Структура материально-производственной системы предприятия

Если в  объекте плотность субстанции по каким-либо причинам равномерно распределена по объему, то уравнение сохранения составляется для элемента объема конечных размеров. В этом случае модель динамики описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, а модель статики – системой конечных уравнений. Объекты, динамика которых описывается системой обыкновенных дифференциальных уравнений, называются объектами с сосредоточенными координатами.

При записи уравнений  материального и энергетического  баланса необходимо строго следить за тем, является ли рассматриваемый поток субстанции приходным или расходным.

Система уравнений  модели дополняется краевыми условиями, обеспечивающими получение ее единственного решения. Выбор вида краевых условий (начальных и граничных) определяется условиями эксплуатации объекта, процессами, происходящими на его границах, и целями построения математической модели. Обычно при построении модели динамики в качестве начального условия принимается условие, соответствующее статическому режиму работы объекта. Если модель динамики записывается в отклонениях (от статического режима), то принимаются нулевые начальные условия.

Анализ уравнений модели

 

В процессе построения аналитической модели необходимо строго следить за выполнением следующих важных требований, которым должна удовлетворять ее система уравнений.

1. Совместимость  уравнений. Система уравнений будет совместной, если в ней отсутствуют взаимно противоречащие уравнения и условия, исключающие возможность ее решения. Условие нарушения совместности возникает тогда, когда уравнения законов сохранения составляются с нарушением физических принципов.

2. Линейная  независимость уравнений. Уравнения  модели считаются линейно независимыми, если никакое из уравнений не может быть получено линейной комбинацией других, входящих в систему.

3. Замкнутость  системы. Число неизвестных в  системе  должно быть равно числу ее уравнений . Это значит, что число степеней свободы должно быть равно нулю для системы, удовлетворяющей условиям совместности и независимости. Если (нарушено условие совместности), то в системе имеются «лишние» уравнения, которые подлежат исключению из модели. Если , то система считается незамкнутой. Она имеет бесчисленное множество решений. Для замыкания системы необходимо добавить недостающие уравнения либо исключить, если это возможно, лишние переменные. Система дифференциальных уравнений считается неопределенной / /, если не задано по крайней мере одно краевое условие. Все связи и ограничения, накладываемые на математическую модель, должны обязательно включаться в ее состав.

 

Идентификация аналитической модели

 

Процедура построения математической модели содержит параметрическую идентификацию, т.е. определение ее параметров. Для аналитических моделей возможно два способа идентификации. В первом способе определение параметров модели производится по экспериментальным данным, полученным на объекте. При этом формируется критерий близости модели и объекта, на котором были получены эти данные. Меру близости устанавливают по значениям выходных переменных модели и объекта , полученных при одних и тех же значениях входных переменных. Вид критерия экспериментатор выбирает по своему усмотрению. Чаще всего используется квадратичный критерий. Процедура идентификации сводится к поиску минимума функции :

,

где - общее число экспериментов.

Определение параметров аналитической модели обычно сводится к непосредственному отысканию минимума функции . При этом существенное значение приобретает выбор метода поиска минимума. Так как определение одного значения переменной модели для заданного набора параметров требует обычно решения системы дифференциальных уравнений. Поэтому выбираются такие методы поиска минимума, которые требуют наименьшего числа обращений и вычислению функции .

Если в  процессе эксперимента удается измерить не одну, а несколько (например ) выходных переменных объекта, то критерий близости может включать все эти переменные. Поскольку выходные переменные имеют различные размерности, то они включаются в состав критерия в нормализованном виде:

где - весовые коэффициенты, подбираемые экспериментально.

Величины  устанавливают степень влияния -й выходной переменной на величину и фактически определяют ее значимость в процедуре идентификации.

Обычно . Значения принимают близкими к нулю, если -я переменная измеряется с большой ошибкой или ее изменение в эксперименте незначительно. В противоположных случаях  принимаются близкими к единице.

Вторым способом идентификации аналитических моделей  является проведение специальных экспериментов по определению их параметров, главным образом, коэффициентов тепло- и массообмена, энергии активации химических реакций и т.д. Эти эксперименты (если они возможны) проводятся в специальных лабораторных установках и в конечном счете сводятся к обработке экспериментальных данных по первому способу с учетом модели, описывающей исследуемый процесс.

Следует отметить, что большое число параметров, входящих в состав аналитической  модели, такие, как коэффициенты, характеризующие  теплофизические свойства индивидуальных веществ, обычно не идентифицируются, а берутся из справочников. Теплофизические свойства смесей индивидуальных веществ рассчитываются по различным формулам и соотношениям, широко представленным в различной справочной литературе.

В справочной литературе приводится обширный материал, позволяющий, используя обобщения экспериментальных данных, рассчитывать численные значения кинетических параметров химико-технологических процессов – коэффициентов тепло- и массообмена, констант скорости химических реакций. Однако точность параметров, получаемых таким способом, невелика и в лучшем случае их можно рассматривать как начальные приближения для параметрической идентификации моделей по экспериментальным данным.

 

Оценивание адекватности модели

 

Оценить адекватность модели, это значит ответить на вопрос, соответствует ли она объекту или нет, иными словами, можно ли с помощью построенной модели предсказывать поведение объекта, т.е. определять значения выходных переменных по заданным значениям входных переменных.

Для оценивания адекватности аналитических моделей по критерию Фишера, можно использовать методику [I], базирующуюся на вычислении оценок дисперсии аппроксимации и воспроизводимости, используемых для расчета наблюдаемого значения критерия Фишера.

Оценку дисперсии  аппроксимации вычисляют по формуле

,

где - число параметров модели; - число экспериментов.

Для определения  оценки дисперсии воспроизводимости  необходимы данные специальных параллельных опытов.

,

где - число параллельных опытов;

- среднее значение выходной  переменной в параллельных опытах.

По оценкам  дисперсий вычисляют наблюдаемое  значение критерия Фишера, которое  сравнивается с критическим для уровня значимости и степеней свободы , для дисперсий и .

.

Если это  неравенство выполняется, то с вероятностью принимается гипотеза о равенстве значений дисперсий и , свидетельствующем об адекватности построенной модели. В противном случае или проводится новый эксперимент (вывод о неадекватности может оказаться ложным), или производится корректирование модели.

В реальных условиях не всегда удается получить данные параллельных опытов. В этих случаях  оценивание адекватности можно произвести следующим образом. Исходные экспериментальные данные, содержащие экспериментов, разбиваются на две выборки примерно равного объема: . По экспериментальным данным, содержащим экспериментов, определяют параметры модели и оценку дисперсии аппроксимации , которая имеет степеней свободы. Найденные оценки дисперсий используют для вычисления наблюдаемого значения критерия Фишера, которое сравнивается с критическим, взятым из таблиц для уровня значимости и чисел степеней свободы и . Выводы об адекватности по - критерию делаются так же, как и в первом способе.