Методы и способы решения физических задач

1. Координатный метод.

 

С помощью этого метода решаются задачи по механики во всех её разделах: кинематике, динамике, статике.

Решение задач  кинематики координатным методом.

Основной задачей кинематики является составление уравнений  координат тела как функции времени. В школьном курсе физики это уравнение вида:                               Х=Х₀+V_0хt+а_хt²/ 2.                                            

где Х₀  - начальная координата материальной точки, V_0x – проекция вектора начальной скорости на ось ОХ, а_x– проекция вектора ускорения на ось ОХ.

Проекцией вектора на ось - скалярная величина, равная произведению модуля вектора на косинус угла, который этот вектор образует с положительным направлением оси. В зависимости от угла α проекция вектора может быть положительной при 0^о ≤ α < 90^о _, равной нулю при  α = 90^о, отрицательной при 90^о < α ≤ 180^о. На рис. 5 показано определение проекции вектора начальной скорости V_oх на ось ОХ, на рис. 6 – проекции вектора ускорения а_х.

 

 

рис. 5                            рис. 6        

        V_0x =  V₀ cos α ;                       a_x =  а cos (180^o – α ) = - a cos α.      

Проекция вектора скорости положительна, а проекция вектора  ускорения – отрицательна. Знак проекции вектора определяется знаком косинуса угла α.

Из уравнения координат тела как функции времени можно получить уравнение для проекции на ось Х вектора скорости как функции времени путём его дифференцирования по времени.     V_х=dx/dt=V_0х+ а_хt.                                           

Наиболее общей задачей  на движение тела в поле силы тяжести (гравитационном поле) является задача о движении тела, брошенного под  углом к горизонту.

Задача: Девочка бросает мяч с балкона, находящегося на высоте h от поверхности земли, под углом α к горизонту со скоростью V₀. Определить время полета мяча до земли, дальность полёта (координату X_max точки падения), наибольшую высоту полёта мяча над землёй (максимальное значение координаты У_max мяча) и скорость мяча в момент его падения на землю. (рис 7)

рис. 7

Решение задачи начинается с выбора начала отсчёта, с которым  совмещают начало системы координат ХОУ. Удобно начало отсчета и связанное с ним начало координат выбрать на поверхности земли под балконом, направив оси Х и У соответственно горизонтально и вертикально. Отмечаем на оси У начальную координату мяча У₀ = h, направляем вектор начальной скорости V₀ под углом α к горизонту и изображаем траекторию полёта мяча, которая, представляет собой параболу. Точка пересечения параболы с осью Х определит координату  X_max , значение которой даст дальность полёта мяча. Наибольшая высота полёта мяча определится значением координаты У_max вершины параболы. Для составления уравнений движения  Х=Х(t)   и  У=У(t) имеет смысл записать составляющие этих уравнений:

Х₀ = 0;

V_0x=V₀cosα                                     X = (V₀cos α) t                                    

g_x = 0;

У₀ = h;

V_0y = V₀ cos (90^{o –} α) =V₀ sinα;         У = h +(V₀ sinα)– gt²/2                       

g_y = - g;

Через время t_п (время полёта мяча) координаты мяча примут значения: Х =Х_max, у = 0. Тогда уравнения примут вид:

                                         Х_max=V₀(cosα)t_п;                                                                                     

                                          0=h+(V₀sinα)t_п–gt_п²/2.                                               

Решая последнее квадратное  уравнение, находим время полёта мяча t_п.

                                    t_п=[V₀sinα+(V₀²sin²α+ 2gh)^1/2]/g ,                                  

которое имеет только одно значение.  Второе - отрицательное  значение  t_п, которое следует из решения квадратного уравнения, не возможно. Здесь и далее корень квадратный из числа записывается как это число в степени ½.

Подставив значение t_п в уравнение определим дальность полёта мяча Х_max.

                Х_max=V₀(cosα)=V₀(cosα)[V₀ sin α + (V₀² sin²α + 2gh)^1/2]/g.              

В верхней точке траектории мяча высота его полёта максимальна, а проекция скорости на ось ОУ равна  нулю. Для продолжения решения  необходимо перейти к уравнениям проекций скорости V на оси Х и  У как функциям времени. Взяв производные по времени от уравнений движения, получаем:

                                               V_x=V₀cosα;                                                    

                                               V_y=V₀sinα-gt.                                              

Первое уравнение показывает, что вдоль оси ОХ мяч летит равномерно с постоянной скоростью, не зависящей от времени. Движение мяча вдоль оси ОУ является равнопеременным (при движении до верхней точки полёта – равнозамедленным, а затем становится равноускоренным). В момент времени t_в (время полёта мяча до верхней точки) проекция скорости V_y становится равной нулю, а координата У принимает максимальное значение у_max.

                                               0=V₀sinα-gt_в;                                               

                                    у_max=h+(V₀sinα)t_в– gt_в²/ 2.                                    

Определив время t_в,     t_в=(V₀sinα)/g,                                                

подставляем его значение в  уравнение и определяем у_max- максимальную высоту полёта мяча.               у_max=h+(V₀²sin²α)/2g.                                     

Для определения скорости мяча в момент падения (время  t_п) необходимо определить значения проекций этой скорости  V_x и   V_y  в этот момент.

           V_y =V₀sinα-gt_п =V₀ sinα- g[ V₀ sin α + (V₀² sin²α + 2gh)^1/2]/g               

Скорость мяча в момент падения V определится по теореме  Пифагора:

                                         V=(V_x²+V_y²)^1/2.                                                    

Проекция  V_y будет отрицательной, но будучи возведённой в квадрат даст положительное значение. Следует помнить, что вектор скорости в любой точке направлен по касательной к траектории движения.

       Решение  задач на движение тела, брошенного  вертикально вверх или вниз, или  свободно падающее (здесь угол  α = 90^о) сводится к составлению только одного уравнения:   У=h+V₀t– gt²/2.                                               

Уравнение записано для случая бросания тела вертикально вверх с высоты h.  Ось У направлена вверх, начало координат совпадает с уровнем земли.

       Если  тело брошено горизонтально (α  = 0^о), то уравнения движения записанные в начале  решения принимают вид:

                                                             Х=V₀t;                                                     

                                                              У=h–gt²/2.                                            

       Если  в задаче описывается движение  двух тел, то нужно составлять  уравнения движения для каждого  тела. Если в какой-то момент  времени одно тело догоняет  другое или они встречаются  (сталкиваются), то это означает, что в этот момент времени  они приобретают одинаковые координаты  Х и У.

Решение задач  по динамике.

При решении используются понятия проекций вектора силы и ускорения на координатную ось. Основное уравнение динамики  или второй закон Ньютона, записанный в форме проекций сил и ускорения на координатную ось ОХ, выглядит так: ΣF_ix=ma_x. Умение составлять такие уравнения является основой для решения динамических задач, в которых, требуется определить ускорение в движении тела или системы тел и пассивные силы (силы трения, натяжения связывающих тела нитей, реакций опор).

      Задача: Cистема из двух грузов массами m₁ и m₂ (рис. 8) находится в лифте. движущемся вверх с ускорением а. Найти силу натяжения Т нити, если коэффициент трения между грузом m₁ и опорой равен μ.

рис. 8

          Грузы   связаны  нерастяжимой  нитью, поэтому  ускорения   грузов   относительно стола  одинаковы по величине  и   равны а'. В неподвижной системе    отсчёта   ускорение   груза   m₂  направлено  по  вертикали и     равно а₂ = а' – а.  Ускорение   груза   m₁   имеет    две составляющие:      вертикальную а_1в = а       и горизонтальную  а_1г = а'.

        Запишем   второй   закон  Ньютона   для движения каждого из грузов  в виде проекций сил и ускорений  на координатные оси:

для первого груза массой m₁            ОХ:Т–F_тр=m₁a_1г;

                                                            ОУ: N-m₁g= m₁a_1в;     F_тр=μN    

или                                                       Т– μN = m₁а';

                                                             N–m₁g=m₁a;                                                                                        

для второго  груза массой m₂           ОУ: m₂g –T = m₂a₂      или

                                                              m₂g–T=m₂(а'–а).                                                                            

Решая систему, состоящую из двух уравнений , получаем выражение для силы натяжения нити          Т=m₁m₂(g+a)(1+μ)/(m₁+m₂).                   

Применение координатного  метода к статическим задачам.

Координатный метод широко используется при решении статических  задач. Если тело находится в равновесии под действием сходящейся системы  сил, линии действия которых пересекаются в одной точке, то условие равновесия записывается в виде следующих соотношений: ΣF_ix=0 и ΣF_iy=0 для плоской системы сходящихся сил, вектора которых лежат в одной плоскости. Если система сходящихся сил является пространственной, то к выше приведённым уравнениям добавляется уравнение ΣF_iz=0.

Задача: Заряженный алюминиевый шарик радиуса r, подвешенный на тонкой нерастяжимой нити, находится между двумя параллельными вертикальными пластинами, расстояние между которыми d. Пространство между пластинами заполнено керосином. Каков заряд шарика, если при подаче на пластины напряжения U угол отклонения нити равен α? (рис.9)

рис.9

     Изобразим  шарик в положении равновесия, в котором нить образует угол  α с вертикалью. Электрическое  поле, возникающее между пластинами  при подаче на них напряжения  U, считаем однородным. Силовые линии такого поля параллельны друг другу и направлены перпендикулярно поверхностям пластин от пластины с большим потенциалом (+) к пластине с меньшим потенциалом (-). Вектор напряжённости Е параллелен силовым линиям,  а его величина   определяется     соотношением:   Е = U/εd,

где ε – диэлектрическая  проницаемость керосина.

        На шарик действуют силы: mg -сила тяжести,  F_A-архимедова сила, T-сила натяжения нити и  F_E -сила, действующая на заряд шарика со стороны электрического поля (рис. 9).

    Запишем условия  равновесия шарика в виде проекций  сил на координатные оси                             ОХ:Тsinα–F_E = 0;                                                                                     

                                           OY:Tcosα+F_A– mg = 0.                                         

Представим эти уравнения  в виде:

                                         Т sin α = F_E;

                                         Tcos α = mg - F_A.

Поделив левые и правые части этих уравнений, получим соотношение                                                                                       

                                                          tgα=F_E/(mg–F_A).                                        

Из этого уравнения  выразим силу F_E,  F_E=(mg–F_A)tgα.                                        

По законам электростатики эта сила определяется по формуле: F_E=Eq=Uq/εd,                                         

где q -  заряд шарика.

Приравняв правые части последних  двух уравнений получим уравнение, из которого можно найти заряд шарика: Uq/εd=(mg–F_A)tgα.Подставим в уравнение выражения для силы тяжести и силы Архимеда, связав их с плотностями алюминия и керосина, соответственно: