Історія виникнення золотого перерізу

 

Ця формула цікава тим, що справа знаходяться ірраціональні числа і , а ліворуч завжди ціле. З останньої формули легко отримати таке співвідношення:

 

яке разом із формулами показує глибокий зв'язок між числами Фібоначчі і основою золоті пропорції. У них можна помітити майже «містичну» присутність числа 5.

Фундаментальне значення золотого перерізу обґрунтовується також тим, що є границею деяких простих і природним чином певних числових послідовностей. Як приклад наведемо два нескінченних вирази для числа :

,

 

Фібоначчі так само займався вирішенням практичних потреб торгівлі: за допомогою якої найменшої кількості гирь можна зважити товар? Фібоначчі довів, що оптимальною є така система гирь: 1, 2, 4, 8, 16... Ряд Фібоначчі (1, 1, 2, 3, 5, 8) і «двійковий» ряд гирь 1, 2, 4, 8, 16... на перший погляд абсолютно різні. Але алгоритми їх побудови досить схожі один на один: у першому випадку кожне число є сумою попереднього числа з самим собою 2=1+1; 4=2+2..., у другому – це сума двох попередніх чисел 2=1+1, 3=2+1, 5=3+2... [2,.с. 31].

Ряд Фібоначчі міг би залишитися тільки математичним казусом, якби не та обставина, що всі дослідники золотого перерізу в рослинному і в тваринному світі, не кажучи вже про мистецтво, незмінно приходили до цього ряду як арифметичному вираженню закону золотого перерізу.

Присутність золотої пропорції і чисел Фібоначчі в живій природі дозволяють говорити про деякий єдиний механізм їх виникнення. Числа Фібоначчі і золотий переріз є математичним описом деякого формотворного процесу [3].

 

2.2. «Золоті» фігури

На основі ідеї золотого перерізу існують різні фігури, що містять цю пропорцію. Аналогічно назві пропорції, їх називають «золоті» фігури.

Золотий прямокутник.

Якщо побудувати квадрат зі стороною =, знайти середину відрізка і провести дугу кола радіусом з центром у точці до перетину з продовженням сторони в точці , то точка розділить відрізок в крайньому і середньому відношенні.

Щоб переконатися в цьому, зауважимо, що за теоремою Піфагора

,

 

Прямокутник зі сторонами називається золотим прямокутником. Чотирикутник – квадрат. Неважко побачити, що прямокутник також золотий, оскільки . Ця обставина відразу наводить на думку про подальше розбиття прямокутника (рис..2.1).

Чи можна вважати, що прямокутник з відношенням сторін, рівним , виглядає витонченіше, ніж прямокутники з відношенням сторін, скажімо, 2:1, 3:2 або 5:7? Щоб відповісти на це питання, були проведені спеціальні експерименти. Результати їх не цілком переконливі, але все ж свідчать про деяку перевагу, що віддається золотому перерізу [10, с. 52].

Рис. 2.1

 

Золотий трикутник.

Проводимо пряму . Від точки послідовно відкладаємо три рівні відрізки довжиною через отриману точку проведемо перпендикуляр до лінії , на перпендикулярі вправо і вліво від точки відкладаємо відрізки довжиною . Отримані точки і E з'єднуємо прямими з точкою . Відрізок відкладаємо на лінію , отримуючи точку . Вона розділила лінію в пропорції золотого перерізу. Лінії і використовують для побудови «золотого» прямокутника (рис. 2.2) [7, с. 5].

 
Рис. 2.2

Золотий п'ятикутник.

Яскравим прикладом золотого перерізу є правильний п'ятикутник – опуклий і зірчастий (рис. 2.3).

Рис. 2.3

Для побудови пентаграми необхідно побудувати правильний п'ятикутник.

Нехай – центр кола, – точка на колі і – середина відрізка . Перпендикуляр до радіуса , що проходить через точку , перетинається з колом у точці . Користуючись циркулем, відкладемо на діаметрі відрізок . Довжина сторони вписаного в коло правильного п'ятикутника дорівнює . Відкладаємо на колі відрізки і отримаємо п'ять точок для побудови правильного п'ятикутника (рис. 2.3). З'єднуємо кути п'ятикутника через один діагоналями і отримуємо пентаграму. Всі діагоналі п'ятикутника ділять одна одну на відрізки, пов'язані між собою золотою пропорцією.

Кожний трикутник п'ятикутної зірки є золотим трикутником. Його сторони утворюють кут 36° при вершині, а бічна сторона, ділиться у відношенні золотого перерізу [3, с. 29].

Ще однією із «золотих» фігур є золотий кубоїд – це прямокутний паралелепіпед з ребрами, що мають довжини 1,618; 1 і 0,618 (рис. 2.4) [11].

Рис. 2.4

Спіраль Архімеда.

Послідовно відтинаючи від золотих прямокутників квадрати до нескінченності, кожного разу поєднуючи протилежні точки чвертю кола, ми отримаємо досить витончену криву. Першим увагу на неї звернув давньогрецький вчений Архімед, ім'я якого вона і носить. Його зацікавила спіральна форма ракушки (рис. 2.5).

У даний час спіраль Архімеда широко використовується в техніці [5,.с..66].

Рис. 2.5

 

2.3. Золотий переріз у задачах

Тепер розглянемо застосування золотого перерізу:

Задача1. (золотий прямокутник) Чи існує прямокутник, який можна розрізати на дві частини, одна з яких є квадратом, а інша – прямокутником, подібним даному?

Рис. 2.6

Розв’язання. Очевидно, що для того щоб прямокутник був розрізаний на два прямокутника, лінія перерізу повинна бути паралельна до його сторони. Нехай даний прямокутник розрізали прямою так, щоб утворився квадрат і прямокутник (рис. 2.6). Тоді умова подібності прямокутника і запишеться у вигляді:

 

Враховуючи, що , отримуємо відношення (1), а це означає, що точка поділяє відрізок в крайньому і середньому відношенні. Тому такий прямокутник існує, і відношення його сторін рівне золотому перерізу. Такий прямокутник називають золотим прямокутником [2, с. 30].

Задача 2. Чи існує рівнобедрений трикутник, який можна розрізати на два різні рівнобедрені трикутники, один з який подібний даному?

Розв’язання. Позначимо початковий трикутник . Лінія перерізу, очевидно, повинна проходити через одну із його вершин. Нехай лінією перерізу буде відрізок , де – точка на стороні . Розглянемо окремо два випадки, коли – основа і коли. – бічна сторона трикутника.

Рис. 2.7

Нехай – основа, а – вершина рівнобедреного трикутника (рис..2.7). Нехай трикутник подібний трикутнику , а – не рівний даному рівнобедрений трикутник. Тоді , . Із подібності випливає

 

Замінюючи в чисельнику лівої частини і в знаменнику правої частини на , отримуємо відношення (1). А це означає, що точка ділить відрізок у крайньому і середньому відношенні. Отже, шуканий рівнобедрений трикутник такий, що відношення його основи до бічної сторони дорівнює золотому перерізу.

Рис. 2.8

Тепер нехай основою трикутника є (рис. 2.8). Очевидно, що із двох частин подібним трикутнику . може бути тільки .

Маємо і . Із подібності випливає

 

Замінюючи на , знову отримуємо відношення (1). Отже, і в цьому випадку точка ділить відрізок у крайньому і середньому відношенні. У цьому трикутнику відношення сторони до основи дорівнює золотому перерізу.

Отже, ми знайшли два типи шуканих трикутників. В обох випадках відношення сторін такого трикутника дорівнює золотому перерізу. У другому випадку це відношення бічної сторони до основи, і трикутник виходить гострим, а в першому випадку – навпаки, золотому перерізу рівне відношення основи до бічної сторони, і в цьому випадку трикутник тупий. Кожний із двох типів золотих трикутників перерізається на два золотих трикутника різних типів [2,.с..31].

Приклади розв’язування інших задач, у яких використовується золотий переріз наведені в додатку А.

 

РОЗДІЛ 3

ЗОЛОТИЙ ПЕРЕРІЗ І СВІТ НАВКОЛО НАС

 

3.1. Золотий переріз у культурі та мистецтві

Золотий переріз у живописі.

Розглядаючи приклади золотого перерізу в живописі, не можна не зупинити своєї уваги на творчості Леонардо да Вінчі. Його особистість – одна із загадкових постатей в історії. Сам Леонардо да Вінчі казав: «Пусть никто, не будучи математиком, не дерзнет читать мои труды» [3, с. 23].

Немає сумнівів, що Леонардо да Вінчі був великим художником, це визнавали вже його сучасники, але його особистість і діяльність залишаться покритими таємницею, оскільки він залишив нащадкам не зв'язний виклад своїх ідей, а лише численні рукописні нариси, нотатки, в яких йдеться «про все на світі».

Портрет Мони Лізи (Джоконди) довгі роки привертає увагу дослідників, які виявили, що композиція малюнка заснована на золотих трикутниках, які є частинами правильного зірчастого п'ятикутника (рис. 3.1) [12, с.9].

Рис. 3.1

Також пропорція золотого перерізу виявляється в картині Шишкіна. На ній проглядаються мотиви золотого перерізу. Яскраво освітлена сонцем сосна (що стоїть на першому плані) ділить довжину картини по золотому перерізу. Праворуч від сосни – освітлений сонцем пагорб. Він ділить по золотому перерізу праву частину картини по горизонталі (рис. 3.2).

Рис. 3.2

У картині Рафаеля «Побиття немовлят» проглядається інший елемент золотої пропорції – золота спіраль. На підготовчому ескізі Рафаеля проведені червоні лінії, що йдуть від ключового центру композиції – точки, де пальці воїна зімкнулися навколо щиколотки дитини – вздовж фігур дитини, жінки, що притискає його до себе, воїна з занесеним мечем і потім уздовж фігур такої ж групи в правій частині ескізу. Невідомо, чи будував Рафаель золоту спіраль чи відчував її (рис. 3.3) [5, с. 70].

Рис. 3.3

Золотий переріз у скульптурі.

Відомо, що ще в давнину основу скульптури становила теорія пропорцій. Відношення частин людського тіла пов'язувалися з формулою золотого перерізу. Пропорції золотого перерізу створюють враження гармонії краси, тому скульптори використовували їх у своїх творах.

Скульптори стверджують, що талія ділить людське тіло відносно золотого перерізу. Так, наприклад, знаменита статуя Аполлона Бельведерського складається з частин, що діляться за золотими пропорціями (додаток Б).

Великий давньогрецький скульптор Фідій часто використовував золотий переріз у своїх творах. Найзнаменитішою з них була статуя Зевса Олімпійського (рис. 3.4) [3, с. 67].

Рис. 3.4

Вимірювання декількох тисяч людських тіл дозволили виявити, що для дорослих чоловіків це відношення дорівнює 1,625, а для дорослих жінок воно становить 1,6. Так що пропорції чоловіків ближче до золотого перерізу, ніж пропорції жінок. Було проведено велику кількість вимірювань на вміщених у журналах великих портретах чоловіків і жінок, на багатьох із них зазначені відношення є золотим перерізом [4].

Золотий переріз в архітектурі.

У книгах про золотий переріз можна знайти зауваження про те, що в архітектурі, як і в живописі, все залежить від положення спостерігача. Золотий переріз дає найбільш спокійне співвідношення розмірів тих чи інших довжин. Одним із найкрасивіших творів давньогрецької архітектури є Парфенон (V ст. до н. е).

Парфенон має 8 колон по коротких сторонах і 17 по довгих. Відношення висоти будівлі до його довжини рівне 0,618. Якщо зробити розподіл Парфенона по золотому перерізу, то отримаємо ті чи інші виступи фасаду (рис. 3.5).

Розміри Парфенона добре вивчені, але наведені вимірювання не завжди однозначні. Слід врахувати, про що сказано нижче, що геометрія архітектури храму дуже непроста – в ній майже відсутні прямі лінії, тому визначення розмірів ускладнено. Відомо, що фасад Парфенона вписаний у прямокутник зі сторонами 1:2, а план утворює прямокутник зі сторонами 1 та . Відомо, що діагональ прямокутника 1:2 має розмір , отже, прямокутник фасаду і є вихідним у побудові геометрії Парфенона [13, с. 29].