Контрольная работа по "Эконометрике"

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого произведем логарифмирование обеих частей уравнения:

lg ŷ = lg a + b lg x.

 

Обозначим Y = lg ŷ, X = lg x, A = lg a. Тогда уравнение примет вид

                                                Y = A + b  X  - линейное уравнение регрессии.

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.5.

                                             Таблица 1.5. Нахождение параметров степенной модели.

 

 

 

Уравнение регрессии будет иметь вид : 

Y=0,854+0,453* X.

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенцирование данного уравнения.

                                        

 

Получим  уравнение  степенной модели регрессии:

 

.

Построим график степенной  модели (рис. 1.4).

                                                                                            Рис. 1.4. График степенной модели.

 

 

• Построение показательной функции

 

Уравнение показательной  кривой:      ŷ = a  b ^x

Для построения этой модели необходимо произвести линеаризацию переменных. Для этого осуществим  логарифмирование обеих частей уравнения:                             

lg ŷ = lg a + x  lg b

Обозначим Y = lg ŷ, B = lg b, A = lg a.

Получим линейное уравнение регрессии:

Y = A + B x  .

Рассчитаем его параметры, используя данные таблицы 1.6.

                                                    Таблица 1.6. Нахождение параметров  показательной модели.

Уравнение будет иметь  вид:                Y=0,9966 + 0,0206

Перейдем к исходным переменным x и y, выполнив потенциирование  данного уравнения:

                           .

Изобразим построенную  модель на графике (рис. 1.5.).

                                                                                  Рис.1.5. График показательной функции.

 

 

9. Для вышеуказанных моделей найдём коэффициенты детерминации и средние относительные ошибки аппроксимации. Сравним модели по этим характеристикам и сделаем вывод. 

• Гиперболическая модель:

Определим индекс корреляции

                     =0,6838.

Связь между показателем y и фактором x можно считать умеренной.

Индекс детерминации:

                          0,4676.

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 46,76 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Средняя относительная  ошибка

                           

В среднем расчетные  значения ŷ для гиперболической  модели отличаются от фактических значений на 37,049 %.

 

• Степенная модель:

Определим индекс корреляции:

                       =0,9632.

Связь между показателем y и фактором x можно считать сильной.

Коэффициент детерминации:

                               0,9277   

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 92,77 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

Средняя относительная  ошибка

                        .

В среднем расчетные  значения ŷ для степенной модели отличаются от фактических значений на 10,09 %.

• Показательная модель:

Определим индекс корреляции

                          =0,9702.

Связь между показателем y и фактором x можно считать сильной.

Индекс детерминации:

                                       0,9413

Вариация результата Y (объема выпуска продукции) на 94,13 % объясняется вариацией фактора Х (объемом капиталовложений).

 

Средняя относительная  ошибка:

                                     

В среднем расчетные  значения ŷ для показательной  функции отличаются от фактических  на 10,62 %.

 

Для выбора лучшей модели построим сводную таблицу результатов.

Таблица 1.7.

Параметры   Модель	Коэффициент детерминации R2	Индекс корреляции ryx (ryx)	Средняя относительная  ошибка Еотн
1.Линейная	0,9881	0,9940	4,97
2.Степенная	0,9277	0,9632	10,09
3.Показательная	0,9413	0,9702	10,60
4.Гиперболическая	0,4676	0,6838	37,05

 

Как мы видим, линейная модель является лучшей по всем параметрам.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Задача № 2.

Задача 2а и 2б. Для каждого варианта даны по две СФМ, которые заданы в виде матриц коэффициентов модели. Необходимо записать системы одновременных уравнений и проверить обе системы на идентифицируемость.

РЕШЕНИЕ. Задача 2а. По данным таблицы  запишем структурную форму модели (СФМ): y1 = b12y2 + a11x1 + a12x2 + a13x3 y2 = b23y3 + a21x1 + a23x3 + a24x4 y3 = b32y2 + a31x1 + a32x2 + a33x3   Эндогенные переменные СФМ - y1,  y2,  y3. Экзогенные переменные CФМ – х1, х2, х3, х4.   Исследуем систему на идентифицируемость. Для того, чтобы СФМ была идентифицируема, необходимо чтобы  каждое  уравнение  системы было идентифицируемо. Если хотя бы одно уравнение СФМ неидентифицируемо, то вся модель считается неидентифицируемой. Если обозначить число  эндогенных переменных  в i-том уравнении СФМ через Н, а число предопределенных переменных, которые содержатся в системе, но не входят в данное уравнение через D, то условие идентифицируемости модели может быть записано в виде следующего счетного правила: если        D+1 < H          уравнение неидентифицируемо; если       D+1 = H          уравнение идентифицируемо; если        D+1 > H          уравнение сверхидентифицируемо; В сверхидентифицируемой  модели хотя бы одно уравнение сверхидентифицируемо, а остальные уравнения идентифицируемы. Это необходимое условие. Так же должно выполняться достаточное условие: Отметим в системе  эндогенные и экзогенные переменные, отсутствующие в рассматриваемом  уравнении, но присутствующие в системе. Из коэффициентов при этих переменных в других уравнениях составим матрицу. При этом если переменная стоит в левой части уравнения, то коэффициент надо брать с обратным знаком. Если  определитель полученной матрицы не равен нулю, а ранг не меньше, чем количество эндогенных переменных в системе без одного, то достаточное условие индетификации для данного уравнения выполнено.   Проверим каждое уравнение нашей системы на выполнение неоходимого и достаточного условия идентификации.   В первом уравнении - y1 = b12y2 + a11x1 + a12x2 + a13x3 - две эндогенных переменных: y1 ,y2 (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная x4 (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено. Для проверки на достаточное  условие составим матрицу из коэффициентов  при переменных у3 и x4 (таблица 2.1). В первом столбце таблицы показано, что коэффициенты при экзогенных переменных у3 и x4 взяты из уравнений 2 и 3 системы. Во втором уравнении эти переменные присутствуют и коэффициенты при них равны b23 и a23 соответственно. В третьем уравнении  присутствует только переменная у3.   Таблица 2.1 Матрица, составленная из коэффициентов при переменных у3 и x4. Уравнения, из которых  взяты коэффициенты при переменных

Переменные

	у3	x4
2	b23	a24
3	-1	0

 

Определитель матрицы = 0 + a_23.

Следовательно, определитель не равен 0.

Ранг матрицы = 2, значит это условие так же выполняется.

Вывод: первое уравнение идентифицируемо.

 

• Во втором уравнении - y2 = b23y3 + a21x1 + a23x3 + a24x4 -

две эндогенные переменные: y₂ и y₃ (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная x₂ (D=1). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных y₁ и x₂ , которые отсутствуют во втором уравнении (таблица 2.2).

 Таблица 2.2 Матрица, составленная из коэффициентов при переменных y₁ и x₂.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	у1	х2
1	-1	a12
3	0	a32

Определитель представленной в таблице 2.2 матрицы не равен нулю, а ранг матрицы равен 2. 

Значит, достаточное условие  выполнено.

Вывод: второе уравнение так же идентифицируемо.

 

• В третьем уравнении - y3 = b32y2 + a31x1 + a32x2 + a33x3 -

две эндогенные переменные: y₂ и y₃ (H=2). В нем отсутствует экзогенная переменная x₄ (D=1).  Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное  условие составим матрицу из коэффициентов  при переменных у₁ и x₄ , которые отсутствуют в третьем уравнении (таблица 2.3).

 

Таблица 2.3 Матрица, составленная из коэффициентов при  переменных у₁ и x₄.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	у1	x4
1	-1	0
2	0	a24

 

Согласно таблице определитель матрицы = - a₂₄ (не равен нулю).

Ранг матрицы = 2.

Значит, достаточное условие выполнено.

Вывод: третье уравнение CФМ идентифицируемо.

 

Следовательно, данная структурная форма модели идентифицируема.

 

 

 

Задача 2б.

По данным таблицы  запишем структурную форму модели (СФМ):

y1 = b12y2 + b13y3 + a11x1 + a12x2

y2 = b23y3 + b21y1 + a23x3 + a24x4

y3 = b32y2 + b31y1 + a33x3 + a34x4

 

Эндогенные переменные СФМ - y1,  y2,  y3.

Экзогенные переменные CФМ – х1, х2, х3, х4.

 

Исследуем систему на идентифицируемость.

 

• В первом уравнении - y1 = b12y2 + b13y3 + a11x1 + a12x2 -

три эндогенных переменных: y₁ ,y_2, y3 (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х3 и x₄ (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие составим матрицу из коэффициентов при переменных х₃ и x₄ (таблица 2.4).

Таблица 2.4. Матрица, составленная из коэффициентов при переменных х₃ и x₄.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	х3	x4
2	а23	a24
3	а33	а34

 

Определитель матрицы не равен 0.

Ранг матрицы = 2, значит это условие так же выполняется.

Вывод: первое уравнение  идентифицируемо.

 

• Во втором уравнении - y2 = b23y3 + b21y1 + a23x3 + a24x4 -

три эндогенные переменные: y1, y₂ и y₃ (H=3). В нем отсутствуют экзогенные переменные х1 и x₂ (D=2). Необходимое условие идентификации D+1=H выполнено.

Для проверки на достаточное условие  составим матрицу из коэффициентов  при переменных х₁ и x₂ , которые отсутствуют во втором уравнении (таблица 2.5).

 Таблица 2.5. Матрица, составленная из коэффициентов при переменных х₁ и x₂.

Уравнения, из которых взяты коэффициенты при переменных	Переменные
	х1	х2
1	а11	a12
3	0	0