Оптимальный подход в управлении

При выводе их сделано существенное для последующего применения предположение о существовании оптимального управления (оптимального решения). Другими словами, если оптимальное решение существует, то оно обязательно удовлетворяет этим необходимым условиям. Однако этим же необходимым условиям могут удовлетворять и другие решения, не являющиеся оптимальными.

Поэтому, если найденное решение удовлетворяет необходимым условиям оптимальности, то это еще не означает, что оно является оптимальным.

Использование одних только необходимых условий дает возможность в принципе найти все решения, им удовлетворяющие, и отобрать затем среди них те, которые действительно являются оптимальными. Однако практически найти все решения, удовлетворяющие необходимым условиям, чаще всего не представляется возможным в силу большой трудоемкости такого процесса.

Поэтому после того, как найдено какое-либо решение, удовлетворяющее необходимым условиям, целесообразно проверить, является ли оно действительно оптимальным в смысле исходной постановки задачи.

Аналитические условия, выполнимость которых на полученном решении гарантирует его оптимальность, называются достаточными условиями. Формулировка этих условий и особенно их практическая (например, вычислительная) проверка часто оказывается весьма трудоемкой задачей.

В общем случае применение необходимых условий оптимальности было бы более обоснованным, если бы для рассматриваемой задачи можно было установить факт существования или существования и единственности оптимального управления. Этот вопрос является математически весьма сложным.7

Таким образом, из существования оптимального управления вытекает существование, по крайней мере, одного управления, удовлетворяющего необходимым условиям оптимальности, а из существования управления, удовлетворяющего необходимым условиям оптимальности, не вытекает существование оптимального управления.

В свою очередь, из существования оптимального управления и единственности управления, удовлетворяющего необходимым условиям, вытекает единственность оптимального управления, а из существования и единственности оптимального управления не следует единственность управления, удовлетворяющего необходимым условиям оптимальности.

При этом, для того, что сформулировать задачу оптимального управления, необходимо задать такое условие, которое позволяет отличать друг от друга более и менее выгодные решения данной задачи. Этой цели служит критерий оптимальности (критерий качества управления или целевой функционал).

Признаком большей или меньшей выгоды выбора управления будет служить значение интегрального функционала, вычисленного на этом управлении. Чем больше значение критерия оптимальности, тем более выгодным является данное управление.

То есть постановка задачи оптимального управления включает систему дифференциальных уравнений, описывающих поведение (функционирование) данного объекта и критерий оптимальности (функционал), который следует максимизировать или минимизировать, выбирая управляющие переменные. Решением задачи оптимального управления является оптимальный процесс, т.е. оптимальное управление и соответствующая ему оптимальная траектория.

То есть важным шагом в постановке и решении общей задачи управления, по мнению В.Д. Ногина, является выбор критерия оптимальности. Этот выбор является неформальным актом, он не может быть предписан какой-либо теорией, а целиком определяется содержанием задачи. В некоторых случаях формальное выражение понимания оптимальности системы допускает несколько эквивалентных (или почти эквивалентных) формулировок. В таких случаях успех и простота получаемого решения во многом определяется выбранной формой критерия оптимальности (при условии, что во всех случаях он достаточно полно определяет требования задачи к системе).8

Собственно конкретные критерии, с помощью которых осуществляется выбор (критерии оптимальности), могут быть различными. Ими могут являться качество динамики процессов управления, надежность системы, энергопотребление, ее вес и габариты, стоимость и т.п., либо совокупность этих критериев с некоторыми весовыми коэффициентами и т.д.

Хороший пример приводит Б.И. Герасимов. Так, если рассмотреть подробно структуру функции прибыли предприятия и сформировать требования к целевой функции задачи долгосрочного планирования производства и сбыта, то за критерий оптимальности следует принимать общую чистую дисконтированную прибыль за весь горизонт планирования. В данном контексте, необходимость дисконтирования составляющих прибыли определяется требованиями рекомендаций по оценке эффективности инвестиционных проектов и составления бизнес-планов инвестиционных проектов. Дисконтирование денежных потоков позволяет учесть разновременность затрат и поступлений, сводя их к единому моменту времени с использованием.9

Таким образом, в теории оптимального управления если оптимальное решение существует, то оно обязательно удовлетворяет т.н. необходимым условиям. Аналитические условия, выполнимость которых на полученном решении гарантирует его оптимальность, называются достаточными условиями. При этом, для того, что сформулировать задачу оптимального управления, необходимо задать такое условие, которое позволяет отличать друг от друга более и менее выгодные решения данной задачи. Этой цели служит критерий оптимальности (критерий качества управления или целевой функционал). То есть важным шагом в постановке и решении общей задачи управления является выбор критерия оптимальности. Конкретные критерии, с помощью которых осуществляется выбор (критерии оптимальности), могут быть различными. Ими могут являться качество динамики процессов управления, надежность системы, энергопотребление, ее вес и габариты, стоимость и т.п., либо совокупность этих критериев с некоторыми весовыми коэффициентами и т.д.

4. Методы поиска  оптимальных решений

Современная методология оптимального управления базируется на:10

• вариационных задачах, возникающих при построении оптимальных систем управления;
• математической теории оптимального управления (принципе максимума Л.С. Понтрягина и методе динамического программирования Р. Беллмана), которая является фундаментом для построения оптимальных систем. Она доставляет большой объем информации о структуре оптимального управления;
• методах решения задач теории оптимального управления, которые предложены российскими учеными Р.П. Федоренко, Б.Т. Поляк, а также зарубежным - Э. Полак;
• объектах управления объектами, описываемыми линейными дифференциальными уравнениями, которые описаны А.М. Летовым и Р. Калманом. Они явились основой нового направления синтеза систем оптимальной стабилизации, называемого аналитическим конструированием регуляторов.

Методы теории оптимального управления можно условно разделить на прямые и непрямые (косвенные).

Непрямые методы сводят задачу оптимизации динамических характеристик системы, которые являются функционалами, к решению известных математических проблем.

К непрямым методам относятся:

• принцип максимума Л.С. Понтрягина и метод множителей Лагранжа классического вариационного исчисления. Принцип максимума сводит решение задачи оптимизации функционалов к решению известных задач - максимизации или минимизации некоторой специальной функции конечного числа переменных в сочетании с решением краевой задачи для системы обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) первого порядка. В классическом вариационном исчислении (ВИ) задача оптимизации функционала сводится к решению краевой задачи для системы ОДУ. Принцип максимума особенно удобен для решения оптимизационных задач, так как позволяет наиболее простым образом учесть различного рода ограничения на величины управляющих и фазовых переменных (переменных состояния). Классическое вариационное исчисление более удобно в задачах, описываемых ОДУ более общего вида (в частности, не разрешенных относительно производных) и не содержащих ограничений в виде неравенств на управляющие и фазовые переменные;
• принцип оптимальности, положенный в основу динамического программирования Р. Беллмана и метод Гамильтона-Якоби классического вариационного исчисления. В этих методах задача оптимизации функционала сводится к решению системы нелинейных ДУ в частных производных первого порядка с соответствующими граничными условиями;
• некоторые методы, основанные на использовании результатов функционального анализа (метод моментов и т.д.).

Прямые методы оптимального управления сводят задачу оптимизации функционала к построению минимизирующей (или максимизирующей) последовательности, на основании которой с помощью предельного перехода может быть получено точное решение задачи.11

К прямым методам относятся методы, основанные на сведении задач оптимизации функционалов к задачам на условный экстремум функций конечного числа переменных, различные варианты градиентных методов, методы типа Ритца-Галеркина и др.

Как в случае применения непрямых методов, так и в случаях использования прямых методов окончательное решение задачи оптимизации может отыскиваться либо в аналитической (замкнутой) форме, либо в числовой. Решения в квадратурах (за исключением редких случаев, таких как линейные системы с квадратным критерием качества) могут быть найдены лишь для задач в упрощенной постановке.

С их помощью можно исследовать качественные особенности оптимального управления. Если аналитическое решение не слишком громоздко, из него можно получить необходимые технико-экономические выводы. Поскольку решение такого рода не зависит от конкретных числовых значений параметров системы и граничных условий, они обладают высокой степенью универсальности. Однако в задачах, постановка которых приближается к реальным технико-экономическим ситуациям, получение решений в замкнутой форме, как правило, либо невозможно, либо приводит к весьма сложным выражениям.

В этом случае следует обратиться к численным методам решения.

Численные методы на современном этапе развития вычислительной математики обладают общностью, сравнимой с общностью аналитических методов.

Хотя при их использовании возникают определенные проблемы, связанные с оценками скорости сходимости, устойчивости, ошибками округлений, ограниченной разрядностью и т.д.

Методы оптимизации управления рационально применить:12

• в сложных технико-экономических системах, где отыскание приемлемых решений на основе опыта затруднительно. Опыт показывает, что оптимизация малых подсистем может приводить к большим потерям в критерии качества объединенной системы. Лучше приближенно решить задачу оптимизации системы в целом (пусть в упрощенной постановке), чем точно для отдельной подсистемы;
• в новых задачах, в которых отсутствует опыт формирования удовлетворительных характеристик процесса управления. В таких случаях формулировка оптимальной задачи часто позволяет установить качественный характер управления;
• на возможно ранней стадии проектирования, когда имеется большая свобода выбора. После определения большого количества проектных решений система становится недостаточно гибкой и последующая оптимизация может не дать существенного выигрыша. При необходимости определить направление изменения управления и параметров, дающих наибольшее изменение критерия качества (определение градиента качества).

Следует отметить, что для хорошо изученных и долго эксплуатируемых систем методы оптимизации могут давать небольшой выигрыш, так как найденные из опыта практические решения обычно приближаются к оптимальным.

В некоторых практических задачах, как отмечает А.А. Румянцев, наблюдается определенная «грубость» оптимальных управлений и параметров, т.е. большим локальным изменением управлений и параметров отвечают малые изменения критерия качества. Это дает иногда повод к утверждению, что на практике всегда пологие и строгие методы оптимизации не нужны.13

На самом деле «грубость» управления наблюдается лишь в случаях, когда оптимальное управление соответствует стационарной точке критерия качества. В этом случае изменение управления на определенную величину приводит к отклонению критерия качества на другую величину.

В случае управлений, лежащих по границе допустимой области, указанная грубость может и не иметь место. Это свойство должно исследоваться для каждой задачи специально. Кроме того, в некоторых задачах даже небольшие улучшения критерия качества, достигаемые за счет оптимизации, могут иметь существенное значение.

Главная проблема состоит в том, что сложные задачи оптимизации управления часто предъявляют чрезмерные требования к характеристикам ЭВМ, используемых при решении.14

Таким образом, современная методология оптимального управления базируется на вариационных задачах, математической теории оптимального управления (принципе максимума Л.С. Понтрягина и методе динамического программирования Р. Беллмана), методах решения задач теории оптимального управления, объектах управления объектами, описываемыми линейными дифференциальными уравнениями, которые описаны А.М. Летовым и Р. Калманом. Методы теории оптимального управления можно условно разделить на прямые и непрямые (косвенные). Непрямые методы сводят задачу оптимизации динамических характеристик системы, которые являются функционалами, к решению известных математических проблем. К непрямым методам относятся принцип максимума Л.С. Понтрягина и метод множителей Лагранжа классического вариационного исчисления, принцип оптимальности, положенный в основу динамического программирования Р. Беллмана и метод Гамильтона-Якоби классического вариационного исчисления, некоторые методы, основанные на использовании результатов функционального анализа (метод моментов и т.д.). Прямые методы оптимального управления сводят задачу оптимизации функционала к построению минимизирующей (или максимизирующей) последовательности, на основании которой с помощью предельного перехода может быть получено точное решение задачи. К прямым методам относятся методы, основанные на сведении задач оптимизации функционалов к задачам на условный экстремум функций конечного числа переменных, различные варианты градиентных методов, методы типа Ритца-Галеркина и др. В теории оптимального управления выделяют также численные методы.