Шпаргалка по "Математическому моделированию"

Теорема Бернулли. Если проводится N независимых испытаний, в каждом из которых некоторое событие А осуществляется с вероятностью р, то относительная частота появления события m/N при сходится по вероятности к р, т. е. при любом

Теорема Пуассона. Если проводится N независимых испытаний и вероятность осуществления события А в i-м испытании равна pi, то относительная частота появления события m/N при сходится по вероятности к среднему из вероятностей pi, т. е. при любом

Теорема Чебышева. Если в N независимых испытаниях наблюдаются значения x1, x2, ..., xN случайной величины ξ, то при среднее арифметическое значение случайной величины сходится по вероятности к ее математическому ожиданию mξ, т. е. при любом

Центральная предельная теорема. Если x1, x2, ..., xN — независимые одинаково распределенные случайные величины, то при закон распределения суммы неограниченно приближается к нормальному.

 

35. Этапы имитационного моделирования. Концептуальные модели.

Процесс имитационного  моделирования можно условно  разделить на три следующих последовательно  выполняемых этапа:

1. Построение математической (концептуальной) модели;

2. Разработка моделирующего алгоритма и построение имитационной модели;

3. Исследование системы с помощью концептуальной модели (проведение имитационных экспериментов, обработка и интерпретация результатов).

Этап 1.

На основании изучения содержательного описания системы, составленного в терминах предметной области, осуществляется переход к математической (концептуальной) модели.

Концептуальная модель сложной системы представляет собой  упрощенное математическое или алгоритмическое  описание сложной системы.

Построение концептуальной модели включает 5 взаимосвязанных  этапов.

1. Постановка задачи и формулировка целей исследования.
2. Анализ системы: разбиение (декомпозиция) системы на элементы, допускающие удобное математическое или алгоритмическое описание; определение связей между элементами.

1.3. Определение параметров, переменных и возможных состояний системы, установление областей изменения для них.

1.4. Выбор показателей эффективности функционирования системы.

1.5. Описание концептуальной модели системы и проверка ее адекватности: использование математических моделей, проверка гипотез, предложений и математических соотношений.

Этап 2.

На данном этапе осуществляется переход от концептуальной модели к  моделирующему алгоритму и имитационной модели. Этот переход осуществляется в 5 основных этапов.

1. Выбор способа имитации, а также вычислительных и программных средств реализации имитационной модели .
2. Построение логической схемы моделирующего алгоритма.
3. Алгоритмизация математических моделей, описывающих по ве д ени е элементов системы и связей между ними в рамках выбранного способа имитации.
4. Разработка имитационной модели, т.е. программирование моделирующего алгоритма.

.5.Отладка, тестирование  и проверка адекватности имитационной  модели.

Этап 3.

Использование ИМ осуществляется в три этапа.

3.1. Планирование имитационных экспериментов .

3.2. Проведение имитационных экспериментов.

3.3. Обработка, анализ и интерпретация результатов моделирования.

Имитационные модели могут использоваться для решения  различных задач исследования систем.

Задача 1. Оценивание значений показателей эффективности функционирования системы.

Задача 2. Исследование относительного влияния различных факторов на значения выходных характеристик системы.

Задача 3 Оценивание функциональной зависимости выходных характеристик системы от входных факторов.

Задача 4. Сравнение эффективности функционирования системы для различных значений параметров .

Задача 5. Оптимизация системы, т.е. нахождение таких параметров системы, при которых показатели эффективности функционирования системы принимают максимальные или минимальные значения (экстремальный эксперимент).

Вид эксперимента влияет не только на выбор схемы формализации модели, но также на построение плана эксперимента и выбор метода обработки его результатов.

С точки зрения организации  взаимодействия исследователя с  моделью в ходе эксперимента ИМ делятся  на автоматические и диалоговые.

Автоматическими называются ИМ, взаимодействие пользователя с  которыми сводится только к вводу  исходной информации и управлению началом  и окончанием работы моделей.

Диалоговыми называются ИМ, позволяющие исследователю активно  управлять ходом моделирования.

 

36. Способы  моделирования случайных  величин. Достоинства  и недостатки.

При создании имитационной модели возникает необходимость  моделирования различных случайных  факторов, к которым относятся случайные величины, случайные события и случайные процессы. Формирование на ЭВМ реализаций случайных объектов любой природы сводится к выработке и преобразованию случайных чисел.

На практике используются три основных способа генерации  случайных чисел: аппаратный (физический), файловый (табличный) и алгоритмический (программный). Рассмотрим их, отметив достоинства и недостатки каждого.

Аппаратный  способ. При этом способе генерации случайные числа вырабатываются специальной электронной приставкой — генератором (датчиком) случайных чисел, служащей в качестве одного из внешних устройств ЭВМ. Таким образом, реализация этого способа генерации не требует дополнительных вычислительных операций ЭВМ по выработке случайных чисел, а необходима только операция обращения к внешнему устройству (датчику). В качестве физического эффекта, лежащего в основе таких генераторов чисел, чаще всего используются шумы в электронных и полупроводниковых приборах, явления распада радиоактивных элементов и т. д.

Достоинства:

• реализация этого способа генерации не требует дополнительных вычислительных операций ЭВМ по выработке случайных чисел, а необходима только операция обращения к внешнему устройству;
• не занимается место в памяти машины для хранения больших массивов чисел.

Недостатки:

—требуется периодическая  проверка статистических характеристик  последовательностей;

—нельзя повторно воспроизводить одни и те же последовательности;

• используется специальное устройство и средства его сопряжения с ЭВМ;
• необходимы меры по обеспечению стабильности работы генератора.

Табличный способ. При использовании этого способа случайные числа, оформленные в виде таблицы, помещаются во внешнюю или оперативную память ЭВМ, предварительно сформировав из них соответствующий файл (массив чисел). Однако этот способ получения случайных чисел при моделировании систем на ЭВМ обычно рационально использовать при сравнительно небольшом объеме таблицы и соответственно файла чисел, когда для хранения можно применять оперативную память. Хранение файла во внешней памяти при частном обращении в процессе статистического моделирования не рационально, так как вызывает существенное увеличение затрат машинного времени при моделировании из-за необходимости обращения к внешнему накопителю (на магнитных дисках, лентах и т. д.). Возможны промежуточные способы организации файла, когда он переписывается в оперативную память периодически по частям. Это уменьшает время на обращение к внешней памяти, но сокращает объем оперативной памяти, который можно использовать для моделирования процесса функционирования системы.

 Достоинства:

• требуется однократная проверка статистических характеристик;
• можно повторно воспроизводить последовательности.
• Недостатки:
• запас чисел ограничен;

— занимает много места  в оперативной памяти или необходимо время на обращение к внешней  памяти;

— невозможно при проведении эксперимента поменять значения статистических характеристик.

Алгоритмический способ. Способ получения последовательностей случайных чисел основан на формировании случайных чисел в ЭВМ с помощью специальных алгоритмов и реализующих их программ. Каждое случайное число вычисляется с помощью соответствующей программы по мере возникновения потребностей при моделировании системы на ЭВМ.

Достоинства:

• требуется однократная проверка статистических характеристик;
• можно многократно воспроизводить последовательности чисел;
• занимает мало места в памяти машины;
• не используются внешние устройства. Недостатки:
• псевдослучайность чисел;
• Запас чисел последовательности ограничен ее периодом;
• Существенные затраты машинного времени. Сравнение достоинств и недостатков трех перечисленных способов

получения случайных  чисел показывает, что алгоритмический  способ получения случайных чисел  наиболее рационален на практике при  моделировании систем на ЭВМ.

 

37. Равномерно - распределенные случайные числа (РРСЧ). Методы моделирования РРСЧ.

 

При исследовании систем методом имитационного моделирования существенное количество операций, а, следовательно, и времени расходуется на действия со случайными числами. Поэтому наличие простых и экономных способов программного формирования последовательностей случайных чисел во многом определяет возможность практического использования этого метода.

В качестве исходной (базовой) последовательности случайных чисел  для имитации случайных факторов различной природы необходимо выбирать такую последовательность, которая  может быть получена с наименьшими, по возможности затратами машинного времени и, кроме того, обеспечивает простоту и удобство дальнейших преобразований.

Практика показывает, что в наибольшей степени этим требованиям удовлетворяет последовательность случайных чисел с равномерным распределением в интервале (0, 1).

Непрерывная случайная  величина η имеет равномерное распределение в интервале (a, b), если ее функции плотности (рис.3.1) и распределения (рис.3.2) имеют следующий вид

Числовые характеристики этого распределения: математическое ожидание, дисперсия и среднее квадратическое отклонение равны соответственно

При а = 0, b = 1 имеем

Это распределение требуется  получить на ЭВМ. Но при этом следует  учитывать то, машина оперирует с n-разрядными числами. Поэтому вместо непрерывной совокупности равномерных случайных чисел интервала (0, 1) используется дискретная последовательность 2 случайных чисел того же интервала. Закон распределения такой дискретной последовательности называют квазиравномерным распределением.

Рассмотрим  характеристики этого распределения.

При использовании  ЭВМ целые числа представляются в двоичном виде как  где принимает значение 0 или 1, а п - длина разрядной сетки. Если выполняется условие P(zi = 0) = P(zi=1)=0,5, то квазиравномерно распределённые числа. Для получения интересующей нас последовательности чисел £, из интервала (0, 1), надо числа £,* пронормировать.

При n-разрядной двоичной сетке можно представить 2 различных значений ,

Вероятность каждого  значения равна 2

Найдём математическое ожидание и среднее квадратичное отклонение случайной величины

Известно что, . Отсюда

Дисперсию можно  найти, используя начальный момент

Учитывая, что  получим

Таким образом, математическое ожидание квазиравномерной случайной величины совпадает с математическим ожиданием равномерной случайной последовательности интервала (0, 1), а дисперсия отличается только множителем который при достаточно больших n близок к единице

 

38. Проверка качества последовательностей РРСЧ. Оценка равномерности.
39. Проверка качества последовательностей РРСЧ. Оценка стохастичности
40. Проверка качества последовательностей РРСЧ. Оценка независимости.
41. Проверка качества последовательностей РРСЧ. Оценка и способы увеличения длины периода  и  длины  участка  апериодичности.
42. Формирование случайных величин с заданным законом распределения. Метод  обратной  функции.

Идея этого метода базируется на следующем утверждении.

Если случайная величина ξ имеет функцию распределения Fξ(x), то распределение случайной величины η=Fξ(ξ) равномерно в интервале от 0 до 1 (рис. 3.6.а).

Иными словами, если бы у  нас имелась реализация {хi} случайной величины ξ, то, реобразовав ее с помощью функции Fξ(x), мы получим реализацию {yi} случайной величины η, равномерно распределенной в интервале от 0 до 1: yi= Fξ(xi). (3.1)