Модели определения стоимости и управления риском опционных контактов

Часть результатов  работы освещена в рамках телевизионной программы «Капитал» (эфир от 20 октября 2009 года на телеканале Эксперт-ТВ) и на интеренет-конференции «Эффективные математические методы управления капиталом в период кризиса», проводимой порталом www.finam.ru

Публикации. По теме диссертационного исследования автором опубликовано семь печатных работ, в том числе в двух изданиях, рекомендованных ВАК РФ.

Структура работы. Диссертация состоит из введения, трех глав, заключения, списка литературы и приложений:

Введение

Глава 1. Теоретические  аспекты развития рынка опционов и методов

Хеджирования

1.1 Значение рынка производных  инструментов для экономики страны  и история его развития

1.2 Исследование методов хеджирования  и ценообразования финансовых  опционов

1.3 Развитие теории  хеджирования и ценообразования опционов на основе модели Блэка-Шоулса

Глава 2. Модели расчета рыночной стоимости и  управления риском опционных позиций

2.1 Построение модели  формирования рыночной цены опциона

2.2 Система оценки чувствительности  цены опциона

2.3 Модель управления риском портфеля опционных контрактов

Глава 3. Реализация системы управления риском на основе модели

теоретической стоимости финансового опциона

3.1 Методика динамического хеджирования

3.2 Результаты моделирования  различных методик динамического  хеджирования

3.3 Построение механической  торговой системы

Заключение

Литература

Приложения

ОСНОВНОЕ СОДЕРЖАНИЕ РАБОТЫ

Выявление особенностей применения методов совершенного хеджирования на российском рынке деривативов. В работе проведен сравнительный анализ спотового (кассового) и срочного рынка, рассмотрены виды срочных контрактов и особенности сделок с деривативами.

Отрасль производных инструментов повышает эффективность всего финансового рынка. Показано, что с внедрением финансовых деривативов, уменьшаются издержки распределения финансовых ресурсов между участниками экономических отношений. Стоимость осуществления инвестиций снижается, что способствует повышению темпов экономического роста.

В работе  выделены следующие преимущества использования срочных контрактов:

1. Производные финансовые  инструменты открывают участникам  рынка новые возможности для  управления риском экономической  деятельности. Они позволяют разложить  его на составляющие.

2. Участники рынка могут использовать  производные инструменты в спекулятивных целях. 

3. Рынок производных  инструментов открывает новые  возможности арбитражных операций. Помимо поддержания ликвидности, арбитражные операции с использованием производных инструментов способствуют установлению непротиворечивых цен на всем финансовом рынке.

4. Производные инструменты открывают  инвестиционные возможности, которые  невозможно осуществить каким-либо  иным способом. При помощи финансовой  инженерии участники рынка могут  разрабатывать индивидуальные решения для конкретных задач экономической деятельности.

5. Производные инструменты позволяют  достаточно легко и за относительно низкую стоимость использовать эффект финансового рычага (leverage). Это дает возможность достигнуть совершенно новый уровень соотношения между доходностью и риском, который не способна реализовать позиция в инструментах кассового рынка.

6. Инструменты срочного рынка  понижают транзакционные издержки,   в особенности, средних и   мелких участников рынка при  достижении определенной структуры выплат.

7. Срочный рынок выполняет информационную функцию. Многие институты, задействованные в анализе или проведении денежной политики, постоянно анализируют информацию, заложенную в ценах финансовых активов.

Выявлено, что основную, ключевую роль в теории страхования ценовых  рисков, и рисков, связанных с изменением процентных ставок, играет метод совершенного хеджирования, что стимулирует неравномерное распределение ликвидности между различными видами финансовых инструментов, играющих роль базового актива.

Экономические преимущества и недостатки различных методов хеджирования ценовых рисков. В работе рассмотрено понятие финансового опциона, как ценной бумаги, дающей право ее владельцу совершить сделку купли-продажи с какой-либо ценностью.  Рассмотрены основные подходы к определению теоретической стоимости финансового опциона. Рассмотрены преимущества и недостатки существующих моделей ценообразования опциона.

На основе проведенного сравнительного анализа моделей формирования теоретической  стоимости опциона разработана  классификация методов хеджирования финансовых инструментов.

Рисунок 1 –  Классификация методов хеджирования.

 

Для структурирования существующих методов хеджирования приведена рабочая классификация, представленная на рисунке 1. Первый классификационный шаг позволяет провести границу между совершенным и несовершенным хеджированием. В свою очередь Совершенное или Полное хеджирование можно разделить на простое и динамической в зависимости от метода совершения сделки по базовому активу.

В настоящее время стратегии  совершенного хеджирования выполняют  роль стандартного подхода финансовой инженерии, нашедшим широкое признание в теории и практике управления риском. На основании предположений модели капитал таких стратегий задается особенностями рынка и характеристиками производного инструмента. К примеру, в рамках модели Блэка-Шоулза опцион может быть совершенно защищен от риска при помощи динамического хеджа.

Несомненное достоинство стандартных  методов совершенного хеджирования состоит в том, что если выполняются предположения модели, они позволяют найти стоимость срочной позиции вне зависимости от предпочтений ее владельца. Однако они не учитывают ожидания держателя срочной позиции, его отношение к риску, а также особенности его инвестиционной стратегии.

Модель ценообразования  опциона. В работе приведен вывод одной из моделей ценообразования финансового опциона с учетом функции волатильности. Рассмотрена зависимость волатильности базового актива от цены исполнения опциона. Для этого были приняты следующие допущения:

1. Основные активы  свободно продаются и покупаются, в том числе в дробных долях;

2. Допускается продажа  без покрытия («короткая» продажа) основных активов, при этом денежные средства могут реинвестироваться под безрисковую ставку r;

3. Никаких дивидендов  или иных выплат по основным  активам до исполнения опциона не предусматривается;

4. Допускается привлечение  и размещение денежных средств по  безрисковой процентной ставке r (с непрерывным накоплением процентов);

5. Опцион относится  к европейскому типу - до дня  погашения исполнен быть не может;

6.  Налоги, расходы  на совершение сделок и выплаты  маржи отсутствуют;

7. Цена базового актива с ходом времени меняется непрерывно (без скачков);

8. Характер изменчивости цены  базового актива, а также процентная ставка в течение срока действия опциона остаются постоянными.

Для учета функции волатильности  от цены страйк, выведена следующая модель ценообразования опциона колл (целевая функция), то есть, сколько должен заплатить покупатель контракта, который рассчитывает, что цена базового актива (например, фьючерса) вырастет через время t:

                                    (1)

где: С – теоретическая цена опциона колл (рубль); N(x) – функция стандартного нормального распределения (доля от единицы); t – время до истечения опционного контракта (доля от года); r – безрисковая ставка, в размере которой инвестор может получить гарантированный доход(%); S₀ – начальная цена базового актива, то есть цена актива на момент заключения контракта (рубль); X – цена исполнения опциона (цена страйк), то есть цена по которой покупатель будет иметь право купить базовый актив, через t лет (рубль).

Коэффициенты d₁ и d₂ определяются по следующим формулам:

 

                                         (2)

                          (3)

где:  – функция стандартного отклонения цены от разницы между текущей ценой и ценой страйк (%).

Модель (1) имеет следующие  ограничения:

1. Зависимость показателя  волатильности от цены исполнения  является монотонной функцией σ_S,X=f(S - X), такой, что во внутренних узлах сама функция и ее производные до 2-го порядка были непрерывны:

2. Изменение цены базового актива S(t) имеет логнормальное распределение со средним:

                      

При этом разброс цены относительно среднего характеризуется среднеквадратическим отклонением (СКО):

       

3.Цена исполнения опциона X_i должна находиться в рамках полного перечня опционных контрактов, предлагаемых биржей:                  

где:

4. Безрисковая процентная  ставка r ограничена нормой доходности по безрисковым инвестициям, которые обеспечивают облигации федерального займа (ОФЗ):

5. Время истечения  опционного контракта зависит  от даты погашения данного  опциона. На текущий момент биржа РТС предлагает опционы со сроком погашения 3 месяца:

В отличие от постоянного  значения σ_S,X =const, в работе рассмотрена зависимость стандартного отклонения стоимости базового актива от разницы между текущей ценой и ценой заключения контракта (цены страйк), то есть σ_S,X =f(S-X).

Получено выражение  для определения теоретической  премии опциона пут. Для определения  теоретической цены пут опциона  использовалось  понятие ценового паритета. В соответствии с ним, продажа опциона пут, и покупка опциона колл, эквивалентна покупки одного лота базового актива, но при этом без затрат денежных средств в размере стоимости  лота. Приравняв денежные выплаты по эквивалентным портфелям,  было получено:

                                               (4)

или

                                             (5)

где: P – теоретическая стоимость пут-опциона; С – теоретическая стоимость колл-опциона; S₀ – цена акции на момент заключения опционных контрактов; X – текущая стоимость акции.

Подставив в формулу (5) выражение (1) было получено выражение  для определения теоретической  премии опциона пут:

                                          (6)  

В работе представлены модели ценообразования опциона колл и пут, для случая σ_S,X =f(S-X), что соответствует зависимости волатильности базового актива от цены исполнения. То есть, для того, чтобы цена через t дней была выше заранее определенного уровня X₁, она должна характеризоваться волатильностью σ₁, а если планируется рост цены выше значения X₂ (X₂>X₁), то рыночная конъюнктура должна способствовать волатильности σ₂ (σ₂>σ₁). Однако, как показывает практика, данная зависимость нелинейная.

 Для оценки чувствительности  премии опциона к изменению цены базового актива вводиться модифицированный показатель δ_с для опциона колл:   

                           (7)

Для нахождения δ_с вводится функция волатильности от страйка и от текущей цены базового актива σ_S,X. Для получения данной зависимости возникла необходимость аппроксимировать кривую, описывающую функцию σ_S,X =f(S-X). Указанное обстоятельство позволило получить следующую формулу.

Введены следующие общепринятые обозначения:

1. Показатель канонической дельты, не позволяющий учитывать зависимость σ_S,X:  _.

2. Показатель, отражающий  изменение цены опциона при  изменении волатильности:  _.

Тогда окончательный  результат примет вид:

                                                 (8)

Таким образом, найдена  аналитическая формула показателя чувствительности премии опциона к изменению цены актива, лежащего в основе контракта. Экономический смысл данного показателя, заключается в отображении поведения стоимости опциона, при изменении  цены базового актива, и как показывает формула (8), эта зависимость нелинейная. 

Аналогичным образом  выведена формула для показателя :

                                                                (9)

Для определения зависимости σ_S,X  в работе рассмотрена интерполяция кривой волатильности методом сплайн-функций.

Математический смысл  показателя чувствительности  вытекает из уравнения (8) и (9). Видно, что отражает вероятность того, что цена актива S_T (случайная величина, имеющая логнормальный закон распределения) на день экспирации опциона превысит некий порог X, который равен страйку опциона. Для опциона пут также пропорциональна вероятности, только с противоположным знаком.

С экономической точки  зрения, величину можно трактовать следующим образом: если составить портфель из N единиц базового актива, где N приравнивается к показателю , рассчитанному по формуле (8),  аналогичного опционного портфеля, то при  изменении цены актива, цена опционного портфеля и портфеля из активов будет изменяться на одинаковую величину.

Модель управления риском портфеля опционных контрактов, позволяющая снизить потенциальные риски, вызванные изменением цены базового актива против направления опционной позиции.

Показатель  рассмотрен с точки зрения хеджирования позиции опционного портфеля. В такой интерпретации он является коэффициентом хеджирования. Было проверено, что показатель эквивалентен части базового актива, которую необходимо купить, а затем при необходимости частично продать против позиции по опциону, чтобы создать портфель, который будет застрахован от изменений цены базового актива. Например, если стоит задача составить портфель из опциона колл на фьючерс на акции Сбербанка, но при этом изменение самого фьючерса не должно влиять на стоимость данного портфеля, тогда  необходимо продать δ фьючерсов на выбранный актив. Стоимость портфеля составит: