Автор работы: Пользователь скрыл имя, 01 Мая 2013 в 22:44, контрольная работа
Требуется:
Найти параметры уравнения линейной регрессии, дать экономическую интерпретацию коэффициента регрессии.
Вычислить остатки; найти остаточную сумму квадратов; оценить дисперсию остатков ; построить график остатков.
Проверить выполнение предпосылок МНК.
Задача № 1…………………………………………………………………….3
Задача № 2…………………………………………………………………….16
2а………………………………………………………...…………16
2б…………………………………………………………………...18
2в……………………………………………………………………21
Список литературы…………………………………………………………..
ФЕДЕРАЛЬНОЕ АГЕНСТВО ПО ОБРАЗОВАНИЮ
ВСЕРОССИЙСКИЙ ЗАОЧНЫЙ ФИНАНСОВО-
ЭКОНОМИЧЕСКИЙ ИНСТИТУТ
Кировский филиал
КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА
По эконометрике
Вариант № 9
Преподаватель:
Работу выполнила:
Специальность ЭТ
КИРОВ, 2009
Содержание
Задача № 1…………………………………………………………………….3
Задача № 2…………………………………………………………………….16
2а………………………………………………………...…………
2б…………………………………………………………………...
2в……………………………………………………………………21
Список литературы…………………………………
Задача № 1.
По предприятиям легкой промышленности региона получена информация, характеризующая зависимость объема выпуска продукции (у, млн. руб.) от объема капиталовложений (х, млн. руб.)
12 |
4 |
18 |
27 |
26 |
29 |
1 |
13 |
26 |
5 | |
21 |
10 |
26 |
33 |
34 |
37 |
9 |
21 |
32 |
14 |
Требуется:
Привести графики построенных уравнений регрессии.
Решение:
1. Найдём параметры уравнения линейной регрессии.
Линейное уравнение имеет вид: у = а + bx + ,
где возмущение, случайная величина, характеризующая отклонения реального значения результативного признака от теоретического.
Найдём параметры а и b с помощью метода наименьших квадратов:
n=10 исходя из условия.
Составим расчётную таблицу 1.1.:
Подставляем полученные данные в нашу систему:
237 = 10а + 161b a=8,12
4792 = 161а + 3601b b=0,97
- формула для расчёта теоретического значения у.
Экономическая интерпретация коэффициента регрессии:
Данная формула показывает, что при увеличении капиталовложений на 1 млн.руб. объём выпуска продукции увеличится на 970 тыс.руб.
2. Вычислим остатки; найдём остаточную сумму квадратов; оценим дисперсию остатков ; построим график остатков.
После построения уравнения регрессии мы можем разбить значение у в каждом наблюдении на две составляющих - и ;
.
Остаток представляет собой отклонение фактического значения зависимой переменной от значения данной переменной, полученное расчетным путем: ( ).
Для вычисления остатков, остаточной суммы квадратов составим расчётную таблицу 1.2.
Для нахождения дисперсии на одну степень используем формулу:
Остаточная сумма квадратов = 11,35 показывает, какое влияние на результат оказывают прочие факторы, следовательно, прочие факторы оказывают незначительное влияние на результат.
- дисперсия на одну степень свободы.
Построим график остатков (рис. 1.1).
3. Проверим выполнение предпосылок МНК.
Наше уравнение регрессии включает постоянный член, следовательно, первое условие выполняется автоматически.
Это условие так же выполнено.
Т.к. наша случайная составляющая в первом наблюдении, например, равна 1,27, а во втором - -1,99, т.е. то, что она положительна в первом случае не обуславливает то, что она будет такой же в других наблюдениях. Значит, случайные составляющие не зависят друг от друга.
Несмотря на то, что случайные составляющие не зависимы друг от друга и меняются постоянно в разном направлении, но они не порождают большой ошибки.
Таким образом, все предпосылки МНК выполнены.
4. Осуществим проверку значимости параметров уравнения регрессии с помощью t-критерия Стьюдента
Проверка значимости отдельных коэффициентов регрессии связана с определением расчетных значений t-критерия (t–статистики) для соответствующих коэффициентов регрессии:
Среднеквадратические отклонения коэффициентов известны как стандартные ошибки (отклонения):
где - среднее значение независимой переменной х;
стандартная ошибка;
Затем расчетные значения сравниваются с табличными tтабл. Табличное значение критерия определяется при (n-2) степенях свободы (n - число наблюдений) и соответствующем уровне значимости a (0,1; 0,05)
Если расчетное значение t-критерия с (n - 2) степенями свободы превосходит его табличное значение при заданном уровне значимости, коэффициент регрессии считается значимым. В противном случае фактор, соответствующий этому коэффициенту, следует исключить из модели (при этом ее качество не ухудшится).
Значение t-критерия с (10–2=8) степенями свободы и уровнем значимости a (0,05) = 2,31. Расчетные значения для a и b равны 11,4128 и 25,809 соответственно.
Следовательно tрасч. > tтабл. Отсюда следует вывод, что a и b не случайно отличаются от нуля, а статистически значимы.
5. -Вычислим коэффициент детерминации,
-проверим значимость уравнения регрессии с помощью - критерия Фишера ,
-найдём среднюю относительную ошибку аппроксимации.
Сделаем вывод о качестве модели.
Определим линейный коэффициент парной корреляции по следующей формуле:
;
Можно сказать, что связь между объемом капиталовложений х и объемом выпуска продукции у прямая, очень сильная.
Рассчитаем коэффициент детерминации:
R2 = r2yx = 0,988
Вариация результата у (объема выпуска продукции) на 98,8 % объясняется вариацией фактора х (объемом капиталовложений), т.е качество модели высокое.
Оценку значимости уравнения регрессии проведем с помощью F-критерия Фишера:
F>FТАБЛ = 5,32 для a = 0,05 ; к1=m=1, k2=n-m-1=8.
Уравнение регрессии с вероятностью 0,95 статистически значимое, т. к. F>FТАБЛ .
Определим среднюю относительную ошибку аппроксимации:
Среднюю ошибку найдём с помощью таблицы 1.3.
В среднем расчетные значения ŷ для линейной модели отличаются от фактических значений на 4,97% - модель достаточно точно аппроксимирует исходные данные.
ВЫВОД:
Линейная модель статистически значима, высокого качества.
6. Осуществим прогнозирование среднего значения показателя у при уровне значимости , если прогнозное значения фактора х составит 80% от его максимального значения.
Прогнозное значение фактора х = 80% * 29 млн.руб. = 23,2 млн.руб.
В пункте 1. была построена модель зависимости выпуска продукции от размера капиталовложений:
Для того, чтобы определить выпуск продукции при объёме капиталовложений 23,2 млн.руб. необходимо подставить значение хпрогн в полученную модель.
Данный прогноз называется точечным. Вероятность реализации точечного прогноза теоретически равна нулю. Поэтому рассчитывается средняя ошибка прогноза или доверительный интервал прогноза с достаточно большой надежностью.
доверительные интервалы, зависят от стандартной ошибки , удаления от своего среднего значения , количества наблюдений n и уровня значимости прогноза α. В частности, для прогноза будущие значения с вероятностью (1 - α) попадут в интервал
.
Для вычисления используем данные, полученные в п. 2.и в таблицах 1.1 и 1.2.
Коэффициент Стьюдента для m=8 степеней свободы (m=n-2) и уровня значимости 0.1 равен 3,3554. Тогда
Таким образом, прогнозное значение =30,63 будет находиться между верхней границей, равной 30,63+4,28=34,91 и нижней границей, равной 30,63-4,28=26,35.
7. Представим графически: фактические и модельные значения точки прогноза (рис. 1.2.).
8. Составим уравнения нелинейной регрессии:
Приведём графики построенных уравнений регрессии.
Уравнение гиперболической функции : ŷ = a + b / x .
Произведем линеаризацию модели путем замены Z = 1 / х. В результате получим линейное уравнение
ŷ = a + b Z.
Рассчитаем его параметры по данным таблицы 1.4.
Получим следующее уравнение гиперболической модели:
ŷ=28 – 23,72 / х .
Изобразим на графике построенную модель (Рис. 1.3.).
Уравнение степенной модели имеет вид: