Исследование частотных характеристик фильтров верхних частот

Рис. 21 – Внешний  вид фильтра на ПАВ.

Внешний вид  фильтра на ПАВ изображен на рис. 19. Основой фильтра на ПАВ (это герметизированный электронный прибор) является пьезоэлектрическая подложка.

Для возбуждения  и детектирования ПАВ служат излучающие и приемные пленочные встречно-штыревые преобразователи (ВШП; англ. Inter Digital Transducer – IDT), нанесенные на пьезоэлектрическую подложку методом фотолитографии (число штырей может быть различным – от единиц до нескольких тысяч) и являющихся по существу дискретной (цифровой) структурой.

Под действием  высокочастотного электрического напряжения источника обрабатываемого сигнала в зазорах между смежными штырями излучающего ВШП (рис. 21) возникает переменное электрическое поле, которое вследствие пьезоэффекта материала подложки вызывает механические упругие колебания в ее поверхностном слое. Эти колебания распространяются в тонком приповерхностном слое подложки в направлениях, перпендикулярных электродам в виде поверхностных акустических волн.

Обработка сигнала  в заданной полосе частот осуществляется вследствие многократной интерференции ПАВ от большого числа отражателей ВШП, имеющих разные размеры, геометрию и относительное взаимное расположение. Затем обработанные акустические сигналы вновь преобразуются приемным ВШП в электрические и поступают в нагрузку.

Большинство преимуществ фильтров на ПАВ обусловлено непосредственно их физической структурой: практическим отсутствием энергопотребления; возможностью выполнения различных операций обработки сигналов; линейной (или определяемой требованиями) фазой выходного сигнала; очень высокой прямоугольностью АЧХ; исключительным внеполосным подавлением паразитных составляющих; реализацией заданных технических характеристик с высокой точностью; высокой надежностью; малыми габаритными размерами и массой; температурной стабильностью. Поскольку центральная частота и форма частотной характеристики определяются топологией, они не требуют сложной настройки в аппаратуре и не могут расстроиться в процессе эксплуатации. Технология изготовления, совместимая с интегральной технологией, позволяет выпускать их в большом объеме с высокой воспроизводимостью.

Фильтры на ПАВ  применяются на частотах от 1 МГц до 3 ГГц с относительной полосой пропускания от 0,1 до 90%. На очень низких частотах габариты фильтров становятся слишком большими, поэтому вместо них находят применение монолитные фильтры на объемных волнах, выполненные из пьезоэлектрической керамики.

Тем не менее  фильтрам на ПАВ свойственны и определенные недостатки:

• наличие паразитных всплесков АЧХ на кратных частотах;

• монотонное снижение коэффициента подавления составляющих по мере повышения частоты; данный недостаток устраняется включением внешних реактивных элементов (индуктивностей);

• довольно значительные потери полезных составляющих в полосе пропускания (до 25…30 дБ);

• повышенная чувствительность к статическим зарядам электричества.

И все же имеющиеся  преимущества обеспечивают широкое  применение и массовую потребность  в фильтрах и других устройствах на ПАВ, и прежде всего, в современных системах подвижной связи.

2. Метод  расчета фильтров на пассивных элементах

2.1 Метод комплексных амплитуд

Установившиеся  значения токов и напряжений линейной цепи находящейся под гармоническим  воздействием, могут быть найдены  путем непосредственного решения  дифференциального уравнения цепи

При , однако даже для относительно простых цепей эта задача оказывается весьма трудоемкой. На практике анализ таких цепей обычно выполняют с помощью метода комплексных амплитуд, разработанного в конце прошлого века американскими инженерами Ч. П. Штейнметцем и А. Е. Кеннели. Большой вклад в развитие и теоретическое обоснование метода комплексных амплитуд внесли профессор Петербургского политехнического института В. Ф. Миткевич и советский ученый академик АН СССР Г. Е. Пухов.

Метод комплексных  амплитуд, подобно известному логарифмическому методу, основан на идее функционального  преобразования, при котором над  исходными функциями (оригиналами) заменяются более простыми операциями над некоторыми функциями, так называемыми изображениями или символами исходных функций. Методы такого типа будем называть символическими. Независимо от типа используемых функциональных преобразований решение любой задачи символическими методами содержит, как правило, следующие основные этапы:

1) прямое преобразование, в результате которого осуществляется  переход от исходных величин  (оригиналов) к их символам (изображениям);

2) определение  изображений искомых величин  путем выполнения по специально установленным правилам операций над изображениями;

3) обратное преобразование, с помощью которого переходят  от изображений к оригиналам.

В частности, при  использовании логарифмического метода исходные величины на первом этапе  заменяют их логарифмами. На втором этапе, выполняя необходимые действия над логарифмами исходных величин, находят логарифмы исходных величин; операции над логарифмами оказываются проще, чем соответствующие им операции над исходными величинами (например, умножению исходных величин соответствует сложение их логарифмов, возведению исходной величины в степень m – умножение логарифма это величины на m и т. д.). На третьем этапе осуществляют обратный переход от логарифмов непосредственно к искомым величинам.

Очевидно, что  эффективность каждого из символических методов определяется трудоемкостью прямого и обратного функциональных преобразований и тем, насколько операции над изображениями проще соответствующих им операций над оригиналами.

Символический метод комплексных амплитуд основан на представлении гармонических функций времени с помощью комплексных чисел или, точнее, на преобразовании исходных функций из временной области (области вещественного переменного ) в частотную область (область мнимого аргумента ).

Напомним, что  комплексным числом называется выражение вида

Где и – действительные числа, называемые соответственно вещественной и мнимой частями комплексного числа; – мнимая единица. Выражение (1) – это алгебраическая форма записи комплексного числа.

Каждой точке  комплексной плоскости и, следовательно, каждому комплексному числу можно поставить в соответствие вектор , проведенный из начала координат в точку (рис. 22).

Рис. 22 – Геометрическое изображение комплексного числа.

Длину вектора, изображающего комплексное число, называют модулем этого числа

Угол  , образуемый вектором с положительным направлением вещественной оси, называют аргументом комплексного числа:

Положительные направления отсчета  – против часовой стрелки. Аргумент комплексного числа может иметь бесконечное множество значений, отличающихся друг от друга на , где – целое число. Главное значение аргумента заключено в промежутке .

Как видно из рис. 20, вещественная и мнимая части комплексного числа есть проекции вектора на действительную и мнимую оси соответственно:

Подставляя  соотношения (2.2) в (2.1), можно перейти от алгебраической формы записи комплексного числа к тригонометрической:

Далее, используя  формулу Эйлера:

Где – основание натурального логарифма, получаем показательную форму записи комплексного числа

Каждой гармонической  функции времени  можно поставить в соответствие комплексное число , называемое мгновенным или текущим комплексом гармонической функции:

модуль которого равен амплитуде гармонической функции , а аргумент ее фазе . Как видно из выражения (2.3), вещественная часть мгновенного комплекса равна исходной гармонической функции

Геометрически мгновенный комплекс может быть представлен в виде вектора , длина которого в определенном масштабе равна амплитуде соответствующей гармонической функции , а аргумент изменяется во времени по такому же закону, как и фаза гармонической функции . Для того чтобы обеспечить этот закон изменения аргумента, вектор должен вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью . В момент времени вектор должен образовывать с положительным направлением вещественной оси угол , равный начальной фазе рассматриваемой гармонической функции. Проекция вектора на вещественную ось в выбранном масштабе равна мгновенному значению исходной гармонической функции времени .

Значение мгновенного  комплекса  в момент времени называется комплексной амплитудой гармонической функции времени :

Из выражения (2.4) следует, что комплексная амплитуда гармонической функции времени представляет собой комплексное число, модуль которого равен амплитуде рассматриваемой функции, а аргумент – ее начальной фазе . Геометрически комплексная амплитуда может быть представлена в виде неподвижного вектора, расположенного под углом к вещественной оси, длина которого в определенном масштабе равна .

Используя понятие  комплексной амплитуды, выражение (2.3) для мгновенного комплекса может быть преобразовано к следующему виду:

Вектор  , называемый оператором вращения, имеет единичную длину и вращается в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью . Всякий неподвижный вектор, будучи умноженным на оператор вращения , начинает вращаться в комплексной плоскости против часовой стрелки с угловой скоростью .

В установившемся режиме токи и напряжения всех ветвей электрической цепи, находящейся  под гармоническим воздействием, есть гармонические функции времени одной частоты. Каждому из токов и напряжений ветвей электрической цепи может быть поставлен в соответствие текущий комплекс . Текущие комплексы, соответствующие токам и напряжениям различных ветвей, изображаются векторами, вращающимися с одинаковой угловой скоростью (неподвижными один относительно другого). Каждый из текущих комплексов токов и напряжений ветвей электрической цепи можно представить в виде произведения соответствующей комплексной амплитуды на оператор вращения . Очевидно, что оператор вращения является общим для мгновенных комплексов токов и напряжений всех ветвей и не несет информации о токах или напряжениях конкретных ветвей.

Токи и напряжения отдельных ветвей отличаются только амплитудами и начальными фазами, поэтому информация о них при известной частоте содержится в соответствующих комплексных амплитудах. Зная амплитуды и начальные фазы токов и напряжений любой ветви, всегда можно однозначно найти их комплексные амплитуды и, обратно, по известной комплексной амплитуде можно однозначно установить амплитуду и начальную фазу исходного гармонического колебания.

Наряду с  комплексной амплитудой в качестве изображения гармонической функции в комплексной плоскости широко используют другую комплексную величину – комплексное действующее значение . По определению, комплексное действующее значение гармонической функции представляет собой комплексное число, модуль которого равен действующему значению гармонической функции, а аргумент – ее начальной фазе :

Можно установить связь между комплексной амплитудой гармонической функции и ее комплексным действующим значением :

На комплексной  плоскости  изображается в виде вектора, совпадающего по направлению с вектором . Длина вектора в раз меньше длины вектора .

Все правила, устанавливающие соответствие между операциями над гармоническими функциями времени и операциями над их комплексными амплитудами, справедливы и для операций над комплексными действующими значениями гармонических функций.

Величины  и обычно называют комплексными током и напряжением цепи.

Рассмотрим  произвольную линейную цепь с сосредоточенными параметрами, находящуюся под гармоническим  воздействием. Выделим участок этой цепи, имеющий два внешних зажима, и не содержащий источников энергии (рис. 23, а).

Рис. 23 – Идеализированный двухполюсник (а) и его комплексные схемы замещения (б, в).

Ток и напряжение на зажимах этого участка являются гармоническими функциями времени:

По определению, комплексным входным сопротивлением (комплексным сопротивлением) пассивного участка цепи называется отношение комплексной амплитуды напряжения на зажимах участка цепи к комплексной амплитуде тока:

Выражая комплексные  амплитуды напряжения и тока через  соответствующие комплексные действующие значения ; , устанавливаем, что комплексное сопротивление пассивного участка цепи может быть также найдено как отношение комплексных действующих значений напряжения и тока:

Комплексное входное  сопротивление пассивного участка цепи представляет собой в общем случае комплексное число, поэтому оно может быть представлено в показательной

Или алгебраической

формах. Величины и называются соответственно модулем и аргументом  комплексного сопротивления, величины и и – его вещественной (резистивной) и мнимой (реактивной) составляющими (модуль комплексного входного сопротивления цепи называется также полным входным сопротивлением). Представляя комплексные амплитуды и комплексные действующие значения напряжений и токов в показательной форме, находим