Построение однофакторных уравнений регрессии

ЗАДАНИЕ 1

 

 

Построение  однофакторных уравнений регрессии.

1. Построить уравнение парной регрессии в линейной форме. Считая, что  наблюдаемые значения фактора и результативный показатель принимают  табличные  (по вариантам) значения:

2.Провести дисперсионный  анализ.

3. Оценить статистическую  значимость уравнения.

4. Оценить статистическую  значимость параметров регрессии.

5. Вычислить  средний коэффициент Эластичности.

 

 

№	x	y
1	1100	1130
2	1115	1133
3	1112	1150
4	1101	1142
5	1100	1142
6	1100	1133
7	1114	1150
8	1110	1147
9	1103	1140
10	1113	1144
11	1130	1150
12	1110	1143
13	1121	1146
14	1120	1145
15	1116	1140
16	1112	1135
17	1110	1148
18	1100	1149
19	1111	1133
20	1123	1150
21	1110	1145
22	1126	1143
23	1118	1133
24	1117	1150
25	1110	1122

 

 

 

 

 

РЕШЕНИЕ

1. Построить уравнение парной регрессии в линейной форме.

 Для расчета  параметров a и b линейной регрессии y=a+bx решаем систему методом наименьших квадратов:

 

 

Расчеты представлены в таблице:

 

у	х	y*x	y*y	x*x
1130	1100	1243000	1276900	1210000
1133	1115	1263295	1283689	1243225
1150	1112	1278800	1322500	1236544
1142	1101	1257342	1304164	1212201
1142	1100	1256200	1304164	1210000
1133	1100	1246300	1283689	1210000
1150	1114	1281100	1322500	1240996
1147	1110	1273170	1315609	1232100
1140	1103	1257420	1299600	1216609
1144	1113	1273272	1308736	1238769
1150	1130	1299500	1322500	1276900
1143	1110	1268730	1306449	1232100
1146	1121	1284666	1313316	1256641
1145	1120	1282400	1311025	1254400
1140	1116	1272240	1299600	1245456
1135	1112	1262120	1288225	1236544
1148	1110	1274280	1317904	1232100
1149	1100	1263900	1320201	1210000
1133	1111	1258763	1283689	1234321
1150	1123	1291450	1322500	1261129
1145	1110	1270950	1311025	1232100
1143	1126	1287018	1306449	1267876
1133	1118	1266694	1283689	1249924
1150	1117	1284550	1322500	1247689
1122	1110	1245420	1258884	1232100

 

 

Рассчитываем :

 

 

 

   ,

a=822,823,      b=0,287.

 

Уравнение регрессии имеет  вид: y=822,823+0,287x.

Значение коэффициента регрессии  b=0,287 показывает, что при увеличении фактора Х на 1 единицу  от своего среднего уровня результативный признак У увеличивается на 0,287 единицу от своего среднего  уровня.

Тесноту связи изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии : 

  .

Рассчитаем  линейный коэффициент парной корреляции:

-связь прямая, то есть увеличение  одной из переменных ведет  к увеличению условной средней  другой, но не достаточно тесная.

Подставляя  в уравнение регрессии фактические значения x, определим теоретические значения  .

 

 

Расчеты  представлены в таблице:

 

 

y^	y^-y	(y^-y)^2	ABS(y^-y)	ABS(y^-y)/y
1138,256	8,256	68,161	8,256	0,007
1142,557	9,557	91,343	9,557	0,008
1141,697	-8,303	68,939	8,303	0,007
1138,543	-3,457	11,953	3,457	0,003
1138,256	-3,744	14,018	3,744	0,003
1138,256	5,256	27,625	5,256	0,005
1142,271	-7,729	59,744	7,729	0,007
1141,124	-5,876	34,533	5,876	0,005
1139,116	-0,884	0,781	0,884	0,001
1141,984	-2,016	4,065	2,016	0,002
1146,859	-3,141	9,868	3,141	0,003
1141,124	-1,876	3,521	1,876	0,002
1144,278	-1,722	2,966	1,722	0,002
1143,991	-1,009	1,018	1,009	0,001
1142,844	2,844	8,089	2,844	0,002
1141,697	6,697	44,851	6,697	0,006
1141,124	-6,876	47,286	6,876	0,006
1138,256	-10,744	115,434	10,744	0,009
1141,410	8,410	70,733	8,410	0,007
1144,851	-5,149	26,508	5,149	0,004
1141,124	-3,876	15,027	3,876	0,003
1145,712	2,712	7,353	2,712	0,002
1143,418	10,418	108,527	10,418	0,009
1143,131	-6,869	47,185	6,869	0,006
1141,124	19,124	365,710	19,124	0,017

 

Найдем среднюю ошибку аппроксимации А:

Чем меньше рассеяние  эмпирических точек от теоретических, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 7% свидетельствует  о хорошем качестве модели.

A=

0,00515

0,51461

 

=0,51 - коэффициент аппроксимации показывает, что расхождение расчетных значений от фактических составляет 0,51%. Модель можно считать адекватной.

2. Провести дисперсионный анализ полученных результатов.

 

Задача дисперсионного анализа состоит в проверке нулевой гипотезы H(0), о статистической незначимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи.

Анализ выполняется при  сравнении фактического и табличного (критического) значений  F-критерий Фишера  Fтабл  и  Fфакт. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

Находим общую, остаточную и факторную дисперсию :

, где — общая дисперсия результативного признака ;

  — остаточная дисперсия, определяемая из уравнения регрессии .

Так как  -фактическое дисперсия результативного признака.

Расчеты дисперсионного анализа представлены в таблице:

у	х	y^	y^-y	(y^-y)^2
1130	1100	1138,256	8,256	68,161
1133	1115	1142,557	9,557	91,343
1150	1112	1141,697	-8,303	68,939
1142	1101	1138,543	-3,457	11,953
1142	1100	1138,256	-3,744	14,018
1133	1100	1138,256	5,256	27,625
1150	1114	1142,271	-7,729	59,744
1147	1110	1141,124	-5,876	34,533
1140	1103	1139,116	-0,884	0,781
1144	1113	1141,984	-2,016	4,065
1150	1130	1146,859	-3,141	9,868
1143	1110	1141,124	-1,876	3,521
1146	1121	1144,278	-1,722	2,966
1145	1120	1143,991	-1,009	1,018
1140	1116	1142,844	2,844	8,089
1135	1112	1141,697	6,697	44,851
1148	1110	1141,124	-6,876	47,286
1149	1100	1138,256	-10,744	115,434
1133	1111	1141,410	8,410	70,733
1150	1123	1144,851	-5,149	26,508
1145	1110	1141,124	-3,876	15,027
1143	1126	1145,712	2,712	7,353
1133	1118	1143,418	10,418	108,527
1150	1117	1143,131	-6,869	47,185
1122	1110	1141,124	19,124	365,710

 

 

 

 

 

 

 

 

Результаты  дисперсионного анализа приведены в таблице:

Таблица

Вариация результата y	Число степеней свободы	Сумма квадратов  отклонений	Дисперсия на одну степень свободы	Fфакт
Общая Факторная Остаточная	n-1=24 k1=m=1 k2=n-m-1=23		58,04 54,58 1255,54	2,53

 

 

 

3. Оценить статистическую значимость уравнения.

Для проверки основной гипотезы используют F-критерий со статистикой

где — число наблюдений; m— число оцениваемых параметров.

Указанная статистика имеет распределение Фишера —  Снедекора. По таблицам распределения Фишера — Снедекора находят критическое значение для F-критерия в зависимости от уровня значимости α и двух степеней свободы   и . Значение F-критерия _., рассчитанное по данным выборки, сравнивают с критическим значением . Если то принимают гипотезу о незначимости уравнения регрессии. Если же , то гипотезу о незначимости уравнения регрессии отвергают и принимают альтернативную гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии.

Рассчитаем F-критерий:

F=	2,52502
стьюд.распр.=	2,06866

 

Т.к. Fтабл  меньше Fфакт, то гипотеза о случайной природе оцениваемых характеристик  не принимается и признается их статистическая значимость и надежность.

 

4.  Оценить статистическую значимость параметров регрессии.

Для оценки статистической значимости  коэффициента регрессии  и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза H₀ о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

t табл для числа степеней свободы n-2=23   и a=0,05 составит 2,0687.

 

Определим случайные  ошибки m(a) и m(b),  m(r). Расчеты параметров  представлены в таблице:

 

 

y-ycp	(y-ycp)^2	(у-y^)^2	x-xcp	(x-xcp)^2	x^2
-11,72	137,3584	68,161	-12,08	145,9264	1210000
-8,72	76,0384	91,343	2,92	8,5264	1243225
8,28	68,5584	68,939	-0,08	0,0064	1236544
0,28	0,0784	11,953	-11,08	122,7664	1212201
0,28	0,0784	14,018	-12,08	145,9264	1210000
-8,72	76,0384	27,625	-12,08	145,9264	1210000
8,28	68,5584	59,744	1,92	3,6864	1240996
5,28	27,8784	34,533	-2,08	4,3264	1232100
-1,72	2,9584	0,781	-9,08	82,4464	1216609
2,28	5,1984	4,065	0,92	0,8464	1238769
8,28	68,5584	9,868	17,92	321,1264	1276900
1,28	1,6384	3,521	-2,08	4,3264	1232100
4,28	18,3184	2,966	8,92	79,5664	1256641
3,28	10,7584	1,018	7,92	62,7264	1254400
-1,72	2,9584	8,089	3,92	15,3664	1245456
-6,72	45,1584	44,851	-0,08	0,0064	1236544
6,28	39,4384	47,286	-2,08	4,3264	1232100
7,28	52,9984	115,434	-12,08	145,9264	1210000
-8,72	76,0384	70,733	-1,08	1,1664	1234321
8,28	68,5584	26,508	10,92	119,2464	1261129
3,28	10,7584	15,027	-2,08	4,3264	1232100
1,28	1,6384	7,353	13,92	193,7664	1267876
-8,72	76,0384	108,527	5,92	35,0464	1249924
8,28	68,5584	47,185	4,92	24,2064	1247689
-19,72	388,8784	365,710	-2,08	4,3264	1232100