Шпаргалка по "Теоретической механика"

Теоретическая механика (лекции)

Статика

Статика-это  раздел теор.мех., в которой изучаются  условия равновесия

матер.точек, тв.тел., мех.систем, при условии действия на них со стороны

других тел  сил и моментов сил.

Сила-это векторная  величина, а ( как для любой векторной вел-ны для силы

важным явл-ся точка приложения, направление и  величина силы.

[F]=1H=1(кг(м)/с2. Р=mg-сила  тяжести.

Аксиомы статики:

1.Система 2х  сил, равных по величине, противоположно  направленных и лежащих

на одной прямой эквивалентна 0. {F1, F2}(0 – это означает, что силы

уравновешены.

Следствие: Если тело под действием 2х сил находится  в равновесии, то

обязательно эти  силы = по величине , противоположны по направлению и лежат

на одной прямой.

2.Если к системе  сил добавить или отнять систему сил эквивалентных нулю, то

состояние системы  не изменится.

Следствие: сила-вектор скользящий. F1=F2=F2’=0, {F1, }({F1=F2’=F2}({F2’},

{F1;F2}(0.

3.Связи, наложенные  на тело можно отбросить, заменив  их действия реакциями.

Основные виды связи и их реакции.

Абсолютно гладкая  поверхность.

Реакция абсолютно  гладкой поверхности направлена по общей нормали к

соприкасающимся поверхностям.

Реакция в подвижном  шарнире направлена ( к направлению  его возможного

перемещения.

Жесткость заделки  не дает двинуть ни по х, ни по у, ни повернуть.

4.Силы складываются  по правилу параллелограмма.

Следствие: теорема  косинусов.

5.Любое действие  вызывает равное и противоположное  по направлению

противодействие (III Ньютона).

6.Принцып отвердевания. Равновесие тела от наложения  на него дополнительных

связей.

Некоторые понятия  статики.

Равнодействующая  систем сил мы будем называть силу, действие которой

эквивалентно  действию системы сил.

R*({F1;F2;F3;…;Fn} тогда  мы можем сказать, что система  сил вида

({F1;F2;F3;…;Fn -R*}эквивалентна  нулю. Такая система сил наз-ся

уравновешенной  или равновесной.

Алгебраический  момент силы относительно точки. Алг.моментом силы отн-но

точки будем  называть произведение силы на плечо, взятое со знаком + или -.

Плечо-это кратчайшее растояние от моментной точки до линии действия силы,

измеряемое перпендикуляром.

М(F)=(Fh. + берем  в том случае, если сила вращает  тело против часовой

стрелки, - по ходу часовой стрелки.

Алгебраический  момент силы относительно точки =0, если линия действия силы

проходит через  точку. М(F)=(Fh=2S(OAB

Векторный момент силы относительно точки –наз-ся векторное  произведение r

на F.

М(F)=[r(F].

Векторн.момент направлен ( плоскости, в которой  лежат вектора r и F в ту

сторону, что  с конца этого вектора вращение, производимое силой кажется

видно против часовой стрелки.

Численно векторный  момент равен (М0(F)(= (F(( (r((sin(r; F); (М0(F)(= (F((

h=2S(OAB .

Момент-вектор свободный, т.е.его можно переносить параллельно  самому себе.

Сходящиеся силы –такие силы, линия действия которых  пересекаются в одной

точке (их всегда можно сложить и получить равнодействующую силу сходящихся

сил). R*=(Fk.

Для того, чтобы  система сход.сил находилась в  рановесии необходимо и

достаточно, чтобы R*=0 (геометрическое условие равновесия сход.сил).

(Fkх=0 – аналитическое  условие равновесия системы сходящихся сил.

(Fkу=0

(Fkz=0

Проекция силы на ось. По определению проекция силы на ось – это есть

скалярная алгебраическая вел-на определяемая по ф-ле: Fx=Fcos(, где (-угол

между направлением силы и осью.

Для равновесия системы сход.сил на плоскости необходимо и достаточно 2 ур-

я: (Fkх=0 ; (Fkу=0 если все силы с плоскости хоу: F1, F2,…, Fn, (хоу.

Теорема о тех  силах. Если тело под действием 3-х  сил находится в

равновесии, причем линии действия двух из них пересекаются, то линия

действия 3-й силы пройдет через точку пересечения первых двух сил и все

силы лежат  в одной плоскости.

{F1;F2;F3 }({R, F3}(0

Теорема об n силах. Если тело находится в равновесии под действием n сил,

причем n-1 из них  пересекаются в одной точке, то лииня  действия n-ой силы

обязательно пройдет  через точку пересечения n-1 силы.

Момент силы отн-но оси. Моментом силы отн-но оси  наз-ся алгебраический

момент проекции силы на пл-ть, ( оси относительно точки  пересечения оси с

пл-тью.

Мz(F)=(F’ h=(2S(OA’B’

Момент силы относительно оси =0, если сила (( оси или линия действия силы

пересекает ось. Момент силы относительно оси =0, если сила и ось в одной

плоскости.

Мz(F)=(М0 ( F)(cos(

Момент силы отн-но оси – это есть проекция вектора момента силы отн-но

любой точки  оси на эту ось.

S(OA’B’ =S(OAB cos(.

Произведение  площади проецир.фигуры на cos угла между  фигурой и осью равно

площади проекции фигуры.

1/2 Мz(F)=1/2(М0 ( F)(cos(( Мz(F)=(М0 ( F)(cos(=(М01 ( F)(cos(1

М0 ( F)=[r(F]= i    j    k

x   y    z

Fx  Fy  Fz  = (yFz – zFy )i+(zFx-xFz)j+(xFy-yFx)k

Мx ( F)= yFz – zFy; My(F)=zFx-xFz; Mz=xFy-yFx.

Мz(F)=(F’ h=(2S(OA’B’

Пара сил.

Парой сил наз-ся 2 силы равные по вел-не, противоположно направленные и не

лежащие на одной  прямой.

F1=F1’=F, d-плечо  пары . Пара сил эквивалентна моменту. Момент пары сил (-

ый плоскости  пары направлен в ту сторону, что  с конца этого вектора

вращение, производимое парой кажется видным против часовой  стрелки.

Численно вектор момент равен произведению сил на плечо. пары .

(М1 ( F1, F1’)(=Fd=S(OABC.   Ммо(F1)=[r1 F1]; Ммо(F1’)=[r2 F1’]= Ммо(F1’)+

Ммо(F1)=[r1 F1]+[r2 F1]= [(r1- r2)F1]=[BO F1];   М1 ( F1, F1’) =[BO F1].

Пара сил не имеет равнодействующей, но она эквивалентна моменту.

Момент пары сил равен векторному моменту  одной силы пары относительно любой

точки, лежащей  на линии действия другой силы пары.

Отонсительно  любой точки сумма момента  пары равна моменту пары.

Очевидно, что  поскольку момент пары сил определяется вектором моментом, то

2 пары сил  мы будем называть эквивалентными  если у них одинаковы векторы

моменты. Отсюда следует, что пару сил в плоскости  действия пары можно

поворачивать  как угодно, изменять растояние между  силами, сохраняя при этом

величину вектора  момента, оставаясь при этом в  плоскости действия пары. Все

это эквивалентные  преобразования пар сил.

Пару сил можно  переносить параллельно самой себе, при этом эквивалентные

пары сил будут  сохраняться.

Если на тело действует пара сил и тело находится  в равновесии, то условие

равновесия под  действием пары сил имеет вид: (М ( Fк, Fк’)=0.

Две пары сил можно сложить, при этом векторный момент пары сил эквивалентны

двум складываемым парам, равен сумме моментов пары сил. М=М1+М2.

(Мх ( Fк, Fк’)=0

(Му ( Fк, Fк’)=0

(Мz ( Fк, Fк’)=0 –аналитические  условия равновесия для пар  сил.

Приведение системы  сил к заданному центру.

Вспомогательные теоремы:

При переносе силы в заданный центр возникает момент, равный векторному

моменту силы относительно заданного центра.

F=F1=F1’

(F1;F1’)=Mo(F),

{F}({F;F1;F1’}({Lo;F1}

Основная теорема  статики (теор. Пуансо):

При приведении системы сил к заданому центру возникает главный вектор R

равный сумме  всех сил и главный момент Мо, равный сумме моментов всех сил

относительно  центра приведения.

R=(Fk

Lo=(Mo(Fk)

Условия равновесия для произвольной простр.системы  сил, а также следствия

из этих уравнений.

R=0 и Lo=0 –ур-я  равновесия. Им соотв-ют 6 скалярных  алгебраических ур-1

равновесия для  простр.системы сил:

(Fkх=0  (Fkу=0  (Fkz=0   (Мх(Fk)=0  (Му(Fk)=0  (Мz(Fk)=0 –  аналитическое

условие равновесия для произвольной системы сил.

Пусть все силы ( пл-ти хоу, тогда: (Fkх=0  (Fkу=0  (Мо(Fk)=0 условие

равновесия для  произвольной плоской системы сил.

Условие равновесия для плоской системы параллельных сил.

Пустьсилы (( оси  оу, тогда (Fkх=0  (Мо(Fk)=0

Условие равновесия для пространственной системы параллельных сил.

F1, F2, F3,…,Fn (( оси  оz, тогда: (Fkz=0   (Мх(Fk)=0  (Му(Fk)=0 

Вторая форма  условия равновесия для пороизвольной  плоской системы сил: 

(МА(Fk)=0  (МВ(Fk)=0  (МС(Fk)=0 – причем т.А, т,В, т.С  ( одной прямой.

- Докажем необходимость этих условий:

Допустим, система  сил нах-ся в равновесии. Тогда  очевидно, что ( моментов

всех сил относительно любой точки пл-ти=0, т.е. выполняются  эти 3 условия.

- Докажем достаточность  этих условий:

Доказать достоточность  – это значит доказать, что при выполнении этих усл-й

система нах-ся в равновесии. Доказывать будем методом  от противного,

поэтому предположим, что эти усл-я выполняются, но система не нах-ся в

равновесии, т.е. существует R*(0 эквив.данной сист.сил.

Рассмотрим усл-е  первое и 2-е: для того, чтобы они выполнялись необходимо,

чтобы R* проходил через т.А и т.В. Согласно третьему условию hR=0.

Поскольку т.С ( прямой АВ это может выполняться  только в случае R*=0, т.е.

наше предположение  не верно и система действительно  нах-ся в равновесии.

Третья форма  усл-я равновесия для произвольной плоской системы сил.

(Fkz=0   (МА(Fk)=0  (МВ(Fk)=0   – причем ось ох  не перпендикулярна АВ.

- Необходимость  этого усл-я очевидна, т.к.если  система нах-ся в равновесии,

то главный  вектор и главный момент =0 относительно любой точки.

- Докажем достаточность  этих условий:

Предположим, что  система не нах-ся в равновесии и  сущ-ет, т.е. сущ-ет R* и

R* (0 является  равнодействующей данной системы  сил. Для того, чтобы