Производственные функции

    При моделировании производства с использованием неоклассического метода предполагается, что производственная функция является дважды дифференцируемой по совокупности переменных. Это дает возможности использовать маржинальный анализ с применением аппарата классического математического анализа.

    Рассмотрим  многофакторную производственную функцию

.

Если  рассмотреть мерное точечное пространство затрат , то рассматриваемую производственную функцию можно записать в виде

,

где

 Производственные функции должны удовлетворять определенным свойствам (аксиомам), которые отображают основные экономические закономерности производства.

Определение.  Неоклассической производственной функцией называется функция, которая обладает следующими свойствами:

Свойство 1. ПФ определена в неотрицательном ортанте мерного пространства, т.е. при неотрицательных значениях независимых неизвестных ,  и принимает неотрицательные значения ;

    С экономической точки зрения, это свойство означает, что величины ресурсов и значения производственных функций могут принимать только неотрицательные значения.

Свойство 2. (Аксиома полноты) Для нулевой точки расходов соответ-ствует нулевой выпуск продукции

.

С экономической  точки зрения, это свойство можно сформулировать следующим образом: невозможно  произвести что-то из ничего.

      Иногда это свойство используется в усиленном варианте  если хотя бы одна из компонент ,  то значение производственной функции равно нулю

     .

    С экономической точки зрения, равенства показывают, что пространство факторов производства не является избыточным, в него входят только необходимые комплексы ресурсов для выпуска определенного вида продукции, т.е. каждый из ресурсов производственной функции является существенным для выпуска продукции и при отсутствии хотя бы одного из ресурсов выпуск продукции невозможен.

Свойство  3. (Аксиома монотонности) первые частные производные положительны

                                          ;             ;

С экономической  точки зрения свойство 3 означает, что существует подмножество , которое называется экономической областью пространства факторов производства, в котором с ростом затрат одного из ресурсов  при неизменном количестве других ресурсов объем выпуска возрастает.

Свойство  4. (Аксиома выпуклости) Чистые вторые частные производные неположительны

                                    ,             ;

смешанные вторые частные производные  неотрицательны

                                                 .

    Эта аксиома  является отражением фундаментального положения экономической теории называемого законом убывающей эффективности, который можно сформулировать следующим образом: с ростом затрат одного ( го) ресурса при неизменном количестве других ресурсов эффективность использования этого ресурса снижается.

    Неотрицательная вторая  смешанная производная означает, что при росте одного ресурса предельная эффективность другого ресурса возрастает.

Свойство 4 часто усиливается до требования отрицательной определенности матрицы  Гессе

    

.

    С геометрической точки зрения, отрицательность матрицы Гессе означает выпуклость рассматриваемой производственной функции. Это дает возможность применить к теории производства современный аппарат выпуклого анализа.

    Иногда  от неоклассической производственной функции требуется однородность.

      Производственная функция является  однородной функцией степени , если  

                                            при всех   .

    С экономической точки зрения это свойство означает, пропорциональность роста выпуска в соответствии с ростом затрат факторов производства.

    Отметим, что для реальных производственных функций свойства 1-4 не всегда выполняются в полном объеме.

Рис.1

При условии  выполнения сделанных предположений  график двухфакторной производственной функции  имеет вид, представленный на рисунке 1. Изоквантой (линией уровня) функции называется совокупность точек плоскости , для которых функция имеет фиксированное значение              где .

С геометрической точки зрения, для того чтобы найти  изокванту, нужно пересечь поверхность горизонтальной плоскостью , где заданный уровень производства, а затем спроектировать полученную линию пересечения на плоскость .

О                                                                            Рис.2

Полученная  изокванта обозначается символом . С экономической точки зрения изокванта представляет множество комбинаций производственных ресурсов, которые обеспечивают   одинаковый уровень выпуска продукции. Чем дальше расположена изокванта от начала координат, тем большему уровню продукции она соответствует. График изокванты изображен на рисунке 2.

  Совокупность  всех линий уровня производственной функции называется картой линий уровня.

  Проекции  производственной функции на плоскости и образуют кривые, которые называются кривыми «затраты - выпуск». Графики кривых «затраты - выпуск» представлены на рисунках 3 и 4.

О                                                                               Рис.3

О                                                                               Рис.4

 
 

1.5. Основные экономико-математические

характеристики  производственных функций

      Анализ  конкретной ПФ позволяет сделать  выводы о взаимодействии факторов, мере их замещения, определить аналитические  показатели, в число которых входят предельная эффективность факторов, предельная норма замещения ресурсов и т.д.

Средней производительностью (отдачей, эффективностью) го ресурса называется отношение объема произведенного продукта к количеству затраченного ресурса при фиксированных объемах остальных ресурсов.

             .

      Применяется так же символика    

.

Величина  характеризует средний выпуск по тому ресурсу (фактору производства)

      Предельной производительностью (отдачей, эффективностью) -го ресурса называется первая частная производная   ПФ по переменной  

,  .

Обозначается  также

и характеризует  предельный выпуск по тому ресурсу (фактору производства).

      Предельная  производительность го фактора производства показывает (приближенно) на сколько увеличится объем выпуска , если объем затрат го ресурса возрастает на одну единицу при неизменных объемах других ресурсов.  Заметим, что такие характеристики, как предельная и средняя производительность являются размерными величинами.

      Коэффициентом эластичности выпуска (частной эластичностью) по затратам го ресурса называется отношение предельной производительности  го ресурса к его средней производительности

              .

      Коэффициент эластичности характеризует процент  прироста продукции при увеличении затрат го ресурса на 1% при неизменных объемах остальных ресурсах производства

      Сумма коэффициентов  эластичности по всем факторам производства называется суммарной эластичностью  производства

      Потребность в  -м ресурсе как функция величины выпуска и объемов других ресурсов определяется выражением

      Для любой пары ресурсов и можно определить предельную норму замещения -го ресурса -м.

      Предельной  нормой замещения  -го ресурса (фактора производства) -м фактором ( предельной технологической нормой замены) называется отношение предельных производительностей -го и -го ресурсов, взятому со знаком (-) 

                                                    

при постоянном выпуске , где

       номер заменяемого  ресурса;

       номер замещающего  ресурса.

Относительным показателем замещения ресурсов является эластичность замещения

.

1.6. Производственная функция Кобба-Дугласа

      Рассмотрим  двухфакторную ПФ  .

     В качестве ресурсов (факторов производства) на макроуровне наиболее часто рассматриваются накопленный труд в форме производственных фондов (капитал) и настоящий (живой ) труд , а в качестве результата - валовой выпуск,  либо валовой внутренний продукт, либо национальный доход. Во всех случаях результат коротко будем называть выпуском и обозначать .

     Остановимся несколько подробнее на обосновании  состава фактора  . Накопленный прошлый труд проявляется в основных и оборотных, производственных и непроизводственных фондах. Выбор того или иного состава определяется целью исследования, а также характером развития производственной и непроизводственной сфер в изучаемый период. Если в этот период в непроизводственную сферу вкладывается примерно постоянная доля вновь созданной стоимости и непроизводственная сфера оказывает на производство примерно одинаковое влияние, это служит основанием напрямую учитывать в производственную функцию только производственные фонды.

     Но  производственные фонды состоят из основных и оборотных производственных фондов. Если соотношение между этими составными частями производственных фондов примерно постоянное в течение всего изучаемого периода, то достаточно напрямую учитывать в производственной функции только основные производственные фонды.

     Если  изучаемый период достаточно продолжителен  и однороден по влиянию на производство указанных выше составных частей, следует испробовать все варианты включения их в модель (от всех вместе до какого-то одного из них). Чтобы не вдаваться в детали, далее будем называть фондами.