Экономико-математический анализ учебной фирмы

 

Расчетная часть

Вариант №1.

Задание №1. Оптимальный  план производства.

 

Наша фирма ООО «Dmitri-UNO» выпускает два вида продукции: A и B. Для выпуска этой продукции она использует сырье четырех видов. Расход каждого вида сырья на изготовление единицы продукции и запасы каждого сырья заданы в таблице 1. В ней также указана прибыль, которую даёт выпуск одного изделия типа A и типа B.

Составить план выпуска продукции, обеспечивающий наибольшую прибыль. Указать  расход сырья каждого вида и плановую прибыль фирмы. Найти оптимальный  план графически, а также с помощью  программы Microsoft Excel. Провести анализ чувствительности плана относительно запасов каждого вида сырья на фирме. Дать рекомендации фирме по запасам сырья.

Изделие	Сырье
	№1	№2	№3	№4	Прибыль
A	4	1	1	2	3
B	4	0	0	1	2
Запасы сырья	28	4	6	10

табл.1

Решение:

Способ №1. – Графический.

Математическая  модель задачи линейного программирования.

Переменные:

 

 

Целевой функционал:

 

Ограничения задачи линейного программирования:

1.    Переменные не отрицательны

   ,

2. Ограничение на расход сырья №1

 

3. Ограничение на расход сырья №2

 

4. Ограничение на расход сырья №3

 

5. Ограничение на расход сырья №4

 

 

Сформулируем  задачу линейного программирования:

 

 

 

 

Построим допустимое множество  задачи линейного программирования. Для этого на координатной плоскости строим наши ограничения:

 

• Ограничение

Приравниваем  его к нулю, получаем прямую (1):

 

 

Допустим  тогда

Получаем первую точку 

Допустим  тогда .

Получаем вторую точку этой прямой .

 

Чтобы узнать, какая  полуплоскость удовлетворяет нашему ограничению, подставим в него точку

 

 

Значит, выбираем ту, в которой лежит точка.

 

• Ограничение

 определяет  полуплоскость, лежащую левее  прямой , (2).

Эта прямая пересекает прямую (1), в точке

 

• Ограничение

 определяет полуплоскость, лечащую ниже прямой , (3).

Эта прямая пересекает прямую (1), в точке

 

• Ограничение

Приравняем его  к нулю и получим прямую (4).

Допустим, , тогда

 

Получаем первую точку этой прямой

Допустим, тогда

.

Получаем вторую точку этой прямой , которая пересекает прямую (2) в этой точке.

 

 Чтобы узнать, какая полуплоскость удовлетворяет  нашему ограничению, подставим  в него точку .

 

 

Значит, выбираем ту, в которой лежит точка.

 

 

Допустимым планом нашей фирмы является 6-тиугольник OABCDE (рис.1). Что бы узнать, какая точка наиболее выгодна нашей фирме, с точки зрения прибыли, необходимо узнать их координаты и подставить их в целевой функционал.

 

• Координаты точки А равны (0,6), так как это пересечение оси ординат и прямой (3).
• Координаты точки В равны (1,6) так как это пересечение (1) и (3) прямых. Точка
• Координаты точки С нам необходимо высчитать из пересечения (1) и (4) прямых:

 

 

 

 

Координаты C(3,4).

• Координаты вершины D равны (4,2), так как это пересечение (2) и (4) прямых. Точка .

 

Наш целевой функционал равен , соответственно координаты целевого вектора (3,2). Оптимальный план даёт вершина C, поскольку она наиболее удалена в направлении целевого вектора .

Проверим это  аналитически:

→max.

 

 

С(3,4).

Расходы сырья №1:

Расходы сырья  №2:

Расходы сырья  №3: 4

Расходы сырья  №4: .

 

(Рис.1)

 

Способ 2: - Microsoft Excel

Данный способ решения  состоит из трёх этапов:

1. Вводим в виде таблицы исходные данные в программе Microsoft Excel (рис.2):

 

(рис.2)

 

 

2. Отводим две пустые ячейки под неизвестный план производства и  . Ссылаясь на эти ячейки, вводим формулу для целевого функционала (прибыли). Также ссылаясь на эти две ячейки, вводим четыре формулы для планового расхода сырья каждого вида (рис.3): 
   

(рис.3)

3) Далее выполняем следующие  команды в программе Excel:

• «Данные» —> «Поиск решения», где указываем, что задача на max;
• в окошке «Установить целевую ячейку» указываем ту ячейку, куда была введена плановая прибыль фирмы (F6);
• в окошке «Изменяя ячейки» указываем те две ячейки, где программа будет хранить оптимальный план (I3:I4);
• нажимаем кнопку «Добавить» и в лиловом окне «Добавление ограничения» находим три окошка ввода, в левом окошке указываем плановый расход сырья (B5:E5), в среднем окошке знак «», в правом окошке указываем на ячейку, где находятся запасы сырья (B6:E6) (рис.4);

(рис.4)

• нажимаем кнопку «Параметры», где указываем программе Excel, что она должна решить задачу линейного программирования с неотрицательными переменными, отметив для этого флажком слова «Линейная модель» и «Неотрицательные значения»;
• если после выполнения данных действий программа Excel сообщает, что «Решение найдено. Все ограничения и условия оптимальности выполнены», то сохраняем это решение (рис.5).

рис.5

Ответ:

Таким образом, с помощью  программы Excel мы нашли оптимальный план производства: , ; оптимальную прибыль фирмы (плановую), равную 17 и расход сырья каждого вида:

расход сырья  №1 = 28;

расход сырья  №2 = 3;

расход сырья  №3 = 4;

расход сырья  №4 = 10.

В итоге мы делаем вывод, что оба способа решения (графический  и на компьютере) полностью совпадают.

Следующим шагом будет  являться проведение анализа устойчивости оптимального плана относительно запасов каждого вида сырья. Для этого ещё раз выполняем решение задачи в программе Excel и в окне «Результаты поиска решения» отмечаем слово «Устойчивость». Ok.

Далее прилагается отчет  по данному критерию (рис.6):

 

(Рис.6)

Общая задача такого отчета - определить устойчивость полученного решения к тому или иному изменению ситуации, к изменению условий задачи, а также оценить чувствительность решения к изменению конкретных численных значений тех или иных параметров ситуации. Отчет об устойчивости в этой программе даёт информацию о чувствительности найденного решения к малым изменениям в правой части ограничений, а также малых изменений коэффициентов целевого функционала. В этом отчете указаны теневые цены (решение двойственной задачи), а так же те пределы для изменения правых частей ограничений, не выходя из которых мы не изменим решения двойственной задачи. Иными словами, можно увидеть допустимое отклонение для коэффициента целевого функционала, которое не меняет оптимальный план. Кроме этого, отчет об устойчивости даёт  допустимое отклонение правых частей ограничений, которые не меняют теневые цены.

Отчет состоит из двух таблиц, расположенных на одном листе  книги Microsoft Excel.

В первой таблице (Изменяемые ячейки) приводится следующая информация о переменных:

• результирующее значение - оптимальные значения переменных;
• нормированная стоимость - ее величина равна значению соответствующей симплексной оценки с противоположным знаком. Для не выпускаемой продукции нормированная стоимость показывает, насколько изменится целевая функция при принудительном включении единицы этой продукции в оптимальное решение;
• коэффициенты целевой функции;
• предельные значения приращения коэффициентов целевой функции, которые показывают насколько можно увеличить и уменьшить каждый целевой коэффициент в отдельности, сохраняя при этом оптимальные значения переменных.

Во второй таблице (Ограничения) приводятся аналогичные значения для  ограничений задачи:

• величины использованных ресурсов (левые части ограничений) при оптимальном плане выпуска продукции;
• теневые цены, т.е. оптимальные значения двойственных переменных, которые показывают, как изменится целевая функция при изменении соответствующего запаса ресурса на единицу;
• исходные запасы ресурсов (правые части ограничений);
• предельные значения приращений ресурсов (их допустимое увеличение и уменьшение), при которых сохраняется оптимальный план двойственной задачи и базисный набор переменных, входящих в оптимальное решение исходной задачи (ассортимент выпускаемой продукции).

 

Используем результаты отчета по устойчивости для проведения анализа устойчивости в данной задаче.

Итак, в графе Теневая цена у нас появилась цена на ресурс для стороннего покупателя. В то же время, теневая цена показывает насколько возрастет прибыль в случае выделения дополнительной единицы ресурса. Цена не нулевая только для дефицитных ресурсов.

В этом отчете указаны «теневые цены», которые равны: Положительные  значения теневой цены говорят о том, что плановая прибыль фирмы может вырасти, если увеличить соответствующие запасы сырья на складе. Цена не нулевая только для дефицитных ресурсов. В первую очередь это относится к сырью вида №4, для которого теневая цена наибольшая (), и к сырью вида №1, для которого теневая цена равна

Исходя из этого, есть смысл  рекомендовать фирме увеличить  запасы сырья №4 () на 1 единицу и запасы сырья №1 на 4, что должно привести к росту прибыли фирмы ООО «Dmitri-UNO, в размере:

 

Действительно, проверив это  в программе Excel, мы получили прибыль, равную 19, что больше нашей предыдущей прибыли, равной 17 на 2. (Рис.7)

(Рис.7)

 

 

Задание №2. Транспортная задача.

 

В транспортной таблице (таб.2) указаны стоимости перевозки 1 ящика груза, запасы на складах и спрос товара в магазинах. Найти оптимальный план грузоперевозок с помощью программы Microsoft Excel.

 

Магазин     Склад	1	2	3	4	Запас
1	1	4	3	2	26
2	1	12	2	7	18
3	11	3	4	2	36
Спрос	18	16	26	20

 

(таб.2)

Оптимальный план грузоперевозок состоит в том, что с имеющихся складов нужно перевезти во все магазины запрашиваемое ими количество груза с минимальными издержками.

- количество  ящиков груза, предназначенное  для перевозки со склада i в магазин j, где i=1,2,3; j=1,2,3,4.

Целевой функционал транспортной задачи линейного программирования (общая стоимость грузоперевозок) равен:

 (1), где стоимость грузоперевозки одного ящика груза со склада i в магазин j, указанные в транспортной таблице.

Ограничения транспортной задачи линейного программирования будут  зависеть от того, является ли эта задача сбалансированной.

Общие запасы на складах  составляют ящиков груза.

Общий спрос магазинов  составляет ящиков груза.

Так как общие запасы равны  общему спросу, то задача является сбалансированной.

Ограничения типа равенства  возникают вследствие того, что, во-первых, с каждого склада весь груз должен быть вывезен полностью, то есть , где i=1,2,3 (2), и, во-вторых, в каждый магазин должно быть доставлено ровно столько груза, сколько он запрашивает: , где j =1,2,3,4 (3).

Экономические переменные не отрицательны и дают ограничения  типа неравенства:

, где i=1,2,3; j =1,2,3,4 (4).

Оптимальный план грузоперевозок должен давать min целевого функционала при ограничениях (2), (3), (4).