Модели определения стоимости и управления риском опционных контактов

                                                (10)

где: М – количество проданных (купленных) опционов.

В модели управления ценовым  риском в качестве целевой функции  выбрано изменение стоимости портфеля до даты погашения опционов:

  (11)

где: t_i – момент времени совершение сделки по фьючерсам.

В данной модели принимаются  следующие ограничения:

1. Моменты времени  подравнивания находятся в промежутке  от заключения сделки с опционами до их погашения: 

2. Стоимость хеджирования Ls определяется исходя из транзакционных затрат  на покупку и, при необходимости, частичную продажу фьючерсов:

где: Com – комиссия за покупку (продажу) одного фьючерса (рубли).

3. Количество купленных  фьючерсов не может превышать  количество проданных опционов:

Таким образом, получаем позицию, нейтральную к изменению  цены базового актива.

Следует отметить, что  в случае с портфелем, показатели являются аддитивными, и подверженность множественной позиции риску может быть определена как взвешенная функция.

Алгоритм для сравнения различных методов хеджирования с точки зрения экономической эффективности. В диссертационной работе приведен пример расчета линейки стоимости опционов с разными страйками, со следующими, практически значимыми условиями: текущая цена фьючерса S₀ = 35 000 рублей, безрисковая процентная ставка r = 10%, срок погашения опциона t = 0,25 лет;

Профиль волатильности σ_S,X =f(S-X) задан таблицей 1.

Таблица 1 – Значение профиля волатильности.

Страйк Х (руб)	Волатильность σ (%)
25 000	60
30 000	58
35 000	57
40 000	59
45 000	62
50 000	67
55 000	74

Подставляя данные значения в формулу (1), находим зависимость стоимости опциона от цены исполнения:

Рисунок 2  – График стоимости опциона колл  для различных страйков.

 

В работе процесс динамического хеджирования опционного портфеля представлен следующими этапами:

1. Структурирование опционного портфеля на две части: купленные и проданные контракты.

2. Структурирование элементов  портфеля, полученных в пункте 1, на опционы с одинаковыми ценами исполнения.

3. Для каждой совокупности  опционов с одинаковой ценой  исполнения рассчитывался показатель реальной по формуле (8), выведенной во второй главе.

4. Применяя свойство  мультипликативности показателя  , рассчитывается δ_п всего портфеля.

Для оценки эффективности метода хеджирования, основанного на показателе δ_п, проведен сравнительный анализ различных способов динамического хеджирования на основе метода Монте-Карло (рисунок 3).

Рисунок 3 – Алгоритм  расчета Ls(затрат)  и СКО (точности хеджирования) методом Монте-Карло.

 

Для моделирования процесса были введены формальные критерии, указывающие на изменение дельты опционного портфеля на величину, необходимую для проведения итерации рехеджирования, то есть подравнивание по параметру дельта.

В качестве критериев отслеживались  изменения следующих величин, являющихся основой соответствующих методов хеджирования:

К1. Выравнивание по времени. Позиция  выравнивается с фиксированным  шагом по времени.

К2. Выравнивание по стоимости портфеля. Позиция выравнивается, когда стоимость портфеля изменяется на фиксированное количество денежных средств.

К3. Выравнивание по цене базового актива. Позиция выравнивается, когда цена базового актива отклоняется от точки последнего выравнивания дельты на фиксированную величину.

К4. Выравнивание по значению канонического  параметра . Позиция выравнивается при отклонении показателя на фиксированное значение.

К5. Выравнивание по значению показателя тэта (показатель изменения цена опциона  в зависимости от времени). Позиция  выравнивается, когда стоимость портфеля изменяется на тэту, умноженную на фиксированный множитель.

К6. Выравнивание в соответствии с  Гамма-фактором (отношение  опциона к изменению цены базового актива). Позиция выравнивается, когда процентное изменение цены базового актива относительно точки последнего выравнивания составляет больше, чем фиксированная доля гамма-фактора.

К7. Выравнивание по значению показателя δ_п. Позиция выравнивается при отклонении показателя δ_п.

На первом шаге моделирования было сгенерировано 10 000 различных ценовых котировок и для каждого случая рассчитывались транзакционные издержки на выравнивание и накопленное стандартное отклонение от разницы между текущей стоимостью опциона и финансовым результатом на хеджирование данного опциона для каждого критерия.

На рисунке 4 для разных методов  хеджирования приведен график зависимости потенциального убытка (риска) СКО(ε) от затрат на процесс хеджирования Ls, который может возникнуть при различных масштабирующих множителях, для 100 опционов с ценой страйк 35 000.

Рисунок 4 – График транзакционных затрат и стандартного отклонения.

 

Из графика следует, что наилучший  результат обеспечивает модель, основанная на расчете предложенного параметра  δ_п, согласно критерию К7, поскольку при этом методе точки кривой имеют минимальное значение стоимости процесса хеджирования.

В ходе моделирования были получены следующие результаты. Чем ниже лежат  точки на графике, тем меньше затраты  при заданном уровне ошибки хеджирования. В ходе моделирования показано, что во всех случаях оптимальным является выравнивание по значению показателя δ_п. При этом самый распространенный метод выравнивания - с фиксированным шагом канонической дельты Δ_П, являются средними по эффективности, самыми неэффективными является выравнивание с определенным шагом по времени.

Для опционов колл с ценой исполнения 32 000 и 38 000 пунктов результаты моделирования являются аналогичными как и для опциона со страйком 35 000, что объясняется независимостью затрат и волатильности базового актива от цены исполнения.  

Таким образом, моделирование  по методу Монте-Карло показало, что  расчет реальной дельты опционного портфеля является наиболее эффективным для динамического хеджирования и сохранения дельта-нейтральной позиции. 

В ходе моделирования  было показано, что при использовании  модели с учетом функции волатильности, динамическое хеджирование является более дешевым при заданной ошибке хеджирования. Так, в среднем процесс динамического хеджирования становится экономичнее от 10% до 26% в зависимости от стандартного отклонения базового актива.

Переходя к портфелю, состоящему из инструментов на разные базовые  активы, является производной функции по разным независимым переменным (ценам базового актива). Поэтому для адаптации метода для российского рынка производных инструментов дельта была определена следующим образом:

                                                 (12)

где:

I – текущее значение индекса.

k – порядковый номер финансового инструмента в порфеле.

Индексную дельту, рассчитанную по формуле (12) следует интерпретировать как изменение стоимости портфеля при изменении значения индекса на 1 пункт. Удобнее выражать изменение стоимости портфеля, используя изменение индекса на некоторую процентную величину. Это позволяет оценить чувствительность портфеля к относительным изменениям индекса.

В заключении подводится итог проведенной работе, приведены основные теоретические, методические и практические результаты работы.

 

 

 

 

 

 

 

 

По  теме диссертации автором опубликованы работы:

Публикации  в рецензируемых научных журналах, рекомендованных ВАК РФ:

1. Соколов Е.В., Смывин А.Ю. Управление доходностью акций с использованием метода многоинтервальной оптимизации // Контроллинг. – 2009. – №1 (29). С.66–71. – 1,0 п.л. (0,5 лично соискателем).
2. Картвелишвили В.М. Смывин А.Ю. Модифицированная модель Блэка-Шоулза в эффективных алгоритмах динамического хеджирования // Вестник Российской экономической академии имени Г.В. Плеханова. – 2009. – №6(30). С.79–85. – 0,6 п.л. (0,3 лично соискателем).

 

Публикации в других изданиях:

3. Картвелишвили В.М. Смывин А.Ю. Программный трейдинг на российском рынке акций // Современные аспекты экономики. – 2008. –№1(126).С.145–155. – 0,8 п.л. (0,4 лично соискателем).
4. Картвелишвили В.М. Смывин А.Ю. Основные виды российских биржевых роботов // Современные аспекты экономики. – 2008. –№5(130).С.14–23. – 1,0 п.л. (0,5 лично соискателем).
5. Картвелишвили В.М. Смывин А.Ю. Механические торговые системы на основе адаптивных индикаторов // Современные аспекты экономики. –  2008. – №6(131).С.220–232. – 1,2 п.л. (0,6 лично соискателем).
6. Картвелишвили В.М. Смывин А.Ю. Методология построение механических торговых систем // Современные аспекты экономики. –  2008. – №10(135).С.33–38. – 0,5 п.л. (0,3 лично соискателем).
7. Смывин А.Ю. Об одном подходе к модели Блэка-Шоулза // Futures&Options. – 2009. – №11(26). С.48–52. – 0,8 п.л.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Подписано к  печати                     г. Заказ №         Объем 1,0 п.л. Тираж 100 экз.

Типография МГТУ им. Н.Э. Баумана