Методы и способы решения физических задач

4.6.3. Метод объединения равнопотенциальных узлов.

 

Этот метод позволяет  упрощать  схемы электрических  цепей путём объединения узлов, имеющих равные потенциалы в один узел.

Задача: Найти сопротивление цепи АВ, изображённой на рис. 25,а.

рис. 25

       Так  как сопротивление подводящих  проводов считается равным нулю, то точки А и D, соединённые проводником имеют одинаковый потенциал, то же можно сказать и о потенциалах точек В и С. Объединив точки А и D в один узел и, сделав то же самое с точками В и С, получим простую схему из трёх параллельно соединённых резисторов (рис. 25,б). общее сопротивление цепи определим по формуле: 1/R_общ=1/R₁+1/R₂+1/R₃,

откуда R_общ=R₁R₂R₃/(R₁R₂+R₂R₃+ R₁R₃).                           

 

Задача: Найти сопротивление цепи, изображённой на рис.26,а, если сопротивления всех резисторов одинаковы и равны R.

рис.26

      Потенциалы  точек 1 и 3 одинаковы, поэтому  их можно объединить в одну, то же самое можно сделать  с точками 2 и 5, 4 и 6. В результате  получится видоизменённая  упрощённая  схема (рис. 26,б).

       Резисторы  R₁₂ и R₂₃ соединены параллельно, следовательно, их общее сопротивление равно R/2. Точно также общее сопротивление резисторов R₄₅  и R₅₆ равно R/2. Общее сопротивление части цепи параллельной R₃₄ равно R/2 + R/2 = R, поэтому сопротивление всей цепи будет равно R/2.

4.6.4.  Метод разделения узлов.

 

Метод разделения узлов схемы  основан на том, что, если возможно объединение  двух  узлов, имеющих равные потенциалы, то возможен и обратный переход: узел схемы можно разделить на две  или несколько точек, если получившиеся при этом точки имеют прежние  одинаковые потенциалы.

Задача: Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис.27) сопротивлением  R каждый.

 рис.27

        Разделим узел О на две точки, получив два варианта электрической цепи (рис. 28, а) и (рис. 28, б). В первом случае потенциалы точек О^’ и О^’’ не равны. , Если потенциал точки А больше потенциала точки В, то потенциал точки О^’ больше потенциала точки О^’’ и наоборот. Потенциалы же точек О₁ и О₂ равны, так как находятся в одинаковых условиях (полностью симметричны).  Отсюда следует, что верным является разделение узла О, показанное на рис. 28, б. Эквивалентная схема цепи, полученная после разделения узла О, изображена на рис. 28, в. Отсюда       общее сопротивление цепи между точками А и В равно 3R/2.

рис.28

Задача: Найти сопротивление цепи, которая представляет собой каркас из одинаковых отрезков проволоки (рис. 29,а) сопротивлением  R каждый.

      Единственно  верным способом разделения узла  О на отдельные точки О₁, О₂ и О₃ является способ, изображённый на рис. 29,б. Эквивалентное сопротивление участков (cd)  и (ef) будет равноR_cd=R_ef=2RR/(2R+ R) =2R/3.                                         

рис.29

         Эквивалентное сопротивление участка  АО₁В равно 2R.  Эквивалентная схема цепи, полученная после разделения узла О, изображена на рис.29,в. Общее сопротивление цепи определим по формуле:  1/R_общ=3/8R+3/8R+1/2R=5/4R,                     

откуда                                    R_общ  = 4R/5.

4.6.5. Метод преобразования и расчёта цепей с помощью перехода

«звезда» - «треугольник».

 

              Этот метод основан на том,  что схему, имеющую три узла, можно заменить другой, с тем  же числом узлов. При этом  сопротивление участка между  двумя любыми  узлами новой  схемы должно быть равно сопротивлению  заменяемого участка. В результате  получается схема, сопротивление  которой эквивалентно сопротивлению  данной по условию. Поскольку  в результате такого преобразования  изменяются токи внутри цепи, то такую замену проводят в  тех случаях, когда не нужно  находить распределение токов.

рис.30

    Рассмотрим преобразование  схем, имеющих три вывода (трёхполюсников).

Это преобразование называется преобразованием «звезды» (рис. 30,а) в «треугольник» (рис. 30,б), и наоборот.

В «звезде» сопротивление  между точками 1 и 2 равно r₁ + r₂, в «треугольнике» R₁₂ (R₁₃ + R₂₃)/(R₁₂ + R₁₃ + R₂₃). Следовательно, для того чтобы сопротивления между точками 1 и 2 были одинаковы для обеих схем, необходимо выполнение равенства: r₁+r₂=R₁₂(R₁₃+R₂₃)/(R₁₂+ R₁₃ + R₂₃).                                  

Аналогично для точек 1 и 3 и для точек 2 и 3:

                     r₁+r₃=R₁₃(R₁₂+R₂₃)/(R₁₂+ R₁₃ + R₂₃).                                    

                     r₂+r₃=R₂₃(R₁₂+R₁₃)/(R₁₂+ R₁₃ + R₂₃).                                    

Сложив левые и правые части этих уравнений и разделив полученные суммы на 2, получим: r₁+r₂+r₃=(R₁₂R₁₃ +R₁₂ R₂₃ + R₁₃ R₂₃)/ )/(R₁₂ + R₁₃ + R₂₃).             

После преобразований получим:

                                         r₁=R₁₂R₁₃/(R₁₂+R₁₃+R₂₃);                            

                                         r₂=R₁₂R₂₃/(R₁₂+R₁₃+R₂₃);                                  

                                        r₃=R₁₃R₂₃/(R₁₂+R₁₃+R₂₃).                                  

Аналогично получаются формулы  для обратного преобразования:

                                       R₁₂=(r₁r₂+r₁r₃+r₂r₃)/ r₃;                                        

                                       R₁₃=(r₁r₂+r₁r₃+r₂r₃)/ r₂;                                        

                                       R₂₃=(r₁r₂+r₁r₃+r₂r₃)/ r₁.                                        

Задача: Определите сопротивление цепи АВ (рис. 31.а), если  R₁=R₅= 1 Oм;  R₂=R₆=2Oм;   R₃=R₇=3 Oм;    R₄=R₈ =4 Oм.

рис.31

Преобразуем «треугольники» R₁ R₂ R₈    R₄ R₅ R₆ в эквивалентные «звёзды», тогда схема примет вид, изображённый на рис. 35,б.      Сопротивления r_1, r_2, r₃, … r₆ рассчитаем по формулам: r₁ = R₁ R₈/ (R₁ + R₂ + R₈) =  4/7 Ом;

r₂ = R₁ R₂/ (R₁ + R₂ + R₈) = 2/7 Ом;         r₃ = R₂ R₈/ (R₁ + R₂ + R₈) = 8/7 Ом;

r₄=R₄R₆/(R₄+R₅+R₆)=8/7Ом;                    r₅ = R₅ R₆/ (R₄ + R₅ + R₆) = 2/7 Ом;

r₆ = R₄ R₅/ (R₄ + R₅ + R₆) = 4/7 Ом;

     Схема, изображённая  на рис. 31,в является     эквивалентной     схеме        на рис. 31,б.

Здесь R’₃ = r₂ + R₃ + r₄ = 31/7 Ом; R’₇ = r₃ + R₇ + r₅ = 31/7 Ом,    R’₃ = R’₇.

Общее сопротивление цепи   R_общ = r₁ + R’₃/2 + r₆ = 47/14 Ом.

Задача: Определить общее сопротивление  неуравновешенного моста (рис. 32,а) , если R₁ = 1,0 Oм;  R₂ = 1,6 Oм; R₃ = 2,0 Oм; R₄ = 1,2 Oм; R₅ = 2,0 Oм.

рис.32

   Если преобразовать  «треугольник» из резисторов  R₁, R₃, R₅  в эквивалентную «звезду», то получится простая схема (рис.32,б). Рассчитаем сопротивления r₁, r₂ и r₃ по формулам:  r₁ = R₁R₃/(R₁ + R₃ + R₅) = 0,4 Ом;   r₂ = R₁R₅/(R₁ + R₃ + R₅) = 0,4 Ом;  r₃ = R₃R₅/(R₁ + R₃ + R₅) = 0,8 Ом;

Общее сопротивление цепи R_общ = r₁ + (r₂ + R₂) (r₃ +R₄)/ (r₂ + R₂ + r₃ + R₄) = 1,4 Ом.

 4.7. Векторный метод решения задач.

 

      Этот метод  используется в случае, если при  сложении векторов получается  замкнутый треугольник. Это может  быть треугольник скоростей, сил,  импульсов, напряжённостей электрических  и  индукций магнитных полей.

Задача: Мальчик и девочка решили попасть из пункта А в пункт В, расположенные на противоположных берегах реки, скорость течения которой u. Мальчик плывёт так, чтобы сразу оказаться в пункте В. Девочка направляет скорость своего плавания поперёк скорости течения реки и,  чтобы попасть в пункт В,  должна пройти по противоположному  берегу то расстояние, на которое её снесёт течением. С какой скоростью должна перемещаться  девочка по берегу, чтобы оказаться в пункте В одновременно с мальчиком? Скорости и мальчика, и девочки относительно воды одинаковы и равны V.

        При  решении используем закон сложения  скоростей, согласно которому  скорость тела относительно неподвижной  системы отсчёта  равна сумме скорости относительно подвижной системы и скорости самой подвижной системы. На рис. 33,а показана  скорость мальчика V₁ относительно берегов, которая получается путём сложения скорости мальчика относительно воды V и скорости течения реки u. Модуль скорости V₁ определим по теореме Пифагора:                                            V₁= (V² – u²) ^1/2.                                             

Время, за которое мальчик  сумеет переплыть реку по прямой АВ, определим по формуле:                     t₁ = L/V₁,        L – ширина реки.

        На  рис. 33,б показана скорость девочки V₂ относительно берегов реки, которая также равна сумме векторов скоростей девочки относительно воды V и течения реки u. Однако по модулю она равна  V₂=(V²+u²)^1/2.                                

рис.33

Время, которое потребуется  девочке, чтобы переплыть реку по прямой АС равно:                                  t₂=L/V,                                                                

т.к. вдоль прямой АВ она  плывёт со скоростью V. Поскольку V > V₁, то t₂ < t₁ на величину                 Δt = t₁ - t₂ = L (1/V₁ – 1/V).                                      

Девочка приплывает в пункт  С и, чтобы попасть в пункт  В вместе с мальчиком ей требуется  перемещаться по прямой ВС со скоростью V ^‘ = S/ Δt                                                                      

где S – длина прямой ВС,  представляющая собой расстояние, на которое сносит девочку течение реки. Из подобия векторного треугольника  и треугольника АВС (рис. 33,б) составим пропорцию S/L = u/V, откуда найдём S:

                                 S = Lu/V.                                                                 

Скорость перемещения  девочки по прямой ВС будет равна: V ^‘= S/Δt= Lu/VΔt

или после подстановки  значения Δt и V₁:

V ^‘=u/V(1/V₁–1/V)=u/V[1/(V² – u²) ^1/2 –1/V].

Задача: (стр.17) можно решить не только координатным методом, но и векторным.

На шарик действуют  силы:  mg - сила тяжести,  F_A - архимедова сила, T - сила натяжения нити и F_E  - сила, действующая на заряд шарика со стороны электрического поля (рис. 9).

рис.34

     Произведя  сложение векторов этих сил,  получим векторный треугольник  со сторонами (mg – F_A), F_E и Т. По условию равновесия сумма векторов сил должна быть равна нулю, поэтому конец вектора Т должен совпасть с началом вектора mg (рис.34). Так как сила натяжения направлена вдоль нити, а сила тяжести вертикально вниз, то между ними будет угол α . Угол между векторами mg и F_E прямой. Отношение противолежащего катета к прилежащему для угла  α равно тангенсу этого угла:    tgα=F_E/(mg–F_A).         

4.8. Метод решения обратной задачи.

 

        Многие  физические явления, изучаемые  в школьном курсе физики, рассматриваются  в идеальных условиях. При рассмотрении  механических явлений часто пренебрегают  сопротивлением среды, трением,  рассеянием энергии, поэтому такие  явления носят обратимый характер. Для  таких случаев направление  прямого процесса можно заменить обратным процессом.

Задача: С какого расстояния S от центра полусферы радиуса R =1,35 м, с какой скоростью и под каким углом β нужно бросить маленькую шайбу (из положения 1), чтобы она, попав на полусферу, остановилась на её вершине (положение 2) (рис.35,а)? Трением шайбы о полусферу и сопротивлением воздуха  пренебречь. Ускорение свободного падения считать равным 10 м/с².

рис.35

Сформулируем обратную задачу: на каком расстоянии S от центра полусферы, с какой скоростью V и под каким углом β упадёт шайба, скатывающаяся с вершины полусферы радиуса R (рис. 35,б)? Трением шайбы о поверхность полусферы и сопротивлением воздуха пренебречь.

Определим, с какой скоростью  V₀, под каким углом α к горизонту и с какой высоты от уровня основания полусферы (R cosα) отрывается шайба от поверхности полусферы.  Точка отрыва лежит ниже вершины на расстоянии равном h, поэтому скорость шайбы в момент отрыва определится по формуле:                                      V₀ = (2gh)^1/2.