Статистика средних величин

m – показатель степени средней;

fi – частота, показывающая, сколько раз встречается i-e значение осредняемого признака.

Приведем в качестве примера расчет среднего возраста студентов в группе из 20 человек.

Таблица 2.1

№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)	№ п/п	Возраст (лет)
1	18	6	20	11	22	16	21
2	18	7	19	12	19	17	19
3	19	8	19	13	19	18	19
4	20	9	19	14	20	19	19
5	19	10	20	15	20	20	19

Средний возраст рассчитаем по формуле простой средней:

Сгруппируем исходные данные. Получим следующий ряд распределения:

Таблица 2.2

Возраст, X лет	18	19	20	21	22	Всего
Число студентов	2	11	5	1	1	20

В результате группировки получаем новый показатель — частоту, указывающую число студентов в возрасте X лет. Следовательно, средний возраст студентов группы будет рассчитываться по формуле взвешенной средней:

Общие формулы расчета степенных средних имеют показатель степени (m). В зависимости от того, какое значение он принимает, различают следующие виды степенных средних:

средняя гармоническая, если m = - 1;

средняя геометрическая, если m → 0;

средняя арифметическая, если m = 1;

средняя квадратическая, если m = 2;

средняя кубическая, если m = 3.

Если рассчитать все виды средних для одних и тех же исходных данных, то значения их окажутся неодинаковыми. Здесь действует правило мажорантности: с увеличением показателя степени т увеличивается и соответствующая средняя величина:

Xгарм ≤ Xгеом ≤ Xарифм ≤ Xквадр ≤ Xкуб.

Пользуясь этим правилом, статистика может в зависимости от настроения и желания ее "знатока" либо "утопить", либо "выручить" студента, получившего на сессии оценки 2 и 5. Каков его средний балл?

Если судить по средней арифметической, то средний балл равен 3,5. Но если декан желает "утопить" несчастного и вычислит среднюю гармоническую

,

то студент остается и в среднем двоечником, не дотянувшим до тройки. Однако студенческий комитет может возразить декану и представить среднюю кубическую величину:

.

Студент уже выглядит "хорошистом" и даже претендует на стипендию! И только в том случае, если лентяй провалил оба экзамена, статистика помочь не в состоянии: увы, все средние из двух двоек равны все той же двойке!

Формулы степенных средних величин приведены в табл. 2.3

В формулах средних значений п — это число единиц совокупности (число индивидуальных значений осредняемого признака X); х — индивидуальное значение признака у каждой единицы. Если совокупность объектов распределена по группам разной численности, тох — это значение признака, общее для всей группы; f — численность группы (частота повторения данного значения признака).

Таблица 2.3 Формулы средних величин

Вид степенной средней	Показатель степени(m)	Формулы расчета средней
		простой	взвешенной
Гармоническая	-1		m=xf
Геометрическая	→ 0
Арифметическая	1
Квадратическая	2
Кубическая	3

 

 

 

 

 

 

Глава 3. Степенные средние величины

3.1 Средняя арифметическая величина

Средней арифметической величиной называется такое среднее значение признака, при вычислении которого общий объем признака в совокупности сохраняется неизменным.

Иначе можно сказать, что средняя арифметическая величина - среднее слагаемое. При ее вычислении общий объем признака мысленно распределяется поровну между всеми единицами совокупности.

Средняя арифметическая – наиболее распространенный на практике вид средних. Различают 2 вида арифметических средних:

• Невзвешенную (простую);
• Взвешенную.

Средняя арифметическая невзвешенная рассчитывается для несгруппированных данных по формуле:

.

Для массовых статистических совокупностей рассчитывается взвешенная средняя арифметическая по формуле:

.

Если при группировке значения осредняемого признака заданы интервалами, то при расчете средней арифметической величины в качестве значения признака в группах принимают середины этих интервалов, т.е. исходят из гипотезы о равномерном распределении единиц совокупности по интервалу значений признака. Для открытых интервалов в первой и последней группе, если таковые есть, значения признака надо определить экспертным путем исходя из сущности, свойств признака и совокупности. Например, по табл.2.1.1 можно минимальный возраст рабочих считать 17 лет. Тогда первый интервал будет от 17 до 20 лет, а максимальный возраст — 65 лет, тогда последний интервал — 50-65 лет.

Таблица 2.1.1 Распределение рабочих предприятия по возрасту

Группы рабочих по возрасту, лет	Число рабочих fj	Середина интервала xj	xj fj
До 20	48	18,5	888
20-30	120	25	3000
30-40	75	35	2625
40-50	62	45	2790
Старше50	54	57,5	3105
Итого	359	34,56	12408

Средний возраст рабочих, рассчитанный по формуле с заменой точных значений признака в группах серединами интервалов, составил:

 =  ,

что и записано в итоговую строку по графе 3 табл.2.1.1.

Средняя арифметическая величина обладает рядом свойств, позволяющих ускорить расчет:

Произведение средней на сумму частот всегда равно сумме произведений вариант на частоты, т. е.  .

Это свойство определено требованиями правильного исчисления средней, согласно которым конкретные значения варьирующего признака уравниваются без изменения общего объема его и заменяются одним средним числом, которое как постоянный множитель выносится из-под знака суммы. Благодаря этому свойству средняя может быть использована для разного рода плановых и статистических расчетов как представитель или заменитель всех значений варьирующего признака. Так, если средний расход горючего на 1 гектар пахоты составляет 20 литров, а всего надо вспахать 2 млн. га, то всего потребуется 40 млн. литров горючего. Аналогично, если достаточно репрезентативное выборочное обследование показало, что среднегодовой надой молока на одну корову составляет 2500 литров, а всего в районе 15 тыс. коров, то общий надой составит 37,5 млн. литров.

Сумма отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней арифметической равна нулю:

 и 

Рассмотренное свойство может быть использовано для проверки правильности исчисления средней. Если при исчислении средней арифметической   и   не равны нулю, это указывает, что средняя неправильно исчислена. А так как в анализе часто приходится пользоваться отклонениями от средней, их удобно использовать и для проверки правильности исчисления средней.

Сумма квадратов отклонений вариантов как от простой, так и от взвешенной средней меньше суммы квадратов отклонений от любой другой произвольной величины а, т. е.

.

 

 

 

Пример:

Таблица 2.1.2

Табельный номер рабочего	1	2	3	4	5	6
Часовая выработка деталей (x)	12	10	6	10	12	10

 

 

В примере, основанном на данных табл. 2.1.2,  , а

При а =12  составит:

Таблица 2.1.3

xi	- a
12	-12	0	0
10	-12	-2	4
6	-12	-6	36
10	-12	-2	4
12	-12	0	0
10	-12	-2	4
		Итого	48

Как видим, 24<48.

Если все частоты разделить (или умножить) на произвольное число (а), то средняя от этого не изменится, так как

Если разгруппировать рабочих (табл.2.1.2) по числу выработанных за час деталей, получим такие данные (табл.2.1.4):

Таблица 2.1.4

Варианты выработки деталей за час (x)	Число рабочих с данной выработки (f)	Объем варьирующего признака (xf)
6	1	6
10	3	30
12	2	24
Итого	6	60

Если применить полученную формулу, к примеру, приведенному в табл. 2.1.4, это означает, что если, например, частоты уменьшить в 6 раз, средняя взвешенная арифметическая не изменится и будет равна:

Средняя не изменится, если мы частности выразим в процентах, т. е. умножим их на 100:

Рассматриваемое свойство показывает, что при данных вариантах признака величина средней зависит не от абсолютного размера весов, а от соотношения между ними. В приведенном примере мы сначала частоты уменьшили в 6 раз, а затем увеличили в 100 раз, но средняя выработка не изменилась.