Шпаргалка по "Теоретической механика"

выполнялось усл-е 2 и 3 необходимо, чтобы R* проходил через АВ.

Потребуем выполнения усл-я R*cos(=0, поскольку х не перпендикулярна  АВ , то

R* должно быть  равно 0, т.о. мы доказали, что  эти усл-я достаточны для того

чтобы система  находилась в равновесии.

На основании  двух изложенных форм ур-й равновесия для плоской системы

параллельных  сил можно записать еще один вид  ур-я равновесия для плоской

системы параллельных сил:

(МА(Fk)=0  (МВ(Fk)=0, АВ не параллельна F1, F2, F3,…,Fn

Теорема Вариньона:

Момент равнодействующей отн-но кокой-либо точки равен сумме  моментов,

составляющих  данную равнод.сил относит-но того же центра.

{F1,F2,…, Fn}(R*, {F1,F2,…, Fn , -R*}(0, (Мо(Fk)= Мо(R*)

Произволь.плоская  система сил. Частный случай приведения произволь.плоской

сист.сил.

Плоск.сист.сил  хар-ся тем, что гл.вектор и гл.момент перпендикулярны

др.другу: Lo(R.

Частные случаи:

1.Гл.момент Lo=0; R(0 – в этом случае система  сил приводится к

равнодействующей, причем R*=R.  Если центр приведения лежит на линии

действия силы R, то ситуация не изменится и сист.сил опять будет приводится

к равнодействующей.

2.Пусть Lo(0; R(0. Покажем, что в этом случае  сист.сил можно привести к

равнодействующей.

R=R1=R1’; [Lo] ({R1;R1’};   {R1;R1’}(0; причем повернем эту пару  сил так,

чтобы R и R1 лежали на одной прямой, тогда видим, что сист.сил {R1;R1’}(0

{R;Lo}( {R=R1=R1’}({R1’}.  D=Lo/R.

3.Пусть R=0, Lo(0.  В этом случае система сил  приводится к паре. Причем вне

зависимости от вцыбора центра приведения система  сил будет приводится к

одной и той же паре сил с моментом Lo. Т.к.главный вектор не зависит от

выбора центра приведения.

Статически определимые  и стат.неопределимые задачи.

Задачи наз-ся стат.определимыми и соответств.этой задаче мех.система наз-ся

стат.определимой, если число неизвесных реакций связи не превышает числа ур-

й статики, которые  можно составить для решения  этой задачи.

Задачи наз-ся стат.неопределимыми, если число неизвестных  реакций связей

превышает число  ур-й статики. В теор.механике рассм-ся и решаются только

статически определимые задачи.

Ужно заменить неподвижный шарнир на подвижный.

Составные конструкции.

1.ХА-F1cos(+XC=0

2.-XC’+F2+XB=0

ХА- F1cos(+ F2+XB=0

Rc=RC’; MC=MC’

В РГР: после  составления 6 ур-й равновесия проверить  правильность найденных

реакций связи  при помощи ур-я, которое не участвовало в решении. 

Распределенная  нагрузка 

Q=[н/м], l=[м]. Q=(qdx=q(dx=ql

Q(x)=(q/l)x, Q=(q(x)dx=(q/l)(xdx=(q/l)(x2/2)(= (ql)/2.

dQ=q(x)dx, [(ql)/2]b=(q(x) xdx=(q/l) ( x2dx=(q/l)(x3/3)(= (ql)/3.

[(ql)/2]b= (ql)/3(b=(2/3)l.

Вывод: в общем случае вел-на сосредоточенной силы равна площади

распределенной  на оси и приложена она в  центре тяжести.(Все это касается

распределенной  нагрузки параллельн.между собой  силам).

Сила трения скольжения. Законы Кулона для Fтр.ск.:

1)Сила трения  скольжения лежит в интервале 0( Fтр( Fмах;

2) Сила трения  скольжения не зависит от площади  соприкасающихся тел, а

зависит лишь от силы давления этого тела на поверхность

3)Сила тр.скольжения  опр-ся по ф-ле: Fтр=fN, N-сила реакции  опоры =Р, f-

коэф-т трения скольжения

4)Коэф-т трения  скольжения завис.от шероховатостей  пов-тей трущихся тел, от

температуры, от физич.состояния материала.

Момент трения качения.

N=P.

Мтр.кач.=(N, (-коэф.трения качения

В динамических ур-ях сила трения скольженич и момент трения качения входят

в правые части  ур-я. Правило со знаком  -.

Конус трения.

Угол ( образуется между силой R и N, причем сила R-это  равнодействующая

силы N и максимальной силы трения.

tg(= Fтр/N=f-коэф.трения

Конус, построенный  на силе R с углом ( наз-ся конусом  трения.

Если сила RА  оказывается внутри конуса, то тело нах-ся в равновесии.

Т.о. если какая-то активная сила нах-ся внутри конуса и  лежит на его

образующей, то тогда тело нахся в равновесии. Если сила RА нах-ся вне

конуса трения, то тогда тело нге может находится в равновесии.

Взаимодействие  трения качения и трения скольжения.

Тело нах-ся в  равновесии:

(Р= Мтр.кач.=rQ,

fP= Fтр=Q

Если Q(((/r)P (1) , (2) то тоже тело нах-ся в равновесии

1 )Q(((/r)P,(/r(f тело  нах-ся в равновесии

2) Q( ((/r)P , Q(fP в  этом случае происходит качение, но без скольжения

3) Q( ((/r)P , Q(fP в  этом случае происходит качение  со скольжением

4) Q( ((/r)P , Q(fP чистое  скольжение

Поскольку в  основном выполняется условие 1, то качение наступает быстрее,

чем скольжение и поэтому подшипники намного эффективнее, чем скользящие

приспособления.

Аналогично моменту  трения качения можно ввести момент трения верчения, Коэф-

т трения верчения меньше, чем коэя-т трения качения. 

Произвольная  простр.система сил Частный случай приведения произвольной

простр.системы сил. Инвариантная система сил. 

Представим себе, что мы привели систему к какому-либо центру 0, что

произойдет с  сист.сил, если изменить центр приведения на некий новый центр

О1.

Lo-векто свободный

{R’’, R’}(0

R=R’=R’’

MO1=[O1O (R]

LO1=LO+[O1O (R]= LO-[O1O (R’]

При перемене центра приведения главный вектор сохраняется, а гл.момент

меняется на вел-ну момента силы отн-но нового центра приведения.

Инвариантом наз-сятакая  вел-на, кот-я не меняется при изменении  центра

приведения.

Т.о. мы обнаружили 1-й инвариант-это главный вектор.

(LO1(R)=(( LO+[O1O (R] )R)

(LO1(R)=( LO(R)+( [O1O (R] R)

(LO1(R)=( LO(R)

LO1(cos(1= LO( cos( -эта  запись второго инварианта в  др.форме:  Проекция

главного момента  на направление главного вектора  величина неизменная.

L1xRx+ L1yRy+ L1zRz= LxRx+ LyRy+ LzRz

Частный случай приведения произвольной плоской системы  сил.

1)Приведение  системы сил к паре сил

В этом случае LO(0, R=0. При изменении центра приведения главный момент не

меняется.

2)Система сил  приводится к равнодействующей

а)R*=R; LO=0

Относительно  любой точки, лежащей на линии  действия равнодействующей

система сил  всегда будет приводится к равнодействующей R, но отн-но какого-

либо др.центра приведения сист.сил уже не будет  приводиться к

равнодействующей.

Б) LO(0 R(0, LO( R.

Покажем, что  в этом случае сист.сил приводится к равнодействующей.

R=R’=R*

{R, LO }({ R=R’=R*}({R*}

LO=Rd

{R, R’}(0

В этом случае сист.приводится к равнодействующей, кот.лежит на растоянии d

от линии дей-я  силы R , определяемое по ф-ле: d=Lo/R

3)Система сил приводится к Динамо. Это когда гл.вектор и гл.момент лежат на

одной прямой.

Случай, когда  сист.сил приводится к Динамо

LO(0 R(0, причем LO не( R.

LO1=LOcos(;

LO2=LOsin(; d=LO2/R

Уравнение динамической оси.

LО1x/Rx= LО1y/Ry= LО1z/Rz-ур-е  прямой в простанств.сист.координат

LО1= LО +[O1O (R]

LО1= LО +[OO1 (R’]

[LОx+(y Rz -z Rx]/ Rx=[LОy+(z Rx -x Rz]/ Ry=[LОz+(x Ry -y Rx]/ Rz

–уравнение  динамической линии(ур-е прямой на которой  выполняется динамо)

[LОx+(y Rz -z Ry]/ Rx=[LОy+(-x Rz +z Rx]/ Ry=[LОz+(x Ry -y Rx]/ Rz

i       j     k

x     y     z

Rx Ry Rz

[LОx -(y Rz’ -z Ry’]/ Rx=[LОy -(z Rx’ -x Rz’]/ Ry=[LОz -(x Ry’ -y Rx’]/ Rz 

Равнодействующая 2-х параллельных сил,направл-х в  одну сторону 

R*=F1+F2

F1/F2 =а/в, F1(а= F2(в

МR*(F1)=- МR*(F2); LO-гл.момент

При пирведении сист.сил к какому-либо центру у нас появляется гл.вектор =

сумме всех сил  и гл.момент = сумме моментов всех сил отн-но того же центра.

Поэтому равнодействующая 2-х параллельных сил, напр-х в  одну сторону

(лежит) и проходит  между этими силами, по вел-не равна сумме этих сил и

приложена в  точке, которая делит растояние  между этими силами на части

обратно пропорциональные силам.

Равнодействующая 2-х параллельныхсил, напр-х в разные стороны

F2( F1 , R*= F2- F1, F1/F2 = а/в, F1/а= F2/в=( F2- F) /в-а, F1(в= F2(а, Мс

(F2)= Мс(F1);

Равнод-я 2-х парал-х  сил, напр-х в разные стороны, лежит  за линией действия

большей силы, равна  по модулю разности двух этих сил и  приложена в точке,

которая делит  растояние между этими силами на части, обратно

пропорциональные силам внешним образом.

Очень важно, что  силы не равны между собой.

Центр параллельных сил.

Т.С –центр парал-х  сил.

R*=l(Fi,

На основании  теоремы Вариньона запишем: момент равнодействующей

относит.какого-либо центра равен сумме моментов всех сил относит.того же

центра

Мо (R*)= (Мо Fк,

[rc(R*]= ([rк (Fк]

[rc(((Fi)l] - ([rк (Fкl]=0

[((Firc - (Fkrk) (l]=0

Т.к. вектор l отличен  от 0, то из этого соотношения следует, поскольку

вектор l выбирают произвольно, то rc(Fк- (Fkrk=0 ( rc=((Fkrk)/ (Fк  формула

нахождения центра тяжести. 

Нахождение центров  тяжести 

rc=((Рkrk)/ (Рк –ф-ла  нах-я ц.т.

Р1=m1g; Pk=mkg; Pn=mng.

rc=((mkrk)/ M–ф-ла  нах-я ц.т.

M=(mk

xc=((mkxk)/ M; yc=((mkyk)/ M; zc=((mkzk)/ M

Для сплошного  однородного тела имеем след.ф-лу для нах-я центра масс.

xc=((х dV)/V; yc=((у dV)/V; zc=((z dV)/V; V=(dV

Для тел, масса  кот-х распределена по пов-ти небольшой  толщины имеем след-е

ф-лы:

xc=((х ds)/S; yc=((у ds)/S; zc=((z ds)/S; S=(ds

Для тел, масса  кот-х распределена по длине (типа проволоки):