начальным условиям y | x = x0 = y0, y’ | x = x0 = y’0, называется задачей Коши.

Теорема существования и единственности задачи Коши: если в уравнении y” = f (x; y; y’) функция f (x; y; y’) и ее частные производные f ’y и f ‘y’ непрерывны в некоторой области D изменения переменных x, y и y’, то для всякой точки (x0; y0; y’0) Э D существует единственное решение y = φ (x) уравнения y” = f (x; y; y’), удовлетворяющее начальным условиям y | x = x0 = y0, y’ | x = x0 = y’0 .

Одним из методов интегрирования ДУ высших порядков является метод понижения порядка. Суть метода состоит в том, что с помощью замены переменной (подстановки) данное ДУ сводится к уравнению, порядок которого ниже.

3 типа уравнений, допускающих  понижение порядка:

1) y” = f (x);

2) y” = f (x; y’), не содержащее явно искомой функции y.

Частный случай: y” = f (y’), не содержащее также и независимую переменную x.   

3) y” = f (y; y’), которое не содержит явно независимой переменной x.

Частный случай: y” = f (y).

 

7.  Линейные однородные (ЛО) ДУ n-го порядка

Уравнение вида b0 (x) y(n) + b1 (x) y(n – 1) + … + bn (x) y = g (x), где b0 (x) ≠ 0, b1 (x), … , bn (x), g (x) – заданные функции (от x), называются линейным ДУ n-го порядка.

Если свободный член g (x) 0, то это уравнение называется линейным однородным уравнением; если g (x) ≠ 0, то уравнение

b0 (x) y(n) + b1 (x) y(n – 1) + … + bn (x) y = g (x) называется неоднородным.

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка имеют вид y(n) + a1 (x) · y(n – 1) + a2 (x) · y(n – 2) + … + an (x) · y = 0.

Если функции y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), … , yn = yn (x) являются частными решениями этого уравнения, то его решением является функция y = c1y1 + c2y2 + … + cnyn .

 

 

 

 

 

 

 

8.  Линейная зависимость и линейная независимость системы функций. Определитель Вронского

Функции y1, y2 , … , yn называются линейно независимыми на (a; b), если равенство α1y1 + α2y2 + … + αnyn = 0 выполняется лишь в случае, когда все числа αi = 0 (I = 1, 2, … , n); в противном случае (если хотя бы одно из чисел αi не равно нулю) функции y1, y2 , … , yn – линейно зависимы.

Функции y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x) называются линейно независимыми на интервале (a; b), если равенство

α1y1 + α2y2 = 0, где α1 , α2 Э IR, выполняется тогда и только тогда, когда α1 = α2 = 0. Если хотя бы одно из чисел α1 или α2 отлично от нуля и выполняется равенство α1y1 + α2y2 = 0, то функции y1 и y2  называются линейно зависимыми на (a; b).

Определитель Вронского имеет вид:

   

 

9.  Теоремы о необходимых и достаточных условиях  линейной зависимости и линейной независимости решений ЛОДУ

Т.: если дифференцируемые функции y1 (x) и y2 (x) линейно зависимы на (a; b), то определитель Вронского на этом интервале тождественно равен нулю.

Т.к. функции y1 и y2 линейно зависимы, то в равенстве α1y1 + α2y2 = 0 значение α1 или α2 отлично от нуля. Пусть α1 ≠ 0, тогда y1 =

 – α2/α1 y2; поэтому для любого x Э (a; b)

 

              | – α2/α1 y2   y2  |

W (x) = | – α2/α1 y’2   y’2 | = 0.

Т.: если функции y1 (x) и y2 (x) – линейно независимые решения уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0 на (a; b), то определитель Вронского на этом интервале нигде не обращается в нуль.

Из этих теорем следует, что вронскиан не равен нулю ни в одной точке интервала (a; b) тогда и только тогда, когда частные решения линейно независимы.

 

10.  Фундаментальная  система решений ЛОДУ. Структура  общего решения ЛОДУ

Совокупность любых двух линейно независимых на интервале (a; b) частных решений y1 (x) и y2 (x) ЛОДУ определяет фундаментальную систему решений этого уравнения: любое произвольное решение может быть получено как комбинация y = α1y1 (x) + α2y2 (x).

Структура общего решения ЛОДУ: если два частных решения y1 = y1 (x) и y2 = y2 (x) ЛОДУ y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0 образуют на интервале (a; b) фундаментальную систему, то общим решением этого уравнения является функция y = c1y1 + c2y2, где c1 и c2 – произвольные постоянные.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

11.  ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами

Частным случаем линейных однородных дифференциальных уравнений являются ЛОДУ n-го порядка (n>2) с постоянными коэффициентами: y(n) + p1y(n – 1) + p2y(n – 2) + … + pny = 0, где pi ,

i = , - числа.

Частные решения этого уравнения ищем в виде y = ekx, где k – постоянное число.

Характеристическим для уравнения y(n) + p1y(n – 1) + p2y(n – 2) + … + pny = 0 является алгебраическое уравнение n-го порядка вида

kn + p1kn – 1 p2kn – 2 + … + pn – 1 k + pn = 0.

Это уравнение имеет, как известно, n корней (в их числе могут быть и комплексные). Обозначим их через k1 , k2 , … , kn .

Замечание: не все из корней уравнения kn + p1kn – 1 p2kn – 2 + … + pn – 1 k + pn = 0 обязаны быть различными. Так, в частности, уравнение (k – 3)2 = 0 имеет два равных корня: k1 = k2 = 3. В этом случае говорят, что корень один (k = 3) и имеет кратность mk = 2. Если кратность корня равна единице: mk = 1, его называют простым.

Случай 1: все корни уравнения kn + p1kn – 1 p2kn – 2 + … + pn – 1 k + pn = 0 действительны и просты (различны). Тогда функции y1 = ek1x, y2 = ek2x, … , yn = eknx, являются частными решениями уравнения y(n) + p1y(n – 1) + p2y(n – 2) + … + pny = 0 и образуют фундаментальную систему решений (линейно независимы). Поэтому общее решение уравнения y(n) + p1y(n – 1) + p2y(n – 2) + … + pny = 0 записывается в виде

y = c1ek1x + c2ek2x + … + cneknx.

 

12.  Линейные  однородные (ЛО) ДУ n-го порядка. Структура общего решения ЛНДУ

Уравнение вида b0 (x) y(n) + b1 (x) y(n – 1) + … + bn (x) y = g (x), где b0 (x) ≠ 0, b1 (x), … , bn (x), g (x) – заданные функции (от x), называются линейным ДУ n-го порядка.

Если свободный член g (x) 0, то это уравнение называется линейным однородным уравнением; если g (x) ≠ 0, то уравнение

b0 (x) y(n) + b1 (x) y(n – 1) + … + bn (x) y = g (x) называется неоднородным.

Линейные однородные дифференциальные уравнения n-го порядка имеют вид y(n) + a1 (x) · y(n – 1) + a2 (x) · y(n – 2) + … + an (x) · y = 0.

Если функции y1 = y1 (x), y2 = y2 (x), … , yn = yn (x) являются частными решениями этого уравнения, то его решением является функция y = c1y1 + c2y2 + … + cnyn .

Структура общего решения ЛНДУ: общим решением y уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x), где α1 (x), α2 (x), f(x) – заданные, непрерывные на (a; b) функции, является сумма его произвольного частного решения y* и общего решения = c1y1 + c2y2 соответствующего однородного уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0, т.е. y = y* + .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13.  Метод вариации постоянных для решения ЛНДУ

Рассмотрим ЛНДУ y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x). Его общим решением является функция y = y* + . Частное решение y* уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x) можно найти, если известно общее решение соответствующего однородного уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0, методом вариации произвольных постоянных (метод Лагранжа), состоящим в следующем. Пусть = c1y1 (x) + c2y2 (x) – общее решение уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0. Заменим в общем решении постоянные c1 и c2 неизвестными функциями c1 (x) и c2 (x) и подберем их так, чтобы функция y* = c1 (x) · y1 (x) + c2 (x) · y2 (x) была решением уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x). Найдем производную: (y*)’ = c’1 (x) y1 (x) + c1 (x) y’1 (x) + c’2 (x) y2 (x) + c2 (x) y’2 (x).

Подберем функции c1 (x) и c2 (x) так, чтобы

c’1 (x) · y1 (x) + c’2 (x) · y2 (x) = 0.

Тогда (y*)’ = c1 (x) · y’1 (x) + c2 (x) · y’2 (x),

(y*)” = c’1 (x) · y’1 (x) + c1 (x) · y”1 (x) + c’2 (x) · y’2 (x) + c2 (x) · y”2 (x). Подставляя выражение для y*, (y*)’ и (y*)” в уравнение y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x), получим: