Закономерности распределения статистических величин и показатели

Нормальное распределение  полностью определяется двумя параметрами – средней арифметической ( ) и средним квадратическим отклонением . Подчиненность закону нормального распределения проявляется тем точнее, чем больше случайных величин действует вместе. Если ни одна из случайно действующих причин по своему действию не окажется преобладающей над другими, то закон распределения очень близко подходит к нормальному.

Такая закономерность проявляется, например, в распределении отклонений в  производственном процессе при нормальном уровне организации и технологии, в распределении населения определенного возраста по размеру обуви и т. д.

Часто возникают распределения, хотя и не отвечающие строго нормальному  распределению, но имеющие с ним  сходство. Такие сходные черты  часто обусловлены тем, что крайние значения, близкие к X_min и X_max, встречаются много реже, чем серединные.

 Рассмотрим некоторые свойства  кривой нормального распределения:

- F(t) – функция нормального распределения – четная, то есть f(-t)=f(+t). Следовательно, изображающая её кривая распределена симметрично относительно оси ординат, то есть ;

- Функция имеет бесконечно малые  значения при  . Это означает, что ветви кривой удалены в бесконечность и асимптотически приближаются к оси абсцисс. При этом, чем больше значения признака отклоняются от , тем реже встречаются;

- Функция имеет максимум  при t=0. Отсюда следует, что модального значения кривая достигает при t=0 или при = . Величина максимума составляет ;

- При  функция дает точки перегиба. Следовательно, при отклонении значений признака ( ) от среднего значения ( ) в положительном и отрицательном направлениях на одно стандартное отклонение ( от ) кривая дает переход от выпуклости к вогнутости;

- Если случайная величина  представляет сумму двух независимых  случайных величин, следующих каждая нормальному закону, то она следует нормальному закону;

- Площадь между кривой  и осью равна единице, как  интеграл Пуассона.

Для расчета частот нормального  распределения необходимо использовать формулу плотности вероятности:

                               

.                                                         (1. 5)

 

Чтобы прийти к частотам нормального распределения f_m, необходимо выразить их через P_x.

Для удобства вычислений вероятностей случайные величины нормируются, а затем используются заранее табулированные значения плотности функции распределения нормированной случайной величины. Первый множитель такой функции – величина постоянная для данного распределения. Во втором множителе выражение обобщим через t, тогда получим:

                                .                                                   (1. 6)

 

Полученную функцию  от t обозначим f(t):

 

                                                                                                (1. 7)

 

В математической статистике существуют специальные таблицы  для любых значений f(t).

Таким образом, f_m= очень легко засчитать, определив, что для каждого значения варианта x’ величину и найдя по таблице 1 соответствующие f(t). Умножая f(t) на постоянный множитель для всех частот множитель , получаем теоретические частоты нормального распределения f_m.

Необходимо отметить, что сопоставление эмпирических частот с теоретическими в целях определения соответствия эмпирического распределения нормальному позволяет оценивать эти расхождения только субъективно. Объективная характеристика соответствия может быть получена с помощью особых статистических показателей – критериев согласия. Известны критерии  согласия К. Пирсона, В. И. Романовского, А. Н. Колмогорова и Б. С. Ястремского.

Критерий согласия Пирсона  вычисляется по формуле:

 

                                                                                             (1. 8)                                      

где f_э и f_т – эмпирические и теоретические частоты соответственно.

 

С помощью величины по специальным таблицам определяется вероятность . Входами в таблицу являются значения и число степеней свободы . На основе P выносится суждение о существенности или несущественности расхождения между эмпирическим и теоретическим распределениями. При P>0,5 считается, что эмпирическое и теоретическое распределения близки, при совпадение между ними удовлетворительное, в остальных случаях – недостаточное.

Если число степеней свободы большое, то применяется соотношение, равное Расхождение между эмпирическим и теоретическим распределениями существенно при значениях этой разности, заметно превосходящих 2.

Критерий Романовского (C), также используемый для проверки близости эмпирического и теоретического распределений, определяется существенным образом:

                                                                                                        (1. 9)

где - критерий Пирсона;

       - число степеней свободы.

При C<3 различие несущественно, что позволяет считать эмпирическое распределение близким к нормальному.

Критерий Ястремского (L) может быть найден на основе соотношения:

                                                                                        (1. 10)

где N – объем совокупности;

       pq – дисперсия альтернативного признака;

       K – число вариантов или групп;

        Q – принимает значение 0,6 при числе вариантов или групп от 8 до 20.

Если L>3, то эмпирическое распределение соответствует теоретическому.

 Критерий Колмогорова  вычисляется по формуле:

                                       ,                                                               (1. 11)

где D – максимальное значение разности между накопленными эмпирическими и теоретическими частотами;

       - сумма эмпирических частот

Необходимым условием использования  этого критерия является большое число наблюдений (не меньше ста).

Следовательно, в основе фактического распределения лежит  нормальное распределение.

2 Ряды распределения  статистических величин

 

 

2. 1 Виды рядов  распределения

 

Результатом сводки материалов статистического наблюдения мо-гут выступать данные, характеризующие количественное распределение единиц совокупности по тем или иным существенным для целей исследования признакам. В этом случае речь идет о рядах распределения, основная задача анализа которых заключается в выявлении характера и закономерности распределения.

Рядом распределения называется упорядоченное распределение единиц совокупности по определенному варьирующему признаку (атрибутивному или вариационному) на однородные группы.

В зависимости от признака, положенного в основание построения ряда распределения, различают атрибутивные и вариационные ряды распределения.

       Атрибутивным называется ряд распределения, построенный по качественным признакам, т.е. признакам, не имеющим числового выражения и характеризующим свойство, качество изучаемого социально-экономического явления.

       Атрибутивные ряды распределения характеризуют состав совокупности по существенным признакам. Взятые за несколько периодов, эти данные позволяют исследовать изменение структуры. Число групп атрибутивного ряда распределения адекватно числу градаций, разновидностей атрибутивного признака.

Рассмотрим в качестве примера атрибутивного ряда распределение  строительных организаций Российской Федерации по формам собственности на 1 января 2005 г. (таблица 1).

 

 

 

     Таблица 1 - Распределение строительных организаций Российской Федерации по формам собственности на 1 января 2006 г.

Форма собственности	Число организаций, ед.	Удельный вес в общей  численности организаций, %
Государственная Муниципальная Смешанная российская Частная Итого	3303 897 9879 120585 134664	2,45 0,67 7,34 89,54 100,00

 

      Элементами данного ряда распределения являются градации атрибутивного признака «Форма собственности» (государственная, муниципальная, смешанная российская и частная) и численность каждой группы в абсолютном (единиц организаций) и относительном (%) выражении. Наибольший удельный вес в общем объеме строительных организаций Российской Федерации составили организации частной формы собственности. Их численность в абсолютном выражении составила 120 585 единиц, что в относительном выражении означает 89,54%.

      Вариационным называется ряд распределения, построенный по количественному признаку, то есть признаку, имеющему числовое выражение.

Основными элементами вариационного  ряда распределения являются:

• Варианты числовых значений количественного признака;
• Частоты – численности отдельных вариантов или каждой группы вариационного ряда, то есть числа, которые показывают, как часто встречаются те или иные варианты в ряду распределения.
• Объём – сумма всех частот, определяющая численность всей совокупности;
• Частность – это отношение численности группы к общей численности, выраженное в относительных единицах или в процентах, соответственно, сумма частностей равна 1, если они выражены в долях единицы, или 100%, если они выражены в процентах.

     В зависимости от характера вариации изучаемого признака различают дискретные и интервальные вариационные ряды распределения.

      Дискретным вариационным рядом распределения называют ряд, в котором группы составлены по признаку, изменяющемуся дискретно. Примером дискретного вариационного ряда распределения является распределение рабочих предприятия по тарифному разряду, представленное в таблице 2.

Таблица 2 – Распределение рабочих по тарифному разряду

Тарифный разряд	Число рабочих, чел	Удельный вес рабочих   % к итогу
1	2	3
1 2 3 4 5 6 Итого	2 5 12 20 14 7 60	3,3 8,3 20,0 33,3 23,4 11,7 100,0

 

      В графе 1 табл. 2 представлены варианты дискретного вариационного ряда (тарифный разряд), в графе 2 — частоты (число рабочих), а в графе 3 — частости (удельный вес рабочих, % к итогу).

      В случае непрерывной вариации величина признака у единиц совокупности может принимать в определенных пределах любые значения, отличающиеся друг от друга на сколь угодно малую величину.

      Интервальным вариационным рядом распределения называется ряд, в котором группировочный признак, составляющий основание группировки, может принимать в определенном интервале любые значения. Интервальный ряд распределения целесообразно строить прежде всего при непрерывной вариации признака, а также если дискретная вариация проявляется в широких пределах, т.е. число вариантов дискретного признака достаточно велико.

      Правила и принципы построения интервальных рядов распределения аналогичны правилам и принципам построения статистических

группировок.

      В случае, если интервальный вариационный ряд распределения построен с равными интервалами, то частоты позволяют судить о степени заполнения интервала единицами совокупности. При использовании неравных интервалов нельзя получить информацию о степени заполнения каждого интервала. С целью проведения сравнительного анализа заполненности интервалов определяется показатель, характеризующий плотность распределения — отношение числа единиц совокупности к ширине интервала.

Примером интервального  вариационного ряда распределения  может служить распределение сотрудников лизинговой компании по уровню дохода (табл. 3.13).

Таблица 3 Распределение сотрудников лизинговой компаний по уровню дохода.

Группы сотрудников по уровню дохода, тыс. руб.	Число сотрудников	Удельный вес сотрудников, % к  итогу
До 10 10-15 15-20 20-25 25-30 30 и более Итого	8 11 17 10 9 5 60	13,3 18,3 28,3 16,7 15,0 8,4 100,0