Контрольная работа по "Экономико-математическому моделированию"

Где e – расходная ставка на 10 ткм. Для рассматриваемого рода груза принимается равной 4 руб.; L – минимальное расстояние, рассчитываемое для заданного полигона между пунктами производства и потребления, км.

Решение.

 

1. В 5 местах отправки имеется однородный груз, который требуется доставить в 10 пунктов назначения. Известно, сколько груза отправляется из каждого пункта и сколько груза должно поступить в пункт назначения. Причем безразлично, какой именно отправитель будет доставлять груз тому или иному получателю. Требуется так организовать перевозки, чтобы обеспечить минимальный общий пробег груза, т.е. минимизировать затраты на транспортировку. Экономико-математическая модель транспортной задачи представляется в виде транспортной таблицы. (Табл. 8)

Таблица 8

Экономико-математическая модель транспортной задачи

Потребители и их спрос
Поставщики и их мощности	Пункт назначения   Пункт отправления		В1		…	Bj		…	Bn
			b1		…	bj		…	bn
	A1	a1		c11	…		c1j	…		c1n
			x11			x1j			x1n
	…	…	…		…	…		…	…
	Ai	ai		ci1	…		cij	…		cin
			xi1			xij			xin
	…	…	…		…	…		…	…
	Am	am		cm1	…		cmj	…		cmn
			xm1			xmj			xmn

Примечание. А_i – название пункта отправления; B_j – название пункта назначения; а_i – производственная мощность поставщиков; b_j – спрос потребителей; m – число поставщиков; n – число потребителей; i – номер строки (i-й поставщик) i=1…m; j – номер столбца (j-й потребитель) j=1…n; с_ij – показатель критерия оптимальности , удельные затраты на транспортировку единицы продукции (себестоимость перевозок) от поставщика i до потребителя j; x_ij – количество продукции, перевозимое от поставщика i до потребителя j, план перевозок, распределение поставок, корреспонденция грузов.

2. Определим показатели производственных мощностей (табл. 4) и рассчитаем производственные затраты.

а₁=550 т, а₂=690 т, а₃=370 т, а₄=950 т, а₅=450 т.

Затраты на производство ед. запасных частей рассчитываем по формуле:

;

; ; 

; .

3. Производим расчет  затрат на транспортировку единицы  запасных частей между пунктами  производства и потребления следующим  образом: по данным табл.6 строим схему рассматриваемого полигона железных дорог, а по данным табл.7 выделяем узлы, в которых размещены производственные мощности и потребители запасных частей (рис.7).

Рис.7. Транспортная сеть

По сети рассчитываем кратчайшее расстояние между каждым пунктом производства и потребления. Результаты заносим в табл.9.

Таблица 9

Кратчайшее  расстояние между пунктами потребления  и производства (км).

Пункты производства и их № узлов		Пункты потребления  и их № узлов
		В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10
		2	3	5	6	7	9	11	12	14	15
А1	1	110	75	118	179	245	300	335	300	357	470
А2	8	290	130	49	242	117	100	245	95	350	265
А3	10	130	290	389	98	223	440	95	245	117	257
А4	13	524	343	225	455	330	113	340	190	340	200
А5	16	326	486	522	294	419	410	184	300	79	130

 

Теперь рассчитаем минимальные  транспортные затраты по формуле:

;

; ; ; ;

; ; . 

Результаты расчетов заносим в табл.10.

Таблица 10.

Затраты на транспортировку  одной тонны запасных частей, руб.

Номера пунктов производстваi	Номера пунктов потребления j
	В1	В2	В3	В4	В5	В6	В7	В8	В9	В10
А1	44	30	47	72	98	120	134	120	143	188
А2	116	52	20	97	47	40	47	38	140	106
А3	52	116	156	39	89	176	38	98	47	103
А4	210	137	90	182	132	45	136	76	136	80
А5	130	194	209	118	168	164	74	120	32	52

 

На основе модели:

Применительно к данной задачи, строим матрицу, отражающую особенности  решаемой задачи. В процессе ее решения  открытая модель транспортной задачи сводится к закрытой за счет искусственной  балансировки ресурсов и потребностей. Для этого в модель вводится фиктивный потребитель и ему назначается спрос, равный разнице суммарных мощностей и потребностей:

т.

Матрица, отражающая особенности  решаемой задачи принимает следующий  вид (табл.11).

Таблица 11

Транспортная  таблица

Пункты производства и их мощ.		Потребители и их спрос
		В1		В2		В3		В4		В5		В6		В7		В8		В9		В10		ФВ
		170		230		260		310		120		350		290		270		400		360		250
А1	550		141		127		144		168		195		217		231		217		240		285		0
А2	690		201		137		105		182		132		125		183		123		225		191		0
А3	370		176		240		280		163		213		300		162		222		171		227		0
А4	950		283		210		163		255		205		118		209		149		209		153		0
А5	450		240		304		318		227		277		273		183		229		141		161		0

 

По строкам матрицы  отражены мощности по производству запасных частей. По столбцам отражены потребители и их спрос. В клетках матрицы, в маленьких квадратиках, представлены показатели критерия оптимальности модели – суммарные затраты на производство и транспортировку продукции между предприятиями и потребителями. В столбце фиктивного потребителя показатели критерия оптимальности приравниваются к нулю.

Данная задача решается несколькими методами: метод северо-западного  угла, метод наименьшего элемента в матрице, с помощью надстройки «Поиск решения» в MS Excel. Будем решать методом  минимальной стоимости (наименьшего элемента в матрице).

1. Построение опорного плана.

В транспортной таблице  выбирается клетка с наименьшими  затратами:

А₂В₃ (105 руб) в нее записывается максимально возможная поставка – 260т. Далее отыскиваются клетки со следующими по величине затратами: А₄В₆ (118 руб) максимальная поставка – 350т, А₂В₈ (123 руб) – 270т, следующая – А₂В₆ (125 руб), однако в эту клетку поставку корреспонденции грузов ставить нельзя, поскольку спрос станции В₆ полностью удовлетворен со станции А₄, поэтому столбец 6 из дальнейшего построения плана исключаем. Далее: А₁В₂ (127 руб) – 230т, А₂В₅ (132 руб) – 120 т, А₁В₁ (141 руб) – 170т, А₅В₉ (141 руб) – 400 т, А₄В₁₀ (153 руб) – 360 т, А₃В₇ (162 руб) – 290 т, А₃В₄ (163 руб) – 80 т, т.к. станция А₃ полностью удовлетворила спрос В₇, тем самым уменьшив возможность поставки, то остаток с предприятия (370-290=80) ставим на поставку другому потребителю, в нашем случае это В₄. По вышеизложенному принципу распределяем поставки между пунктами отправления и назначения: А₁В₄ – 150 т, А₂В₄ – 40 т, А₅В₄ – 40 т, т.к. станция еще может поставить 50 т, а пункту требуется 40 т, то на поставку в пункт В₄ ставим 40 т, а оставшиеся 10 т. определяем к фиктивному потребителю. На производстве А₄, из возможных поставок размером 950 т , осталось еще 240 т, которые мы определяем к фиктивному потребителю, А₄ФВ. Результат представлен в табл.12.

Таблица 12.

Результат распределения  поставок.

Пункты производства и их мощ.		Потребители и их спрос
		В1		В2		В3		В4		В5		В6		В7		В8		В9		В10		ФВ
		170		230		260		310		120		350		290		270		400		360		250
А1	550		141		127		144		168		195		217		231		217		240		285		0
		170		230				150
А2	690		201		137		105		182		132		125		183		123		225		191		0
						260		40		120						270
А3	370		176		240		280		163		213		300		162		222		171		227		0
								80						290
А4	950		283		210		163		255		205		118		209		149		209		153		0
												350								360		240
А5	450		240		304		318		227		277		273		183		229		141		161		0
								40										400				10