Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Задание №1

На фабрике с помощью 5 видов  красителей (А₁¸А₅) создается 4 разновидности рисунков для тканей (Р₁¸Р₄). При известной отпускной стоимости 1м ткани каждого рисунка (руб.), известном расходе каждого красителя на окраску 1м ткани (г) и известном запасе каждого красителя (кг):

1. определить план выпуска ткани каждого рисунка, обеспечивающий максимальный доход от реализации тканей;

2. составить двойственную задачу и найти ее решение;

3. определить теневые цены на каждый краситель; указать дефицитные и недефицитные красители;

4. указать, на сколько недоиспользуются недефицитные красители;

5. показать доход, план выпуска тканей каждого рисунка и недоиспользование недефицитных красителей при увеличении запасов дефицитных красителей на 1 ед.;

6. показать допустимые пределы изменения запасов красителей;

7. показать допустимые пределы изменения цен на выпускаемые виды тканей;

8. оценить целесообразность введения в план производства выпуск ткани с разновидностью рисунка (Р₅), если нормы затрат красителей на 1 ед. ткани соответственно равны 6,2,1,4,4 г и доход, ожидаемый от реализации новой ткани, равен 5000 руб.;

9. показать, допустимо ли увеличение всех дефицитных красителей одновременно на 10 кг.

 

1.определим план выпуска ткани  каждого рисунка, обеспечивающий  максимальный доход от реализации тканей

Номер варианта	Вид красителей	Разновидность рисунка. Расход красителей на окраску 1м  ткани (г)				Запасы красителей (г)
		Р1	Р2	Р3	Р4
1	А1	3	1	2	10	25000
	А2	4	3	8	6	120000
	А3	2	3	7	9	155000
	А4	8	5	12	11	250000
	А5	2	3	4	1	100000
	Стоимость одного метра ткани (руб.)	49	33	76	109

 

Обозначим:

X₁ – план выпуска ткани рисунка вида Р₁;

X₂ – план выпуска ткани рисунка вида Р₂;

X₃ – план выпуска ткани рисунка вида Р₃;

X₄ – план выпуска ткани рисунка вида Р₄;

 

Решим прямую задачу линейного программирования симплексным методом, с использованием симплексной таблицы.

Определим максимальное значение целевой  функции F(X) при следующих условиях-ограничений:

 

 

 

Для построения первого опорного плана  систему неравенств приведем к системе уравнений путем введения дополнительных переменных (переход к канонической форме)

 

 

Полагая, что свободные переменные равны 0, получим первый опорный план:

 

№	Базис	Сб	Опорное решение	С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7	С8	С9	Q
				49	33	76	109	0	0	0	0	0
				А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8	А9
1	А5	0	25000	3	2	1	10	1	6	0	0	0	2500
2	А6	0	120000	4	3	8	6	0	1	0	0	0	20000
3	А7	0	155000	2	3	7	9	0	0	1	0	0	17222,2
4	А8	0	250000	8	5	12	11	0	0	0	1	0	22727,272
5	А9	0	100000	2	3	4	1	0	0	0	0	1	100000
	Dj	F=0		-49	-33	-76	-109	0	0	0	0	0

 

 

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

В качестве ведущего выберем столбец, соответствующий переменной x4, так  как это наибольший коэффициент по модулю.

Вычислим значения Q по строкам как частное от деления: bi / ai4 и из них выберем наименьшее.

Следовательно, 1-ая строка является ведущей.

Разрешающий элемент равен (10) и  находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

№	Базис	Сб	В *103	С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7	С8	С9	Q (10-3)
				49	33	76	109	0	0	0	0	0
				А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8	А9
1	А4	109	2,5	3/10	1/10	1/5	1	1/10	0	0	0	0	12,5
2	А6	0	105	11/5	12/5	34/5	0	-3/5	1	0	0	0	525/34
3	А7	0	132,5	-7/10	21/10	26/5	0	-9/10	0	1	0	0	1325/52
4	А8	0	222,5	47/10	39/10	49/5	0	-11/10	0	0	1	0	2225/98
5	А9	0	97,5	17/10	29/10	19/5	0	-1/10	0	0	0	1	975/38
	Dj	F=272500		-163/10	-221/10	-271/5	0	109/10	0	0	0	0

 

Текущий опорный план неоптимален, так как в индексной строке находятся отрицательные коэффициенты.

Разрешающий элемент равен (1/5) и  находится на пересечении ведущего столбца и ведущей строки.

 

Получаем новую симплекс-таблицу:

№	Базис	Сб	Опорное решение    *103	С1	С2	С3	С4	С5	С6	С7	С8	С9
				49	33	76	109	0	0	0	0	0
				А1	А2	А3	А4	А5	А6	А7	А8	А9
1	А3	76	12,5	1,5	0,5	1	5	0,5	0	0	0	0
2	А6	0	20	-8	-1	0	-34	-4	1	0	0	0
3	А7	0	67,5	-8,5	-0,5	0	-26	-3,5	0	1	0	0
4	А8	0	100	-10	-1	0	-49	-6	0	0	1	0
5	А9	0	50	-4	1	0	-19	-2	0	0	0	1
	Dj		F=950	65	5	0	271	38	0	0	0	0

 

Отрицательных оценок в оценочной  строке нет; решение оптимально. Оптимальный  опорный план 

F_max =76*12500 = 950000

 

Для получения максимальной прибыли 950000 руб. необходимо выпустить тканей рисунка вида Р₃  12500 м.

Ткани рисунков видов Р₁, Р₂ и Р₄ являются убыточными; их производство нерентабельно.

 

2. Составление  и решение двойственной задачи

Обозначим

y₁ – теневая цена красителя А₁;

y₂ – теневая цена красителя А₂;

y₃ – теневая цена красителя А₃;

y₄ – теневая цена красителя А₄;

y₅ – теневая цена красителя А₅;

 

Составляем двойственную задачу:

 

 

Т.к. в прямой задаче все неравенства  в системе сильных ограничений  вида «£», найдем решение двойственной задачи по результатам прямой задачи.

Согласно заключительной симплекс-таблицы  прямой задачи, получаем опорный оптимальный  план двойственной задачи.

F^*_min=25000*38=950000 руб.

 

3. Определение теневых цен на  красители.

Для рассматриваемого случая теневые  цены на ресурсы определяются по заключительной симплекс-таблице прямой задачи

 

y₁=38   y₂=0   y₃=0   y₄=0   y₅=0

 

Дефицитными являются ресурсы, у которых  теневые цены положительны, при чем  более дефицитные ресурсы те, у  которых теневые цены больше.

Дефицитным является краситель А₁.

 

Недефицитными являются ресурсы, у  которых теневые цены равны нулю.

Недефицитными являются красители А₂, А₃, А₄, А₅.

 

4. Значение компонента, соответствующего недефицитному ресурсу в оптимальном опорном решении прямой задачи, показывает, насколько соответствующий ресурс недоиспользуется при реализации плана производства.

Недефицитные красители  недоиспользуются

краситель А₂ на 20 кг;

краситель А₃ на 67,5 кг;

краситель А₄ на 100кг;

краситель А₅ на 50 кг;

 

5. При увеличении запасов красителя  А₁ на 1 ед. (26 кг) можно получить увеличение прибыли на 38 руб., что составит F=950038 руб. При этом план выпуска ткани рисунка Р₃ надо увеличить на 0,5м, т.е. выпустить ткани x₃=12500,5. В этом случае недефицитные красители будут недоиспользоваться:

Краситель А₂ – 4; его недоиспользование составит 20 004 г;

Краситель А₃ – 3,5; его недоиспользование составит 67503,5 г;

Краситель А₄ – 6; его недоиспользование составит 100 006 г;

Краситель А₅ – 2; его недоиспользование составит 50 002 г;

 

6. Допустимые пределы изменения  запасов красителей.

Допустимые пределы изменений  запасов красителей

Составим матрицу Р и вектор-столбец