Использование теории игр при разработке управленческих решений»

СОДЕРЖАНИЕ

Введение

Применение теории игр

Основные понятия теории игр

Решение матричной игры в  смешанных стратегиях

Заключение 

Список источников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

Конфликты происходят в нашей  жизни ежедневно. Причем конфликт это  не только несовпадающие интересы двух и более сторон, но также большое количество противоречащих друг другу целей одного лица. Поэтому, выбранную мной тему, считаю достаточно насущной и важной в наше время.

Теория игр занимается исследованием разных конфликтных ситуаций, довольно часто встречающихся в таких областях человеческой деятельности как управление, экономика и др.

Теория игр используется не так часто, как другие модели. К сожалению, ситуации реального мира зачастую очень сложны и очень  быстро изменяются. Тем не менее, теория игр полезна, когда требуется определить наиболее важные и требующие учета факторы в ситуации принятия решений в условиях конкурентной борьбы. Эта информация важна, поскольку позволяет руководству учесть дополнительные переменные или факторы, которые могут повлиять на ситуацию в дальнейшем, и тем самым повысить эффективность решения.

Математическая теория игр  определяет принципы оптимального поведения в условиях неопределенности (конфликта), доказывает существование решений, удовлетворяющих этим принципам, указывает алгоритмы  нахождения решений и реализует их. К тому же, она способна не только указать оптимальный путь к решению некоторых проблем, но и прогнозировать их исход. От реального конфликта игра отличается тем, что ведется по определенным правилам. Эти правила, устанавливают последовательность ходов, объем информации каждой стороны о поведении другой и результат игры в зависимости от сложившейся ситуации.

Цель работы заключается в получении нужных и наиболее важных знаний о теории игр, изучении основных понятий теории игр и области применения. А также рассмотрим пример теории игр и алгоритм решения такой задачи.

 

Применение теории игр

Теория игр - это раздел прикладной математики. Чаще всего методы теории игр находят свое применение в экономике, чуть реже в других общественных науках - социологии, политологии, психологии, этике и других. Начиная с 1970-х годов ее взяли на вооружение биологи для исследования поведения животных и теории эволюции.

Нейман и Моргенштерн  написали книгу, которая содержала  главным образом экономические  примеры, так как именно экономическому конфликту легче всего придать численную форму. Во время второй мировой войны и сразу после нее теорией игр заинтересовались военные, которые увидели в ней аппарат для решения стратегических решений. Далее главное внимание снова стало уделяться экономическим проблемам. В наше время ведутся исследования, направленные на расширение сферы применения теории игр.

В качестве примеров применения теории игр в управлении можно  назвать решения по поводу проведения принципиальной ценовой политики, вступления на новые рынки, кооперация и создание совместных предприятий, определение лидеров и исполнителей в области инноваций и прочее. Положения данной теории можно использовать для всех видов решений, если на их принятие действуют другие действующие лица.

Теория игр, как один из подходов в прикладной математике, применяется для изучения поведения человека и животных в различных ситуациях. Первоначально теория игр начала развиваться в рамках экономической науки, позволив понять и объяснить поведение экономических агентов в различных ситуациях. Позднее область применения теории игр была расширена на другие социальные науки; в настоящее время теория игр используется для объяснения поведения людей в политологии, социологии и психологии. Теория игр используется не только для предсказания и объяснения поведения; были предприняты попытки использовать теорию игр для разработки теорий этичного или эталонного поведения. Экономисты и философы применяли теорию игр для лучшего понимания хорошего (достойного) поведения. Вообще говоря, первые теоретико-игровые аргументы, объясняющие правильное поведение, высказывались ещё Платоном.

На промышленных предприятиях теория игр может применяться  для выбора оптимальных решений, например, при создании рациональных запасов сырья, материалов, полуфабрикатов, когда противоборствуют две тенденции: увеличение запасов, гарантирующих бесперебойную работу производства, сокращения запасов в целях минимизации затрат на их хранение. В сельском хозяйстве теория игр может применяться при решении таких экономических задач, как посева одной из возможных культур, урожай которой зависит от погоды, если известны цена единицы той или иной культуры и средняя урожайность каждой культуры в зависимости от погоды (например, будет ли лето засушливы, нормальным или дождливым); в этом случае одним выступает сельскохозяйственное предприятие, стремящееся обеспечить наибольший доход, а другим - природа.

Для применения теории игр  нужна существенная схематизация конфликтной ситуации и представление ее в виде игры, в которой противники, именуемые игроками, имеют противоположные цели и располагают различными путями для их достижения. Причем обязательным является то, что достижение одним игрокам своей цели находится в непосредственной зависимости от выбора способа действий другим игроком. Более того, отличительная особенность игры по сравнению с реальной конфликтной ситуацией состоит в том, что первая ведется по заранее определенным правилам. В этом и заключается основное ограничение в применении теории игр. Ведь если теоретико-игровой подход, безусловно, правомерен в любой игре, то не всегда можно построить соответствующую математическую модель для конкретных условий обстановки.

Основное значение теории игр состоит в том, что она  дает ориентацию тогда, когда применение другого математического аппарата невозможно из-за отсутствия необходимой  информации о действиях противника, а времени и, самое главное, других эффективных способов нет.

Применение теории игр  для обоснования оптимального решения  требует представления конфликтной ситуации в виде некоторой игры, которая по своему содержанию и форме является ее математической моделью.

Основные понятия  теории игр

Теория игр изучает  то, каким образом двое или более  игроков выбирают отдельные действия или целые стратегии. Название этой теории настраивает на несколько отвлеченный лад, поскольку оно ассоциируется с игрой в шахматы или с ведением войн. На самом деле, смысл этой дисциплины довольно глубок. Теория игр была разработана выходцем из Венгрии, гениальным математиком Джоном фон Нейманом (1903-1957). Для описания игры важно определить наиболее важных игроков, хотя это сложно не всегда осуществимо.

Игры охватывают, как правило, несколько периодов, в течение  которых игроки предпринимают последовательные или одновременные действия. Эти  действия, как уже было сказано  ранее,  обозначаются термином «ход». Действия (в рассматриваемой нами сфере приложения теории игр) могут быть связаны с ценами, объемами продаж, затратами на научные исследования и разработки и т.д. Периоды, в течение которых игроки делают свои ходы, называются этапами игры.

Нет математической теории, которая могла бы дать алгоритм любой  реальной игры, но существуют ситуации, подобные игровым допускающие математический анализ.

Интересы участников игры (игроков) могут оказаться несовпадающими и даже противоположными. В последнем  случае игра называется антагонистической.

Классификация игр осуществляется следующим образом.

В зависимости от видов  ходов игры подразделяются на стратегические и азартные. Если наряду со случайными ходами есть личные ходы, или все ходы личные, то такие игры называются стратегическими.

 В зависимости от  числа участников игры подразделяются  на парные и множественные.  В парной игре число участников  равно двум, в множественной - более двух.

Участники множественной  игры могут образовывать коалиции, как постоянные, так и временные. По характеру взаимоотношений игроков игры делятся на бескоалиционные, коалиционные и кооперативные.

Бескоалиционными называются игры, в которых игроки не имеют  право вступать в соглашения, образовывать коалиции, и целью каждого игрока является получение по возможности наибольшего индивидуального выигрыша.

Игры, в которых действия игроков направлены на максимизацию выигрышей коллективов (коалиций) без последующего их разделения между игроками, называются коалиционными.

Исходом кооперативной игры является дележ выигрыша коалиции, который возникает не как следствие тех или иных действий игроков, а как результат их наперед определенных соглашений.

В соответствии с этим в  кооперативных играх сравниваются по предпочтительности не ситуации, как это имеет место в бескоалиционных играх, а дележи; и сравнение это не ограничивается рассмотрением индивидуальных выигрышей, а носит более сложный характер.

 По количеству стратегий каждого игрока игры подразделяются на конечные (число стратегий каждого игрока конечно) и бесконечные (множество стратегий каждого игрока бесконечно).

По количеству информации, имеющейся у игроков относительно прошлых ходов, игры подразделяются на игры с полной информацией (имеется вся информация о предыдущих ходах) и неполной информацией. Примерами игр с полной информацией могут быть шахматы, шашки и т.п.

По виду описания игры подразделяются на позиционные игры (или игры в развернутой форме) и игры в нормальной форме. Позиционные игры задаются в виде дерева игры. Но любая позиционная игра может быть сведена к нормальной форме, в которой каждый из игроков делает только по одному независимому ходу. В позиционных играх ходы делаются в дискретные моменты времени. Существуют дифференциальные игры, в которых ходы делаются непрерывно. Эти игры изучают задачи преследования управляемого объекта другим управляемым объектом с учетом динамики их поведения, которая описывается дифференциальными уравнениями.

Существуют также рефлексивные игры, которые рассматривают ситуации с учетом мысленного воспроизведения возможного образа действий и поведения противника.

Если любая возможная  партия некоторой игры имеет нулевую  сумму выигрышей fi,  всех N игроков (), то говорят об игре с нулевой суммой. В противном случае игры называются играми с ненулевой суммой.

Очевидно, что парная игра с нулевой суммой является антагонистической, так как выигрыш одного игрока равен проигрышу второго, а следовательно цели этих игроков прямо противоположны.

Конечная парная игра с  нулевой суммой называется матричной  игрой. Такая игра описывается платежной  матрицей, в которой задаются выигрыши первого игрока. Номер строки матрицы  соответвует номеру применяемой стратегии первого игрока, столбец - номеру применяемой стратегии второго игрока; на пересечении строки и столбца находится соответствующий выигрыш первого игрока (проигрыш второго игрока).

Конечная парная игра с  ненулевой суммой называется биматричной  игрой. Такая игра описывается двумя  платежными матрицами, каждая для соответствующего игрока.

В игре могут участвовать  два или более игроков. Случай игры с одним участником (пасьянс, управление физическим объектом и т.д.) в сущности является игрой двух лиц, где вторым участником выступает природа (судьба, рок, провидение).

Игроки могут в игре выступать каждый за себя или объединяться в группы. В последнем случае игра называется коалиционной.

Игры, в которых игроки осведомлены о состоянии своем  и партнеров, а также о прошлом  поведении участников игры, относятся  к категории игр с полной информацией (типичные примеры - шахматы, "крестики-нолики" и т.п.). Большинство же игр протекает  в условиях неполной информации, где  сведения о состоянии партнеров  исчерпываются лишь вероятностными характеристиками (домино, карточные игры, игры против "природы").      Количественная оценка результатов игры vj (j=), где n-число игроков, называется платежом или выигрышем.

Если vj>0 – выигрыш;

        vj<0 – проигрыш;

        vj=0 –  ничейный исход (j=).

В большинстве случаев  имеют место игры с нулевой  суммой(антагонистические игры), то есть когда для платежей всех участников игры выполняется условие:

v1+ v2+…+vn=0.,

Система правил, однозначно определяющая выбор хода игрока в  зависимости от сложившейся ситуации, называется стратегией.

Каждая фиксированная  стратегия игрока, где любой ситуации сопоставлен конкретный выбор, называется чистой. В реальности чаще используются смешанные стратегии, где чистые стратегии смешиваются с некоторыми частотами.

Стратегия игрока называется оптимальной, если при многократном повторении игры она обеспечивает игроку максимально возможный средний выигрыш (или минимально возможный средний выигрыш).

Если оба игрока используют свои оптимальные стратегии, то про  них можно сказать что они  используют максиминную и минимаксную стратегии. Если ситуация равновесия в чистых стратегиях существует , то верхняя и нижняя цены совпадают. И равны значению V, которое называется ценой игры. Под ценой игры понимают гарантированный выигрыш-проигрыш при оптимальной политике обоих игроков

Простейшими являются игры 2 лиц с нулевой суммой. Пусть  в такой игре игрок 1 имеет m выборов и игрок 2 - n выборов. Если игрок 1 делает свой i-й выбор, а игрок 2 - свой j-й выбор, то выигрыш игрока 1 (проигрыш игрока 2) равен hij. Такая игра называется матричной и матрица H= [hij / i=1..m , j=1..n ] называется матрицей выигрышей (платежной матрицей).