Структура материально-производственной системы предприятия

 

Процедура построения аналитической  модели является итерационной и включает в себя следующие этапы: создание концептуальной модели; выделение и анализ элементарных процессов, протекающих в объекте и их математическое описание; формулировка системы упрощающих допущений; составление системы уравнений материального и энергетического балансов; качественный анализ полученной системы; проведение параметрической идентификации; определение адекватности модели. Если модель не адекватна объекту, то процедуру построения повторяют начиная с этапа создания концептуальной модели или с этапа параметрической идентификации модели.

Физико-химические процессы (технологические операции), протекающие  в объектах химической технологии, обуславливают возникновение потоков  вещества, энергии и импульса (субстанции) в объеме аппарата. Вследствие этого происходит изменение удельного количества субстанции в рассматриваемом объеме, т.е. изменение концентрации компонентов, температуры, уровня давления сред. Количественно эти изменения описываются с помощью законов сохранения вещества, энергии и импульса, выражением которых являются уравнения материального и энергетического (теплового) балансов для рассматриваемого объема аппарата. В целом в ХТП можно выделить четыре группы потоков субстанций.

 

Конвективный  поток

 

В объектах химической технологии происходит перемещение сред под действием силы тяжести, центробежных сил, вращающейся мешалки, под действием насосов и компрессоров. Вместе с движущейся средой происходит перенос субстанции. Этот способ переноса субстанции называется конвективным. Конвективный поток субстанции определяется произведением объемного расхода на объемную плотность субстанции:

• - конвективный поток j-го компонента, кмоль/с;
• - конвективный поток энергии, кдж/с.

При отсутствии  в среде  фазовых превращений и постоянной удельной теплоемкости: , кдж/с.

• - поток количества движения, Н.

В приведенных выражениях обозначено: - объемный расход, м³/с; - концентрация компонента, кмоль/м³; Н – энтальпия среды, кдж/кг; m – массовый поток среды, кг/с; - удельная теплоемкость, кдж/кг×К; - плотность среды, кг/м³; - линейная скорость, м/с.

 

Диффузионный  поток

 

Если плотность субстанции в пространстве неравномерна, то возникает диффузионный поток, приводящий к выравниванию субстанции по объему. Величина диффузионного потока пропорциональна градиенту плотности субстанции и направлен поток в сторону уменьшения плотности субстанции.

- диффузионный поток компонента, кмоль/с  
( - коэффициент диффузии, м²/с; - площадь сечения, перпердикулярного к направлению потока, м²).

- диффузионный поток энергии, кдж/с ( - коэффициент температуропроводности, м²/с). Диффузионный поток энергии обуславливает теплопроводность среды. Если объемная энтальпия , то поток энергии, обусловленный теплопроводностью, пропорциональны градиенту температуры: ( - коэффициент теплопроводности, кдж/м² ×с×к).

Диффузионный поток  количества движения, возникающий за счет внутреннего трения в движущейся среде, пропорционален градиенту скорости.

В химико-технологических  объектах возникают диффузионные потоки вещества, обусловленные градиентом температуры (термодиффузия) и давления (бародиффузии), а также потоки энергии, обусловленные градиентом концентрации и давления.

 

Поверхностные потоки

 

Среда, находящаяся в  аппарате, всегда ограничена некоторой  поверхностью, через которую может осуществляться передача субстанции. Во всех случаях поверхностный поток субстанции определяется произведением скорости ее передачи на поверхность.

 – поток  -го компонента через поверхность, разделяющую две взаимодействующие среды – массообменный поток, кмоль/с ( – удельная скорость массообмена, кмоль/м² × с; - поверхность фазового контакта, м²).

 – поток энергии через  ограничивающую поверхность –  теплообменный поток, кдж/с ( – скорость теплообмена, кдж/м² ×с,  – поверхность теплообмена, м²).

 

Объемные  потоки

 

Физико-химические явления и процессы, протекающие в объеме среды, порождают объемные потоки. В химико-технологических процессах они, как правило, связаны с химическими реакциями. Величина объемного потока определяется произведением скорости процесса на объем.

- поток  -го компонента, обусловленный химическим превращением с его участием, кмоль/с ( - скорость изменения концентрации компонента, кмоль/м³ × с; - объем, м³).

Если в объекте реализуется гетерогенная химическая реакция, идущая на поверхности контакта фаз , то соответствующий ей поток , формально должен быть отнесен к группе поверхностных потоков.

- поток энергии, обусловленный протеканием в объеме - химических реакций, кдж/с ( - скорость -той реакции, кмоль/м³ × с; - тепловой эффект -той химической реакции, кдж/кмоль).

Объемный поток энергии  возникает также вследствие внутреннего  трения в движущейся среде. Он определяет переход механической энергии вследствие трения в тепловую.

Типовые допущения

 

Теоретически  возможно математическое описание всех процессов, протекающих в объекте. Так, в любом технологическом объекте, в котором имеется движение среды, присутствует потоки субстанции всех четырех типов - конвективные, диффузионные, поверхностные и объемные. Если попытаться все эти процессы включить в модель, то получится система уравнений, которая обычно бывает настолько сложной и содержит такое большое число переменных и параметров, подлежащих идентификации, что ее практическое использование становится затруднительным. Кроме того, в данном случае возникает противоречие, суть которого сводится к следующему. Стремление с одной стороны учесть возможно большое количество явлений, происходящих в объекте,  позволяет получить достаточно универсальную модель, претендующую на высокую точность. С другой стороны, для математического описания явлений, включенных в модель, потребуется использовать параметры, численное  значение которых определяется идентификацией по экспериментальным данным, которые всегда получаются с некоторой ошибкой. Следовательно, сложная, претендующая на высокую степень точности модель, будет содержать   неточные значения параметров. Это обстоятельство делает бессмысленным процесс уточнения модели путем включения в ее состав всех возможных явлений, имеющих место в объекте.

Практика  показывает, что часто вполне приемлемую по точности аналитическую модель можно получить, если исключить из рассмотрения малозначимые явления и процессы, сформулировав систему упроченных допущений, облегчающих как процедуру построения модели, так и работу с ней. Принимаемые обычно допущения можно объединить в несколько групп.

1. Ранжирование процессов, протекающих в объект, по значимости, т.е. по степени их влияния на выходные переменные. На основании ранжирования из модели исключаются незначимые процессы. Так, довольно часто при построении аналитических моделей технологических объектов непрерывного действия принимается допущение об абсолютации конвективного или диффузионного потоков.  В частности, если в объекте имеет место перемешивание среды, то обычно принимается допущение с бесконечно высокой интенсивности диффузионного потока. В объектах трубчатого типа, где перемешивание вдоль оси обычно затруднено, диффузионным потоком пренебрегают. Весьма часто  пренебрегают изменением количества движения среды. Эго дает основание считать, что давление в аппарате не зависит от пространственных координат. Такое допущение можно сделать, если линейная скорость движения среды невелика. По этой же причине обычно пренебрегают внутренним трением в низковязких средах.

2.  Допущение о стационарности объекта.

В группе поверхностных  и объемных потоков фигурируют скорости кинетических процессов ( ) – тепломассообмена и химических реакций. Скорости этих процессов содержат параметры, значения которых могут изменяться от времени и условий эксплуатации объекта. Так, вследствие отложения осадков и накипи на теплообменных поверхностях происходит увеличение термического сопротивления стенки и, как следствие этого, уменьшение коэффициента теплопередачи. Наличие в растворах примесей может оказывать катализирующее или ингибирующее влияние, что в конечном счете оказывается на значении константы скорости химической реакции. Изменение кинетических параметров во времени является причиной нестационарности объектов. Вместе с тем скорость изменения параметров обычно бывает невысокой, что дает основание считать их постоянными и рассматривать объект как стационарный на ограниченном отрывке времени.

3. Допущение о постоянстве теплофизических свойств веществ. В состав аналитической модели входят теплофизические свойства веществ. Известно, что такие теплофизические свойства, как теплоемкость, плотность, вязкость и другие зависят от температуры. Часто формулируется допущение о постоянстве этиx свойств в объеме объекта. Основанием для принятия такого допущения может быть узкий диапазон изменения температуры в объекте.

В большей  части в объекте среда представляет собой смесь индивидуальных компонентов. Для определения    физических свойств смесей и растворов используют всевозможные эмпирические соотношения, многие ив которых построены на применении правила аддитивности. В этой связи формулируется допущение о применимости той или иной зависимости для определения свойств многокомпонентных систем. Из независимости теплофизических свойств индивидуальных веществ от температуры, как правило, следует независимость этих свойств от температуры и для cмeсей.

4. Допущение о постоянстве параметров модели. Выражения, определяющие скорости кинетических процессов, содержат коэффициенты тепло- и массопередачи, энергию активации химических реакций. Коэффициенты тепло- и массопередачи зависят от гидродинамической обстановки  в объекте. Как правило, эти коэффициенты принимаются постоянными, что можно допустить только в том случае, если изменением гидродинамической обстановки в объеме объекта можно пренебречь.

Для констант скоростей химических реакций традиционно принимается их зависимость от температуры в соответствии с уравнением Аррениуса. При этом принято, что энергия активации и предэкспоненциальный  множитель являются константами.

Выбор принимаемых  допущений не должен бить произвольным. Необходимо стремиться к тому, чтобы каждое допущение било физически обосновано. Если физических оснований для принятия конкретного допущения нет, то рассматриваемое явление следует описать математически  и включить в состав модели. При этом сложность математической модели возрастает с уменьшением числа принимаемых допущений. В соответствии с этим увеличиваются и трудности работы с ней. С другой стороны, чем больше будет принято допущении, тем менее точной будет и построенная на их основе модель.

Обычно система  допущений формулируется до составления уравнений модели. Иногда допущения добавляются после работы с математической моделью, когда выявляются ее неочевидные особенности.

 
Составление уравнений аналитической  модели

 

Под действием процессов, протекающих в объекте, происходит изменение объемной плотности субстанции во времени и пространстве. Эти изменения описываются с помощью законов сохранения, символически представляемых следующим образом:

В правой части этого уравнения стоит производная по времени от количества субстанции в рассматриваемом объеме. Так как она представляет собой разность приходного и расходного потоков, то ее можно назвать скоростью накопления субстанции. Скорость накопления субстанции не равна нулю всегда в динамических условиях.

Если рассматривается  статическое состояние объекта, то правая часть уравнения закона сохранения субстанции всегда обращается в нуль. Уравнение статики объекта при этом принимает вид

Следует отметить, что форма аналитической модели зависит не только от того, какие процессы протекают в объекте (что описывается соответствующими потоками субстанции – приходными и расходными), но и от того, является ли элемент объема, для которого составляется уравнение закона сохранения, конечным или бесконечно малым.

Если удельное количество (плотность) субстанции некоторым  образом распределено по объему, то уравнение закона сохранения составляется для бесконечно малого объема и представляет дифференциальное уравнение в частных производных как модели динамики, так и для модели статики.

Объекты, описываемые  моделями в виде дифференциальных уравнений  в частных производных, называются объектами с распределенными  координатами. В частном случае, когда в объекте рассматривается движение только вдоль одной пространственной координаты, модель статики объекта описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений.