Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

ГОУ ВПО «Дальневосточный государственный университет путей  сообщения»

Институт интегрированных  форм обучения

 

 

Кафедра «Экономика»

 

 

КОНТРОЛЬНАЯ РАБОТА

по дисциплине:

МАТЕМАТИЧЕСКИЕ  МЕТОДЫ И МОДЕЛИРОВАНИЕ В ЭКОНОМИКЕ

 

 

 

 

Выполнил:

 

 

Проверил:

 

 

 

 

 

 

 

 

2012г

Содержание:

 

 

Введение.

 

Сложный характер рыночной экономики и современный уровень  предъявляемых к ней требований стимулируют использование более  серьезных методов анализа ее теоретических и практических проблем. В настоящее время значительный вес в экономических исследованиях приобрели математические методы. Математическое моделирование становится одним из основных методов изучения экономических процессов и объектов. Математический анализ экономических задач органично превращается в часть экономики.

Основными инструментами  решения задач экономико-математического  моделирования являются высшая математика и ее прикладные разделы: линейная алгебра, теория вероятностей, математическая статистика, математическое программирование (линейное, нелинейное, динамическое), теория графов и теория игр.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Задачи линейного программирования

Задача №1

Исходные данные

Задача формулируется  для вагоноремонтных депо, которые  в состоянии ремонтировать пять типов вагонов: полувагоны, крытые, платформы, вагоны-хопперы и цистерны. Предположим, что в производственном процессе используется пять видов ресурсов: рабочая сила, материалы, фонд времени ремонтных позиций, специальные запасные части и электроэнергия. Нормы расхода ресурсов на ремонт одного вагона представлены в табл. 1

Таблица 1.

Исходные данные

Ресурсы	Нормы расхода ресурсов на один вагон
	Полувагон	Крытый	Платформа	Хопер- дозатор	Цистерна
Раб.сила, Чел.-ч	180	205	160	336	170
Материалы, тыс.руб.	28	27	26	54	27
Фонд времени, ч	17	18	16	30	17
Специальные запчасти, тыс.руб.	0	0	0	15	10
Электроэнергия, тыс. кВт-ч	1,5	1,4	0,9	1,6	1,2

 

Данные о размерах прибыли на 1 отремонтированный вагон  и объемах ресурсов на предприятии  приведены в табл. 2, 3

 

 

 

 

 

Таблица 2.

Размер прибыли на один отремонтированный вагон

(вариант №3: 12/5=2(2), 2+1=3)

Прибыль на один вагон, тыс.руб.
Полувагон	Крытый	Платформа	Хопер- дозатор	Цистерна
7,7	7,9	6,4	15,4	7,6

 

Таблица 3.

Объемы ресурсов на предприятии

(вариант №3: 12/10=1(2), 2+1=3)

Рабочая сила	Материалы	Фонд времени	Специальные запчасти	Электроэнергия
680 000	120 000	90 000	7 000	6 500

Решение.

Требуется найти такой  план ремонта вагонов, при котором  будет максимальной общая прибыль  предприятия.

Решение данной задачи осуществляется на основе следующей эконмико-математической модели.

Найти совокупность переменных х_j, максимизирующих целевую функцию F:

F(Х)=с₁х₁+с₂х₂+…+c_jx_j+…+c_nx_n→max

Обозначим через х₁, х₂, х₃, х₄, х₅ количество вагонов каждого типа. Сформулируем экономико-математическую модель задачи:

F=7,7х₁+7,9х₂+6,4х₃+15,4х₄+7,6х₅ →max;

180х₁+205х₂+160х₃+336х₄+170х₅ ≤ 680 000;

28х₁+27х₂+26х₃+54х₄+27х₅ ≤ 120 000;

17х₁+18х₂+16х₃+30х₄+17х₅ ≤ 90 000;

15х₄+10х₅ ≤ 7 000;

1,5х₁+1,4х₂+0,9х₃+1,6х₄+1,2х₅ ≤ 6500;

х₁≥0; х₂≥0; х₃≥0; х₄≥0; х₅≥0.

Решение задачи линейного программирование производим в среде MS Excel с помощью надстройки «Поиск решения».

1. Подготовим форму  для ввода условий задачи (рис. 1)

 

Рис.1. Форма  для ввода условий задачи

 

2. В задаче оптимальные  значения вектора Х = (х₁, х₂, х₃, х₄, х₅) будут помещены в ячейках В3;F3, оптимальное значение целевой функции – в ячейке G4.

3. Введем исходные  данные в созданную форму (Рис.2)

Рис.2. Веденные данные

 

4. Введем зависимость  для целевой функции. (Рис.3)

Рис.3. Введенная зависимость для ЦФ.

 

5. Введем зависимость  для левых частей ограничений  путем копирования формулы из  ячейки G4 в соответствующие ячейки.

6. Открываем надстройку  «Поиск решения». В качестве целевой  ячейки устанавливаем ячейкуG4 (максимальная прибыль, при найденном количестве отремонтированных вагонов). Изменяя ячейки: $B$3:$F$3, (оптимальное кол-во отремонтированных вагонов, по видам). Ограничения (условие, которое должно выполняться при поиске решения): вводим значения левой части <= значений правой части (кол-во ресурсов, которое будет затрачено при ремонте найденного кол-ва вагонов) (Рис.4). Через параметры поиска решений устанавливаем линейную модель и неотрицательные решения. Нажимаем кнопку «Выполнить».

Рис.4. Ввод данных в диалоговое окно «Поиск решений»

 

8. Делаем отчет по результатам, который включает в себя исходные и конечные значения целевой и влияющих ячеек, дополнительные сведения об ограничениях. (Рис.6.)

Рис.5. Результаты поиска решения

 

Рис.6. Отчет  по результатам.

Вывод: Полученное решение (Рис. 5, 6) означает, что максимальную прибыль 29568 тыс. руб. депо может получить при выпуске из ремонта 2906,7 полувагонов и 466,7 вагонов-хопперов. При этом ремонт крытых вагонов, платформ и цистерн в оптимальном плане производства отсутствует. Ресурсы – раб. сила и специальные запчасти – будут использованы полностью, а из 120000 тыс. руб материалов будет использовано 106586,7 тыс.руб., из 90000 ч фонда времени вагоноремонтных позиций будет использовано 63413,3 ч, из 6500 кВт/ч истратится в процессе ремонта 5106,7 кВт/ч.

2. Транспортная задача линейного  программирования.

Задача №2

Исходные данные.

 

Исходная информация для решения задачи включает в  себя показатели, входящие в модель:

, где:

а_i – производственные мощности предприятий по производству запасных частей по пунктам размещения i;

b_j – потребности в запасных частях в пунктах j;

x_ij – объемы перевозок запасных частей между пунктами производства и пунктами потребления i, j;

З_i – затраты на производство единицы (удельные затраты) запасных частей у предприятий по пунктам i;

c_ij – затраты на транспортировку единицы запасных частей между пунктами производства и потребления;

a_i’ – загрузка производственных мощностей предприятий по производству запасных частей по пунктам размещения i.

Среди них можно выделить три группы исходных данных.

Первая группа – это  показатели производственных мощностей  по пунктам их размещения. К ним  относятся собственно мощности предприятий  по производству запасных частей а_i и удельные затраты на производство З_i. Мощности предприятий приведены в таб.4.

Таблица 4.

Производственные  мощности предприятий.

(вариант №3: 12/10=1(2), 2+1=3)

Пункты производства Аi	А1	А2	А3	А4	А5
Мощности аi по производству з/ч, т	550	690	370	950	450

 

Удельные затраты на производство рассчитываются по формуле, руб.:

Вторая группа показателей  – это потребности в запасных частях по пунктам размещения потребителей в тоннах b_j. Данные приведены в таб. 5.

Таблица 5.

Потребности в запасных частях.

(вариант №1 : 12/6=2(0), 0+1=1)

Пункт потребления	В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10
Потребности bj пунктов потребления,т	170	230	260	310	120	350	290	270	400	360

 

Третья группа показателей  – это затраты на транспортировку  запасных частей между пунктами производства и потребления на рассматриваемом полигоне железнодорожной сети. Полигон железнодорожной сети представлен в табл. 6. Применительно к заданному полигону в табл.7 указаны номера узлов железнодорожной сети, в которых размещены предприятия по производству запасных частей (индексы i), номера узлов, в которых размещены потребители запасных частей (индексы j).

Таблица 6.

Исходные данные для построения транспортной сети.

Номера узлов Расстояние,км	1-2 110	1-3 75	1-4 90	2-3 160	2-6 69	2-10 130	3-5 150	3-7 170	3-8 130	4-5 98
Номера узлов Расстояние,км	5-8 49	5-9 112	6-7 125	6-10 98	7-8 117	7-11 135	8-9 100	8-12 95	9-12 110	9-13 113
Номера узлов   Расстояние,км	10-11   95	10-14 117	11-12 150	11-14 105	12-13 190	12-15 170	13-15 200	14-15 140	14-16 79	15-16 130

 

Таблица 7.

Исходные данные для размещения пунктов отправления и назначения на транспортной сети.

(вариант №1: 12/4=3(0), 0+1=1)

Номера узлов размещения мощностей – индексы i	1		8		10		13		16
Номера узлов размещения потребителей – индексы j	2	3	5	6	7	9	11	12	14	15

 

Расчет минимальных транспортных затрат между пунктами производства и потребления осуществляется по формуле, руб.: