Шпаргалка по "Математическому моделированию"

Но наша задача заключается  в том, что бы, имея выборку {yi} случайной величины η, равномерно распределенной в интервале от 0 до 1, получить числа {хi} с функцией распределения Fξ(x). Отсюда вытекает идея метода − разрешить относительно хi уравнение (3.1), то есть получить выражение для обратной относительно Fξ(x) функции (рис. 3.6.б):

Докажем, что случайная  величина, значения которой получены в соответствии с (3.1), будет иметь  равномерное распределение.

Пусть η – равномерно распределена от 0 до 1. Рассмотрим случайное число , где функция φ – монотонна и непрерывна.

Тогда .

Найдем функцию распределения  для величины ξ :

Ввиду монотонности функции φ справедливо

Здесь для получения  конечного выражения учтено то, что функция представляет собой функцию плотности для равномерного в интервале (0, 1) распределения и равна 1 в этом интервале и 0 вне его. Окончательно получим: .Отсюда:

Таким образом, функция φ, связывающая равномерно распределённую величину η с величиной ξ, имеющую функцию распределения Fξ есть функция , т.е. обратная по отношению к Fξ.

Рассмотрим пример использования  метода обратной функции.

Надо получить число  с показательным законам распределения. Для него функция плотности имеет вид:

Получим функцию распределения  для показательного закона:

В соответствии с тем, что было рассмотрено выше, если в это выражение подставить величину xi, имеющую показательное распределение, то в результате получится число yi, равномерно распределенное от 0 до 1: или

Прологарифмируем обе  части уравнения:

.

Отсюда

Если величина yi равномерно распределена от 0 до 1, то и 1- yi будет обладать этим же свойством, поэтому окончательно:

Итак, если в нашем  распоряжении имеются числа {yi}, равномерно распределенные от 0 до 1, то, воспользовавшись полученным выражением, можно вычислить последовательность чисел {хi}, имеющих показательное законам распределение.

43. Формирование случайных величин с заданным законом распределения. Универсальный метод для случая  описания вида распределения функцией  плотности f_ξ(x).
44. Формирование случайных величин с заданным законом распределения. Универсальный метод для случая  описания вида распределения в виде гистограммы.

Большей информативностью, по сравнению  с такими статистическими характеристиками как математическое ожидание, дисперсия, для инженера обладает закон распределения вероятности случайной величины X. Представим, что X принимает случайные значения из некоторого диапазона. Например, X — диаметр вытачиваемой детали. Диаметр может отклоняться от запланированного идеального значения под влиянием различных факторов, которые нельзя учесть, поэтому он является случайной слабо предсказуемой величиной. Но в результате длительного наблюдения за выпускаемыми деталями можно отметить, сколько деталей из 1000 имели диаметр X1 (обозначим NX1), сколько деталей имели диаметр X2 (обозначим NX2) и так далее. В итоге можно построить гистограмму частости диаметров, откладывая для X1 величину NX1/1000, для X2 величину NX2/1000 и так далее. (Обратите внимание, если быть точным, NX1 — это число деталей, диаметр которых не просто равен X1, а находится в диапазоне от X1 – Δ/2 до X1 + Δ/2, где Δ = X1 – X2). Важно, что сумма всех частостей будет равна 1 (суммарная площадь гистограммы неизменна). Если X меняется непрерывно, опытов проведено очень много, то в пределе N –> ∞ гистограмма превращается в график распределения вероятности случайной величины. На рис. 24.1, а показан пример гистограммы дискретного распределения, а на рис. 24.1, б показан вариант непрерывного распределения случайной величины.

Рис. 24.1. Сравнение дискретного  и непрерывного законов распределения  случайной величины

В нашем примере закон распределения  вероятности случайной величины показывает насколько вероятно то или иное значение диаметра выпускаемых деталей. Случайной величиной является диаметр детали.

В производстве и технике часто  такие законы распределения заданы по условию задачи. Наша задача сейчас состоит в том, чтобы научиться  имитировать появление конкретных случайных событий согласно вероятностям такого распределения.

45. Формирование случайных величин с заданным законом распределения. Метод исключения (отбраковки, резекции, Дж. Неймана).
46. Формирование случайных величин с заданным законом распределения. Метод исключения (отбраковки, резекции, Дж. Неймана) <span class="List_0020Paragraph__Char" style=" font-size: 6