Методы и способы решения физических задач

                                             mg=ρ_aVg=(4/3)πr³ρ_ag,                                          

                                              F_A=ρ_kVg=(4/3)πr³ρ_kg.                                          

Получим уравнение: Uq/εd=(4/3)π r³g (ρ_a - ρ_k) tg α,                                       

из которого найдём заряд  шарика q=4πr³gεd(ρ_a- ρ_k) tg α / 3U.                                  

2. Метод решения задач переходом в систему отсчёта, связанную с одним из движущихся тел.

 

Переход в систему отсчета, связанную с одним из движущихся тел, заключается в том, что это  тело в его системе отсчёта  становится неподвижным, а его скорость и ускорение, направленные противоположно, передаются второму телу.   Пусть в неподвижной системе отсчёта два тела А и В имеют скорости V_A и V_B, векторы которых направлены как показано на рис. 10,а.

рис.10

Скорость V_BA тела В в системе отсчёта, связанной с телом А,   определится   как векторная сумма векторов  V_B  и ( -V_A ), а скорость  тела А в этой системе становится нулевой (рис. 10,б).

Задача: Спортсмены бегут колонной длины L со скоростью v. Навстречу бежит тренер со скоростью u, причём u <v (рис. 11, а).  Каждый спортсмен, поравнявшись с тренером, разворачивается и начинает бежать назад с той же по модулю скоростью v. Какова будет длина колонны, когда все спортсмены развернуться.

рис.11

Задачу решаем в системе  отсчёта, связанной с тренером. В  этой системе отсчёта тренер неподвижен, а спортсмены при беге навстречу  тренеру имеют скорость равную сумме  скоростей (v + u) (рис. 11, б), а при беге от тренера

(v–u) (рис.11,в). Время, за которое все спортсмены, поравнявшись с тренером, повернут назад равно:     t = L/ (v + u).                                               

Расстояние, на которое удалится первый, поравнявшийся с тренером спортсмен, за это время и будет  определять новую длину колонны.

       Спортсмены  бегут от тренера со скоростью  (v – u), поэтому первый спортсмен за время t убежит на расстояние L₁, которое определится по формуле:                               L₁ = (v – u) t = L (v –u)/ (v + u).                            

Это и будет новой длиной колонны, она станет короче.

Задача:  Два автомобиля выезжают одновременно из пунктов А и В, расположенных на расстоянии L друг от друга. Первый автомобиль А едет по прямой дороге, направленной под углом α к прямой АВ со скоростью V_A , а второй В - по  прямой дороге, составляющей с прямой АВ угол β, со скоростью V_B (рис. 12,а). Определить, каким будет минимальное расстояние между автомобилями при их движении?

рис.12

Изобразим движение автомобиля В в системе отсчёта, связанной с автомобилем А (рис. 12,б). В этой системе отсчёта автомобиль А неподвижен, а автомобиль В движется со скоростью                                                                                  V_BA     вдоль прямой ВС.   Кратчайшее расстояние  от неподвижного  в  этой  системе отсчёта автомобиля А  до прямой ВС определится длиной перпендикуляра   АD, которая и даст значение минимального расстояния d между автомобилями. Это расстояние определится из прямоугольного треугольника ADB   по формуле: d = L sin γ.                                                                  

Угол γ определяется из векторного треугольника скоростей использованием теоремы синусов: V_A / sin (β – γ) =  V_B / sin (α +γ)                                    

                  V_A (sinα cosγ + sinγ cosα) = V_B (sinβ cosγ – sinγ cosβ)             

Разделив обе части равенства на cosγ, получим

                                       V_A(sinα+tgγ cosα)=V_B(sinβ –tgγ cosβ).                    

 Отсюда                          tgγ = (V_Bsinβ -V_Asinα)/(V_Acosα+V_B cosβ),             

                         γ = arc tg(V_B sinβ-V_A sinα)/(V_A cosα + V_B cosβ),                  

Подставив в выражение  для d значение угла γ, получаем значение минимального расстояния между автомобилями

                           d = L sin arc tg (V_B sinβ - V_A sinα)/(V_A cosα + V_B cosβ). 

       При решении таким методом задач на столкновение тел вектор скорости V_BA должен быть направлен точно на тело А, а угол γ должен быть равен нулю.

4.3. Метод составления системы уравнений.

4.3.1. Система идентичных уравнений.

 

Метод используется при решении тех задач, в которых рассматривается одно и то же физическое явление, происходящее при разных условиях, отражённых в данных задачи. При составлении уравнений необходимо проанализировать, какие физические величины, описывающие это явление, остаются одинаковыми.

Задача: Эскалатор (движущаяся лестница) спускает идущего по нему пассажира за время t₁, а движущегося по нему в два раза быстрее за время t₂. За какое время эскалатор спускает стоящего на нём пассажира?

В этой задаче одинаковыми  являются длина эскалатора S и скорость его движения u. Скорость первого  пассажира в неподвижной системе  отсчёта по закону сложения скоростей  складывается из скорости пассажира  относительно эскалатора v и скорости самого эскалатора u: v₁=v+u, её также можно определить по определению скорости v₁=S/t₁. Тогда для скорости движения первого пассажира получим соотношение: S/t₁=v+u.                                                               

Аналогично для скорости движения второго пассажира, который  движется относительно эскалатора со скоростью 2v:  S/t₂=2v+u.                                                   

Для третьего пассажира уравнение  скорости движения будет иметь вид:

                                                S/t₃=u.                                                         

В системе трёх уравнений четыре неизвестных: S, v, u и искомое t_3, поэтому необходимо понизить число неизвестных. Для исключения неизвестной скорости v, вычтем второе уравнение из первого уравнения, умноженного на 2. В результате чего получим уравнение: S(2/t₁–1/t₂)=u.                                                          

Далее решаем систему из третьего и последнего уравнений. Приравняв левые части этих равенств, и сократив на S, получим выражение:  2/t₁–1/t₂=1/ t₃.                                                       

Откуда                                 t₃= t₁t₂/(2t₂–t₁).                                                      

Задача: Посередине откачанной и запаянной с обоих концов трубки длиной L, расположенной горизонтально, находится столбик ртути длиной h. Если трубку поставить вертикально, то столбик ртути сместится на расстояние равное d. До какого давления была откачана трубка? Плотность ртути ρ.

Процесс перевода трубки из горизонтального положения в  вертикальное (рис. 13) можно считать изотермическим, и, следовательно, к состояниям газа в обеих частях трубки  применить закон Бойля-Мариотта.

рис.13

Поскольку площадь поперечного  сечения трубки остаётся постоянной, то объёмы частей трубки, занятые газом, пропорциональны их длинам. Тогда для газа в верхней части трубки закон Бойля-Мариотта  запишется так:

Р(L – h)/2 = P₁ [(L- h)/2 + d];                                                                             

а для газа в нижней части  трубки - Р(L – h)/2 = P₂ [(L- h)/2 – d].                 

Здесь Р₁ и Р₂ – давления газа в верхней и нижней частях трубки соответственно, которые связаны между собой соотношением: Р₂–Р₁=ρgh. 

       Решая  полученную систему из трех уравнений относительно давления  газа Р в обеих частях трубки при её горизонтальном положении, получаем   

                            Р = ρgh [(L- h)² – 4d²] (L – h)d.                                                       

      4.3.2. Система уравнений законов сохранения.

 

При  столкновении тел (ударе) всегда выполняется закон сохранения импульса, вне зависимости от вида удара упругого или неупругого. Закон  сохранения механической энергии выполняется  при абсолютно упругом ударе, при неупругом - часть механической энергии переходит во внутреннюю энергию.

При движении тел по замкнутым  криволинейным траекториям (окружность, эллипс) в отсутствии силы сопротивления  выполняются законы сохранения момента  импульса и энергии.

Задача: Два шарика массами m и 3m висят, соприкасаясь, на длинных нерастяжимых нитях. Шарик меньшей массы вместе с нитью, на которой он подвешен, отклоняют на угол 90^о и шарик отпускают. Определить отношение импульсов (р₁/р₂) шариков после столкновения. Удар считать абсолютно упругим.

       Пусть  первый шарик массой m в самый последний момент  до удара со вторым шариком массой 3m имеет импульс р. После удара импульс первого шарика р₁ направлен противоположно, потому что его масса меньше массы второго. Второй шарик имеет импульс р₂ (рис.14).

рис.14

Запишем выражение закона сохранения импульсов шариков в  проекциях импульсов на координатную ось 0Х: р=р₂–р₁.                                           

Это уравнение содержит два  неизвестных  р₁ и р₂. Запишем второе уравнение, в которое входили бы эти же неизвестные. Это уравнение закона сохранения энергии (в данном случае кинетической энергии), которая сохраняется, вследствие абсолютно упругого удара:   р²/2mр₁²/ 2m+ р₂²/ 6m.                                       

Здесь используется формула, связывающая кинетическую энергию  с импульсом. Приведём систему из двух  уравнений к следующему виду:

                                         р + р₁  =р₂

                                           р²-р₁²=р₂²/ 3.                                                            

После деления второго уравнения системы на первое получим выражение:                      р– р₁ = р₂/3,  которое решаем совместно с уравнением р=р₂–р₁. Получаем соотношение:                           р₂–р₁=р₂/3+р₁.                                                       

Разделив обе части  равенства на р₂, получим искомое соотношение импульсов                    1 – (р₁/р₂) = 1/3 + (р₁/р₂).                                                  

Откуда                          р₁/р₂ = 1/3.

Задача: Космический корабль обращается вокруг Луны по круговой орбите, радиус которой равен трём радиусам Луны (R = 3R_л). Какую минимальную скорость нужно сообщить спускаемому аппарату, чтобы он прилунился на противоположной стороне Луны?(рис.15)

рис.15

        Сначала  определим скорость V₀ космического корабля при его движении вокруг Луны по круговой орбите радиуса R, используя второй закон Ньютона: G Mm/R² = mV₀²,                                                                                 

где М – масса Луны, m – масса космического корабля, G – гравитационная постоянная.

Отсюда        V₀=(GM/R)^1/2=(GM/3R_л)^1/2.                                                  

Подставив в формулу значения гравитационной постоянной, массы и радиуса Луны,  взятые  из  справочника  (G = 6,672 10^-11 Hм²/кг², М = 7,35 10²²кг, R_л = 1737 км) получаем значение этой скорости: V₀ = 970 м/с.

        Чтобы  прилуниться в точке В, космический  аппарат должен двигаться по  эллиптической орбите (рис. 15), а для этого его скорость должна измениться и стать равной V₁. При движении по этой траектории выполняются законы сохранения момента импульса  и энергии:

                                                         mV₁R=mV₂R_л;                                                                                  

                                     mV₁²/2–GMm/R=mV₂²/2–GMm/R_л.                                                

Спускаемый аппарат обладает как кинетической энергией, вследствие движения, так и потенциальной  энергией, вследствие  гравитационного  взаимодействия с Луной.

Видоизменим полученную систему  уравнений, учитывая, что R = 3R_л.

                                                            3V₁ = V₂;

                                           V₁²–2GM/3R_л=V₂²–2GM/R_л.                                             

 Решая полученную систему уравнений относительно V₁, получаем выражение для скорости, которая обеспечит начало движения спускаемого аппарата по эллиптической орбите V₁=(GM/6R_л)^1/2.                               

 Подставив в формулу значения гравитационной постоянной, массы и радиуса Луны получаем значение этой скорости: V₁ = 686 м/с.