Расчёт колонны

Определяем величины моментов в точках перелома эпюры  М:

 

кН∙м.

кН∙м.

кН∙м.

кН∙м.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Рис. 6.3. Расчетная схема и эпюры усилий в стропильной ферме.

 

Определяем величины поперечных сил для каждой «ступени»  эпюры:

 

кН.

кН.

кН.

кН.

 

Пронумеруем узлы фермы (рис.6.4).

 

Рис. 6.4. Нумерация узлов стропильной фермы

 

Усилия в стойках  фермы равны соответствующим  узловым нагрузкам:

 

кН.

 

Усилия в следующих элементах: шпренгель (2-2*); стержень (2-3) верхнего пояса фермы равны нулю:

                       

                        кН.

 

Усилия в поясах фермы  определяются по формуле:

 

,

 

где M_i – величина момента на линии вершины треугольной ячейки фермы, основанием которой служит данный пояс;

h_оф – расчетная высота фермы; h_оф = 2,15м.

 

кН. 

кН.             

кН.                      

кН.   

 

Усилия в раскосах фермы определяются по формуле:

 

,

 

где Q_i – величина поперечной силы под проекцией раскоса фермы на горизонтальную линию;

sinα – синус угла наклона раскосов к оси поясов фермы; sinα = 0,58.

 

кН.  

кН.  

кН.  

кН.  

 

 

Знак усилия в элементе фермы указывает на его сжатие или растяжение. Если знак положительный ( ), то элемент растянут. Если знак отрицательный ( ), то элемент сжат.

 

 

 

 

 

6.3. Подбор и проверка сечений стержней фермы

 

Подбор сечений стержней стропильной фермы и их проверку производим в табличной форме (табл.6.1).

При подборе сечений  стержней фермы особое внимание следует обратить на определение их расчетных длин и компоновку сечений.

Различают расчетную длину стержня в плоскости (l_x) и из плоскости (l_y) фермы. Расчетная длина поясов фермы в плоскости принимается равной расстоянию между узлами (т.е. длине панели), а из плоскости - расстоянию между точками закрепления узлов.

Верхний пояс закрепляется из плоскости панелями или плитами покрытия, приваренными к нему. Так как опирание кровли происходит в узлах, то расстояние между узлами равно расчетной длине из плоскости. Таким образом, для верхнего пояса (стержней 2-3, 3-4, 4-6, 6-7) l_x = l_y = 3,0м = 300см (длина панели фермы d = 3,0м).

Для нижнего пояса (стержней 1-5, 5-8) длина между узлами стержней равна 6,0м, значит l_x = 6,0м = 600см. Нижний пояс закрепляется от смещения из плоскости распорками. Распорки располагаются по краям ферм и по колоннам. Таким образом, для нижнего пояса l_y равно расстоянию между распорками, т.е.: l_y = L – 2∙ (2∙d) = 24 – 2∙ (2∙3,0) = 12,0м = 1200см.

Расчетная длина всех стержней решетки (раскосов и стоек) из плоскости фермы l_у равна геометрической длине стержня l ( т.е. расстоянию между центрами тяжести узлов). Их расчетная длина в плоскости фермы зависит от того, сколько растянутых стержней примыкает к сжатому стержню. Если с одной стороны сжатого стержня решетки примыкают два растянутых стержня пояса, создающих частичное защемление, то для получения расчетной длины (l_x) геометрическую длину (l) следует умножить на коэффициент приведения длины μ = 0,8. Таким образом, для таких стержней l_x = 0,8∙l, l_y = l. Следовательно, для стоек (стержней 4-5, 7-8) расчетные длины будут равны: l_x = 0,8∙2,15 = 1,75м = 175см; l_y = 2,15м = 215см. Для раскосов кроме опорного (стержней 3-5, 5-6, 6-8) расчетные длины будут равны: l_x = 0,8∙ l_y = 0,8∙ 3,69 = 2,95м = 295см;

Для опорного раскоса  (стержень 1-3) расчетные длины будут  равны: в плоскости фермы половине геометрической длины стержня (за счет раскоса 2-2*) l_x = l/2 = 3,69/2 = 1,85м = 185см; из плоскости фермы – геометрической длине стержня: l_y = l = 3,69м = 369см.

Для стерженя 2-2* расчетные  длины будут иметь одинаковую длину и будут равны геометрической длине l_x = l = 1,875м = 187,5см.

Соотношение расчетных  длин l_x и l_y в основном определяет конструктивную форму сечения стержня.

 

Подбор и  проверка сечений стержней фермы

Таблица 6.1

Элемент фермы		Обозначение стержня	Сечение (2 уголка)	Площадь А, см2	Расчетное усилие N, кН	Расчетные длины, см		Радиусы инерции, см		Гибкости			Коэффициент условий  работы gc	Коэффициент φ для  сжатых стержней	Напряжение σ, кН/см2
						lx	ly	ix	iy	lx	ly	[l]			–	+
1		2	3	4	5	6	7	8	9	10	11	12	13	14	15	16
Пояса	верхний	2 – 3	100х12	45,6	0	300	300	3,03	4,56	99	65,8	120	0,95	–	0	0
		3 – 4			–560,2	300	300	3,03	4,56	99	65,8	120	0,95	0,549	22,4	–
		4 – 6			–560,2	300	300	3,03	4,56	99	65,8	120	0,95	0,549	22,4	–
		6 – 7	140х12	48,6	–905,6	300	300	4,31	6,16	69,6	48,7	120	0,95	0,756	18,4	–
	нижний	1 – 5	90х56х6	17,1	+305,6	600	600	1,58	4,499	380	134	400	0,95	–	–	17,9
		5 – 8	125х80х10 100х63х10	31,0	+764,0	600	1200	2,26	6,11	265	196	400	0,95	–	–	19,4
Раскосы		1 – 3	125х80х7	28,2	–377,6	185	369	2,29	6,08	81	61	120	0,95	0,679	19,7	–
		3 – 5	63х6	14,56	+314,7	295	375	1,93	2,98	153	126	400	0,95	–	–	21,6
		5 – 6	100х12	14,56	–251,7	295	375	3,03	4,56	97	82	150	0,8	0,563	9,8	–
		6 – 8	50х5	9,6	+188,8	295	375	1,535	2,45	193	153	400	0,95	–	–	19,7
		2 – 2*	50х5	9,6	0	187,5	187,5	1,535	2,45	123	77	400	0,95	–	0	0
Стойки		4 – 5	63х6	14,56	–36,5	175	215	1,93	2,98	90	61	150	0,8	0,614	19,2	–
		7 – 8	63х6		–36,5	175	215	1,93	2,98	90	61	150	0,8	0,614	19,2	–

 

С целью обеспечения равноустойчивости сжатых стержней при l_x = 0,8∙l целесообразно применение равнополочных уголков, а при l_x = l_y следует скомпоновать стержень из двух неравнополочных уголков, соединенных большими полками. Исключение может составить верхний пояс фермы, у которого l_x = l_y, его целесообразно составить из двух равнополочных уголков, что обеспечит ему большую устойчивость из плоскости при перевозке и монтаже (причем, сечение верхнего пояса делается переменным, и меняется один раз в узле 6). Нижний пояс фермы рекомендуется скомпоновать из неравнобоких уголков, соединенных меньшими полками (причем, сечение нижнего пояса делается переменным, и меняется один раз в узле 5). Растянутые раскосы решетки обычно составляют из двух равнобоких уголков.

Толщину фасонок при усилии в опорном раскосе N = 377,6кН принимают равной 10мм (см. таблицу № 5.4 «Методических указаний…»).

Для определения сечения  сжатых стержней необходимо предварительно задаться их гибкостью в пределах l_з = 70…100 (Зададимся l_з = 90). По принятому значению l_з найдем значение коэффициента продольного изгиба φ_з (по табл. 37 «Нормативных и справочных материалов» для l_з = 90 коэффициент продольного изгиба φ_з=0,612). Определяем требуемую площадь сечения стержня.

Требуемую площадь двух уголков сжатого стержня определяют по формуле:

 

,

 

где N – расчетное усилие в стержне;

R_y – расчетное сопротивление стали; R_у = 24кН/см²;

g_c – коэффициент условий работы, определяемый по табл.29 «Нормативных и справочных материалов»; для верхнего пояса фермы g_c = 0,95; для стоек фермы g_c = 0,8; для сжатых раскосов кроме опорного g_c = 0,8; для опорного раскоса g_c = 0,95;

По сортаменту подбираем близкие по требуемой площади уголки, из которых в соответствии с приведенными выше рекомендациями компонуем сечение стержня (следует стремиться принимать уголки с возможно более тонкими полками). Выписываем необходимые геометрические характеристики сечения A, i_x и i_y, и определяем гибкости стержня в плоскости и из плоскости фермы l_x, l_y по формулам:

 

;     .

 

Гибкость сжатых стержней ограничена; она не должна превышать значений гибкости, приведенных в табл. 5.3 «Методических указаний». Т.е. для верхнего пояса и опорного раскоса [l] = 120; для остальных восходящих раскосов и стоек [l] = 150. Удовлетворив условия предельной гибкости, проверяем напряжения в стержне по формуле:

 

,

 

где N – расчетное усилие в стержне;

φ_min – коэффициент продольного изгиба, принимаемый по большей из найденных гибкостей l_x, l_y;

А - площадь сечения двух принятых уголков;

R_y – расчетное сопротивление стали; R_у = 24кН/см²;

g_c – коэффициент условий работы.

При большом запасе в  прочности необходимо уменьшить  сечение принятого уголка и пересчитать  величины l_x, l_y и σ при новых значениях A, i_x и i_y, подбирая более подходящее сечение стержня.

 

Стержни 2-3, 3-4, 4-6:

 

Сечение этих стержней принимается  одинаковым по наибольшему усилию в стержнях N^4-6:

 

см²;

 

Принимаем сечение стержней 2-3, 3-4, 4-6 из 2-х уголков  100х12 (А = 2∙22,8 = 45,6см²,                 i_x = 3,03см, i_y = 4,56см при t₁ = 10мм). Определяем гибкости стержня:

 

;   ;

 

Значения гибкостей  элементов не превосходят предельной гибкости [l] = 150. По максимальной гибкости l_max = l_x = 99 находим коэффициент φ_min = 0,549. Проверяем напряжения в самом нагруженном стержне 4-6:

 

кН/см² ;

 

Стержень имеет небольшой  запас прочности, следовательно, сечение  стержней 2-3, 3-4, 4-6 принимаем из 2-х  уголков  100х12. Определяем напряжения в стержнях 2-3, 3-4:

 

кН/см²;

кН/см².

 

Стержень 6-7:

 

см²;

 

Принимаем сечение стержня 6-7 из 2-х уголков 140х12 (А = 2∙32,49 = 64,98см², i_x = 4,31см, i_y = 6,16см при t₁ = 10мм). Определяем гибкости стержня:

 

;   ;

 

Значения гибкостей  элементов не превосходят предельной гибкости [l] = 120. По максимальной гибкости l_max = l_x = 69,6 находим коэффициент φ_min = 0,756. Проверяем напряжения нагруженном стержне 6-7:

 

кН/см² .

 

 

Стержень 1-3 (опорный раскос):

 

см²;

 

Принимаем сечение стержня 1-3 из 2-х уголков  125х80х7 (А = 2∙14,1 = 28,2см²,                 i_x = 2,29см, i_y = 6,08см при t₁ = 10мм). Определяем гибкости стержня:

 

;     ;

 

Значения гибкостей  элемента не превосходят предельной гибкости [l] = 120. По максимальной гибкости l_max = l_x = 81 находим коэффициент φ_min = 0,679. Проверяем напряжения в стержне:

кН/см² - верно;

 

Стержень имеет небольшой  запас прочности, следовательно, сечение  стержня 1-3 принимаем из 2-х уголков  125х80х7.

 

Стержни 4-5, 7-8:

 

Так как сжатые стержни 4-5, 7-8 слабо нагружены – усилия в них N^4-5 = N^7-8= -36,5 кН, подбор сечения начнем  с расчета i_{x тр} и i_{y тр}:

 

  

 

см; см;

 

 

Принимаем сечение стержней 4-5, 7-8 из 2-х уголков 63х4 (А =2∙4,96=9,92см², i_x = 1,95см, i_y = 2,93см при t₁ = 10мм). Определяем гибкости стержня:

 

;   ;

 

Значения гибкостей  элемента не превосходят предельной гибкости [l] = 150. По максимальной гибкости l_max = l_x = 89,7 находим коэффициент φ_min = 0,614. Проверяем напряжения в стержнях:

кН/см² - верно;

кН/см² - верно.

Сечение стержней 4-5, 7-8, принимаем из 2-х уголков 63х5.

 

Требуемая площадь сечения растянутых стержней определяется по формуле:

 

,

 

где N – расчетное усилие в стержне;

R_y – расчетное сопротивление стали; R_у = 24кН/см²;

g_c – коэффициент условий работы, определяемый по табл.29 «Нормативных и справочных материалов»; для нижнего пояса фермы g_c = 0,95; для растянутых раскосов g_c = 0,95, ;

По сортаменту определяем ближайшие большие по площади уголки, компонуем, в соответствии с рекомендациями, сечение и выписываем геометрические характеристики сечения A, i_x и i_y. После этого определяем гибкости стержня в плоскости и из плоскости фермы l_x, l_y по формулам:

;     .

Гибкость растянутых стержней не должна превышать [l] = 400. Далее проверяем прочность стержней по формуле:

,

где N – расчетное усилие в стержне;

А - площадь сечения двух принятых уголков;

R_y – расчетное сопротивление стали; R_у = 24 кН/см²;

g_c – коэффициент условий работы; g_c = 0,95 (для всех растянутых элементов).

 

Стержень 1-5:

 

см²;

Принимаем сечение стержня 1-5 из 2-х уголков  90х56х6 (А = 2∙8,54 =17,1см², i_x = 1,58см, i_y = 4,49см при t₁ = 10мм). Определяем гибкости стержня:

;     ;

Значения гибкостей  элементов не превосходят предельной гибкости [l] = 400. Проверяем прочность стержня:

кН/см²   .

Стержень 5-8:

 

см²;

 

Принимаем сечение стержней 5-8 из 2-х уголков 125х80х10 (А =2∙19,7=39,4см², i_x = 2,26см, i_y = 6,11см при t₁ = 10мм). Определяем гибкости стержня: