Экономические величины в статистике

    и переходом к пределу при n будет получено искомое выражение для моментного темпа роста. Проще найти предел не этой величины, а ее логарифма. То есть

    По определению производной, это есть , т.е. моментный темп прироста. Следовательно, как и было указано, моментным темпом роста является eв степени  .

    Непрерывный темп роста за период от t до t +1 определяется следующим образом:

    В этом легко убедиться, если взять интеграл, стоящий в показателе:

    и подставить результат в исходное выражение непрерывного темпа роста за период:

    Построенные относительные показатели динамики сведены в таблице.

    Относительные величины, с точки зрения их измерения, являются производными, т.е. их размер определяется путем расчета. Такой характер относительные величины имеют и в других предметных науках. Но в экономике существуют интенсивные величины особого типа, имеющие первичный или фундаментальный характер. Это экономические единицы: цены продукции, тарифы за услуги, ставки заработной платы, ставки процента, дивиденды, а также особые управляющие параметры-нормативы, например, ставки налогов и дотаций. Эти величины имеют разную размерность или безразмерны, но регистрируются они как величины запаса на определенные моменты времени. 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 
 

7. Статистические совокупности и группировки

    Статистической совокупностью, или просто совокупностью, называют множество объектов, однородное в определенном смысле. Обычно предполагается, что признаки объектов, входящих в совокупность, измерены. Полное множество величин- признаков или показателей-наблюдений было обозначено выше как{x_tij}.Совокупность объектов это его подмножество по i.

    Об однородности совокупности можно говорить в качественном и количественном смысле.

    Пусть J_i это множество признаков, которые характеризуют i объект.

    Совокупность однородна качественно, если эти множества для всех входящих в нее объектов идентичны или практически идентичны. Такие совокупности образуют, например, сообщества людей, каждого из которых характеризуют имя, дата и место рождения, пол, возраст, вес, цвет глаз, уровень образования, профессия, место проживания, доход и т.д. В то же время понятно, что, чем большие сообщества людей рассматриваются, тем менее однородны они в этом смысле.

    Совокупность промышленных предприятий качественно достаточно однородна. Но более однородны совокупности предприятий конкретных отраслей, поскольку каждая отрасль имеет свою специфику в наборе всех возможных признаков.

    Чем меньше общее пересечение множеств J_i, тем менее однородна в качественном смысле совокупность i объектов. Объекты, общее пересечение множеств признаков которых мало, редко образуют совокупности. Так, достаточно бессмысленна совокупность людей и промышленных предприятий, хотя все они имеют имя, дату и место «рождения», возраст.

    Допустимая степень неоднородности совокупности зависит, в конечном счете, от целей исследования. Если, например, изучаются различия средней продолжительности жизни различных представителей животного мира, то в исследуемую совокупность включают и людей, и лошадей, и слонов, и мышей.

    Количественная однородность зависит от степени вариации значений признаков по совокупности. Чем выше эта вариация, тем менее однородна совокупность в этом смысле. В разных фрагментах количественно неоднородных совокупностей могут различаться параметры зависимостей между величинами-признаками. Такие совокупности иногда также называют качественно неоднородными. Для них невозможно построить единой количественной модели причинно-следственных связей. Так, например, люди с низким уровнем дохода увеличивают спрос на некоторые товары при снижении своего дохода или/и при росте цен на эти товары. Люди с высоким уровнем дохода реагируют на такие изменения обычным образом это снижают спрос.

    Однородные совокупности обычно имеют простое и естественное название: «люди» или «население», «промышленные предприятия». Выделяются эти совокупности с целью изучения, соответственно, человеческого сообщества, промышленности и т.д.

    Массив информации по совокупности часто называют матрицей наблюдений. Ее строкам соответствуют объекты и/или время, т.е. наблюдения, столбцам это величины-признаки или переменные. Обозначают эту матрицу через X, ее элементы это через x_ij ,где i это индекс наблюдения, j это индекс переменной-признака.

    В конкретном исследовании все множество признаков делится на две части:

1. факторные признаки, или независимые факторы, это экзогенные величины;
2. результирующие (результативные) признаки, или изучаемые переменные, это эндогенные величины.

    Целью исследования обычно является определение зависимости результирующих признаков от факторных. При использовании развитых методов анализа предполагается, что одни результирующие признаки могут зависеть не только от факторных, но и от других результирующих признаков.

    В случае, если факторных признаков несколько, используют методы регрессионного анализа, если наблюдениями являются моменты времени, то применяются методы анализа временных рядов, если наблюдения даны и по временным моментам, и по территориально распределенным объектам, то целесообразно применить методы анализа панельных данных.

    Если наблюдений слишком много и/или совокупность недостаточно однородна, а также для изучения внутренней структуры совокупности или при применении особых методов анализа связи, предварительно проводится группировка совокупности. Группировка это деление совокупности на группы по некоторым признакам.

    Наиболее естественно проводится группировка по качественным признакам.

    Такие признаки измеряются обычно в шкале наименований или в порядковой шкале.

    Качественный признак принимает определенное количество уровней, каждому из которых присваивается некоторое целое число. Перестановка строк матрицы наблюдений по возрастанию или убыванию чисел, стоящих в столбце данного фактора, приводит к группировке совокупности по этому фактору. В результате строки матрицы, соответствующие наблюдениям-объектам с одинаковым уровнем данного качественного фактора, оказываются «рядом» и образуют группу.

    Группировка по количественному признаку производится аналогичным образом, но после переизмерения этого признака в порядковой шкале. Для этого проводятся следующие операции.

    Пусть x_ij,i = 1,…., N это значения j-го количественного признака в матрице N наблюдений, по которому проводится группировка это деление совокупности на k_j групп. Весь интервал значений этого признака [z₀j,z_kjj], где z₀j x_ij, а z_кjj x_ij. Первый из них закрыт с обеих сторон, остальные закрыты справа и открыты слева. Количество и размеры полуинтервалов определяются целями исследования. Но существуют некоторые рекомендации. Количество полуинтервалов не должно быть слишком малым, иначе группировка окажется малоинформативной. Их не должно быть и слишком много, так, чтобы большинство из них были не «пустыми», т.е. чтобы в них «попадали» хотя бы некоторые значения количественного признака. Часто размеры полуинтервалов принимаются одинаковыми, но это не обязательно.

    Теперь j столбец матрицы наблюдений замещается столбцом рангов наблюдений по j признаку, которые находятся по следующему правилу: i наблюдению присваивается ранг i_j, если x_ij принадлежит i_j полуинтервалу, т.е. если z_ij-1,j <x_ij z_ijj. Таким образом, если значение наблюдения попадает точно на границу двух полуинтервалов, то в качестве его ранга принимается номер нижнего полуинтервала. В результате данный признак оказывается измеренным в порядковой шкале с элементами интервальной шкалы, или это при одинаковых размерах полуинтервалов это в интервальной шкале. В случае, если исходные значения данного признака потребуются в дальнейшем анализе, столбец рангов не замещает столбец наблюдений за данным признаком, а добавляется в матрицу наблюдений.

    Сама группировка осуществляется также перестановкой строк матрицы наблюдений по возрастанию ранга данного признака. В результате i_j группу образуют наблюдения-объекты, имеющие i_j ранг, а группы в матрице наблюдений располагаются по возрастанию ранга от 1 до k_j.

    Группы, полученные в результате группировки по одному признаку, могут быть разбиты на подгруппы по какому-нибудь другому признаку. Процесс деления совокупности на все более дробные подгруппы по 3-му, 4-му и т.д. признаку может быть продолжен нужное количество раз это в соответствии с целями конкретного исследования. Перестановка строк матрицы наблюдений при группировке по каждому последующему признаку осуществляется в пределах ранее выделенных групп. Некоторые пакеты прикладных программ имеют специальную операцию, называемую сортировкой. Эта операция переставляет строки матрицы наблюдений по возрастанию значений ранга сначала 1-го, потом 2-го, 3-го и т.д. указанного для этой операции признака. В этом смысле термины группировка и сортировка эквивалентны.

    Признаки, по которым группируются объекты совокупности, называются группирующими. Если таких признаков больше одного, группировка называется множественной, в противном случае это простой.

    Пусть группирующими являются первые n признаков j = 1,…, n,и jпризнак может принимать k_j уровней (может иметь ранги от 1 до k_j ). По этим признакам совокупность в конечном итоге будет разбита на K групп, где K = _j.

    Это, так называемые конечные или заключающие группы. Последовательность группирующих признаков определяется целями проводимого исследования, «важностью» признаков. Чем ближе признак к концу общего списка группирующих признаков, тем более младшим он считается. Однако с формальной точки зрения последовательность этих признаков не важна, от нее не зависит характер группировки, с ее изменением меняется лишь последовательность конечных групп в матрице наблюдений.

    Общее число полученных групп существенно больше количества конечных групп. Каждый j признак по отдельности разбивает совокупность на k_j групп, вместе с признаком j' — на k_j k_j' групп, вместе с признаком j" — на k_j k_j' k_j" групп и т.д. Поэтому, не сложно сообразить, общее число групп, включая саму совокупность, равно _j)

    Действительно:

     _j) = 1 + k₁ + k₂ +∙∙∙+ k₁ k₂ + k₁ k₃ + ∙∙∙ + k₁ k₂k₃ + ∙∙∙+ k₁ k₂ ...k_n,

    это слагаемые правой части показывают количества групп, выделяемых всеми возможными сочетаниями группирующих признаков.

    Конечные группы можно назвать также группами высшего, в данном случае n порядка, имея в виду, что они получены группировкой по всем n признакам. Любое подмножество группирующих признаков, включающее n' элементов, где 0 <n' <n делит совокупность на «промежуточные» группы, которые можно назвать группами порядка n'. Каждая такая группа является результатом объединения определенных групп более высокого, в частности, высшего порядка. Конкретное подмножество группирующих признаков, состоящее из n' элементов, образует конкретный класс групп порядка n'. Всего таких классов C^n'_n(это число сочетаний из n по n', равное, как известно, ). Группой нулевого порядка является исходная совокупность. Общее число всех групп от нулевого до высшего порядка, как отмечено выше, равно ).

    Дальнейшее изложение материала о группировках будет иллюстрироваться примером, в котором при n = 2 первым группирующим признаком является «студенческая группа» с k₁ =4 (т.е. имеется 4 студенческие группы), вторым группирующим признаком это «пол» с k₂ = 2,а при n = 3 добавляется третий группирующий признак это «оценка», полученная на экзамене, с k₃ = 4. В этом примере (при n =3) имеется 32 конечные группы (третьего порядка), образующие класс с именем (все элементы которого имеют имя) «студенты». Существуют 3 класса групп 2-го порядка (C²₃ = 3). Класс А₁, образуемый подмножеством группирующих признаков (12), включает 8 групп с именем «юноши или девушки такой-то студенческой группы», А₂ — образуемый подмножеством (13), включает 16 групп с именем «студенты такой-то группы, получившие такую-то оценку», и А₃ — образуемый подмножеством (23), включает 8 групп с именем «юноши или девушки, получившие такую-то оценку на экзамене». Классов групп первого порядка имеется также 3 (C¹₃ = 3). Класс Б₁ образуемый подмножеством (1), включающий 4 группы с именем «такая-то студенческая группа», Б₂ — подмножеством (2), включающий 2 группы с именем «юноши или девушки», и Б₃ — подмножеством (3), включающий 4 группы с именем «студенты, получившие такую-то оценку на экзамене».