Шпаргалка по "Математическому анализу"

c’1 (x) · y’1 (x) + c1 (x) · y”1 (x) + c’2 (x) · y’2 (x) + c2 (x) · y”2 (x) + α1 (x) [c1 (x) y’1 (x) + c2 (x) y’2 (x)] + α2 (x) [c1 (x) y1 (x) + c2 (x) y2 (x)] = f (x). Поскольку y1 (x) и y2 (x) – решения уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0, то выражения в квадратных скобках равны нулю, а потому c’1 (x) · y’1 (x) + c’2 (x) · y’2 (x) = f (x).

Таким образом, функция y* = c1 (x) · y1 (x) + c2 (x) · y2 (x) будет частным решением y* уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x), если функции c1 (x) и c2 (x) удовлетворяют системе уравнений:

{c’1 (x) · y1 (x) + c’2 (x) · y2 (x) = 0,             (1)

{c’1 (x) · y’1 (x) + c’2 (x) · y’2 (x) = f (x).

Определитель системы | y1 (x)     y2 (x)  | ≠ 0, т.к. это определитель

                                         | y’1 (x)   y’2 (x) |

Вронского для фундаментальной системы частных решений y1 (x) и y2 (x) уравнения y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = 0. Поэтому система (1) имеет единственное решение: c’1 (x) = φ1 (x) и c’2 (x) = φ2 (x), где φ1 (x) и φ2 (x) – некоторые функции от x. Интегрируя эти функции, находим c1 (x) и c2 (x), а затем по формуле y* = c1 (x) · y1 (x) + c2 (x) · y2 (x) составляем частное решение уравнения

y” + α1 (x) y’ + α2 (x) y = f (x).  

 

14.  ЛНДУ с постоянными коэффициентами и специальной правой частью

Рассмотрим ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами, т.е. уравнение y” + p · y’ + q · y = f (x), где p и q – некоторые числа.

Согласно теореме о структуре общего решения ЛНДУ, общее решение этого уравнения представляет собой сумму общего решения соответствующего однородного уравнения и частного решения y* неоднородного уравнения. Частное решение уравнения может быть найдено методом вариации произвольных постоянных.

Для уравнений с постоянными коэффициентами существует более простой способ нахождения y*, если правая часть f (x) уравнения y” + p · y’ + q · y = f (x) имеет так называемый «специальный вид»:

I. f (x) = Pn (x) · eαx или II. f (x) = eαx · (Pn (x) · cos βx + Qm (x) · sin βx).

Суть метода, называемого методом неопределенных коэффициентов, состоит в следующем: по виду правой части f (x) уравнения y” + p · y’ + q · y = f (x) записывают ожидаемую форму частного решения с неопределенными коэффициентами, затем подставляют ее в уравнение y” + p · y’ + q · y = f (x) и из полученного тождества находят значения коэффициентов.

 

 

 

 

 

15.  Системы дифференциальных  уравнений. Основные понятия. Задача Коши для нормальных систем. Линейные системы ДУ. Матричная задача

Системой ДУ называется совокупность ДУ, каждое из которых содержит независимую переменную, искомые функции и их производные.

Общий вид системы ДУ первого порядка, содержащей n искомых функций y1, y2, … , yn, следующий:

{ F1 (x ; y1 ; y2 ; … ; yn ; y’1 ; y’2 ; … ; y’n ) = 0,

{ ……………………………………………….

{ Fn (x ; y1 ; y2 ; … ; yn ; y’1 ; y’2 ; … ; y’n ) = 0.     

Система ДУ первого порядка, разрешенных относительно производной, т.е. система вида

{ dy1/dx = f1 (x ; y1 ; y2 ; … ; yn ),

{ dy2/dx = f2 (x ; y1 ; y2 ; … ; yn ),   (1)

{…………………………………

{ dyn/dx = fn (x ; y1 ; y2 ; … ; yn ),

Называется нормальной системой ДУ. При этом предполагается, что число уравнений равно числу искомых функций.

Замечание: во многих случая системы уравнений и уравнения высших порядков можно привести к нормальной системе вида (1).

Решением системы (1) называется совокупность из n функций y1, y2, … , yn, удовлетворяющих каждому из уравнений этой системы.

Начальные условия для системы (1) имеют вид:

y1 (x0) = y01, y2 (x0) = y02, … , yn (x0) = y0n .

Задача Коши для системы (1) ставится следующим образом: найти решение системы (1), удовлетворяющее начальным условиям y1 (x0) = y01, y2 (x0) = y02, … , yn (x0) = y0n .

Условия существования и единственности решения задачи Коши описывает следующая теорема: если в системе (1) все функции fi (x ; y1 ; … , yn ) непрерывны вместе со всеми своими частными производными по yi в некоторой области D ((n + 1)-мерного пространства), то в каждой точке M0 (x0 ; y01 ; y02 ; … ; y0n ) этой области существует, и притом единственное, решение y1 = φ1 (x), y2 = φ2 (x), … , yn = φn (x) системы, удовлетворяющее начальным условиям y1 (x0) = y01, y2 (x0) = y02, … , yn (x0) = y0n .

Линейные системы ДУ имеют вид:

dx1/dt = a11 (t) x1 + a12 (t) x2 + … + a1n (t) xn + f1 (t) }

dx2/dt = a21 (t) x1 + a22 (t) x2 + … + a2n (t) xn + f2 (t) }  (1)

……………………………………………………..  }

dxn/dt = an1 (t) x1 + an2 (t) x2 + … + ann (t) xn + fn (t) }

где fi (t) – некоторые функции.

dxi/dt = ij (t) xj + fi (t), где i = 1,2, … , n.

dX/dt = A · X + F

             (dx1/dt)          (x1 )           (a11 a12 … a1n)         (f1 (t) )

dX/dt = (dx2/dt) , X = (x2 ) , A = (a21 a22 … a2n) , F = (f2 (t) )

             (…….)           (…)          (……………)          (…… )

             (dxn/dt)          (xn )          (an1 an2 … ann)          (fn (t) )

Если все функции aij (t) и fi (t) в системе (1) на некотором отрезке a ≤ t ≤ b непрерывны, то в достаточно малой окрестности точки t0 a < t0 < b, координаты которой (t0, x10, x20 , … , xn0), выполняются условия теоремы Коши о существовании и единственности решения задачи Коши. 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16.  Структура общего решения линейных систем ДУ

Структура общего решения линейных однородных систем ДУ: линейная комбинация j xj n – линейно независимых решений X1 , X2 , … , Xn линейной однородной системы L [X] = 0 с непрерывными на отрезке a ≤ t ≤ b коэффициентами aij (t) является общим решением этой линейной однородной системы на отрезке a ≤ t ≤ b.

Структура общего решения линейных неоднородных систем ДУ: общее решение на отрезке a ≤ t ≤ b линейной неоднородной системы ДУ с непрерывными на этом отрезке правыми частями равно сумме общего решения соответствующей линейной однородной системы ДУ и частного решения неоднородной системы ДУ.

 

17.  Линейные  однородные и неоднородные системы  ДУ с постоянными коэффициентами

Линейные однородные системы ДУ с постоянными коэффициентами имеют вид:

В векторной форме: dY/dx = AY, где

Характеристическое уравнение:

или det (A – λE) = 0.

Общее решение этой системы имеет вид

если все корни характеристического уравнения простые, а решениями, соответствующими этим корням λk , будут

Линейные неоднородные системы ДУ с постоянными коэффициентами имеют вид:

dY/dx = AY + F, где

Общее решение неоднородной системы есть сумма общего решения однородной системы и некоторого частного решения неоднородной системы. Для нахождения общего решения неоднородной системы можно применить метод Лагранжа вариации произвольных постоянных.

 

18.  Числовые ряды. Основные свойства

Числовым рядом (или просто рядом) называется выражение вида

n = u1 + u2 + … + un + … , (1) где u1 , u2 , … , un , … - действительные или комплексные числа, называемые членами ряда, un – общим членом ряда.

Суммой первых n членов ряда (1) называется n-й частичной суммой ряда и обозначается через Sn , т.е. Sn = u1 + u2 + … + un .

Рассмотрим частичные суммы S1 = u1, S2 = u1 + u2, S3 = u1 + u2 + u3, … Если существует конечный предел S = n последовательности частичных сумм ряда (1), то этот предел называют суммой ряда (1) и говорят, что ряд сходится. Записывают: S = n .

Если n не существует или n = ∞, то ряд (1) называют расходящимся. Такой ряд суммы не имеет.

Ряд un + 1 + un + 2 + … = k называется n-м остатком ряда (1). Он получается из ряда (1) отбрасыванием n первых его членов. Ряд (1) получается из остатка добавлением конечного числа членов.

Свойства:

1) Если ряд (1) сходится и его сумма равна S, то ряд

n = cu1 + cu2 + … + cun + … , (2) где c – произвольное число, также сходится и его сумма равна cS. Если же ряд (1) расходится и c ≠ 0, то и ряд (2) расходится.

2) Если сходится ряд (1) и сходится ряд  n , а их суммы равны S1 и S2 соответственно, то сходятся и ряды

n ± υn), причем сумма каждого равна соответственно S1 ± S2 .

3) Если к ряду (1) прибавить (или отбросить) конечное число членов, то полученный ряд и ряд (1) сходятся или расходятся одновременно.