Построение однофакторных уравнений регрессии

 

 

 

 

С помощью  Регрессии из Анализа данных получим:

Y-пересечение	506,3966296
Переменная X 1	0,429253938

 

 

Уравнение регрессии  имеет вид:

Значение коэффициента регрессии  b= 506,3966 показывает, что при увеличении фактора Х на 1 единицу  от своего среднего уровня результативный признак У увеличивается на 506 единиц от своего среднего  уровня.

Тесноту связи  изучаемых явлений оценивает линейный коэффициент парной корреляции для линейной регрессии :   . Рассчитаем линейный коэффициент парной корреляции:

-связь прямая, то есть увеличение одной из переменных ведет к увеличению условной средней другой и достаточно тесная.

Подставляя  в уравнение регрессии фактические  значения x, определим теоретические значения  . Найдем величину средней ошибки аппроксимации :

Расчеты  представлены в таблице:

у^	у^-у	|у^-у|	|у^-у|/у
506,3970198	-623,6029802	623,6029802	0,551861
506,3970146	-626,6029854	626,6029854	0,5530476
506,3970156	-643,6029844	643,6029844	0,5596548
506,3970195	-635,6029805	635,6029805	0,55657
506,3970198	-635,6029802	635,6029802	0,55657
506,3970198	-626,6029802	626,6029802	0,5530476
506,3970149	-643,6029851	643,6029851	0,5596548
506,3970163	-640,6029837	640,6029837	0,558503
506,3970188	-633,6029812	633,6029812	0,5557921
506,3970153	-637,6029847	637,6029847	0,5573453
506,3970095	-643,6029905	643,6029905	0,5596548
506,3970163	-636,6029837	636,6029837	0,556958
506,3970125	-639,6029875	639,6029875	0,5581178
506,3970129	-638,6029871	638,6029871	0,5577319
506,3970142	-633,6029858	633,6029858	0,5557921
506,3970156	-628,6029844	628,6029844	0,5538352
506,3970163	-641,6029837	641,6029837	0,5588876
506,3970198	-642,6029802	642,6029802	0,5592715
506,397016	-626,602984	626,602984	0,5530476
506,3970118	-643,6029882	643,6029882	0,5596548
506,3970163	-638,6029837	638,6029837	0,5577319
506,3970108	-636,6029892	636,6029892	0,556958
506,3970135	-626,6029865	626,6029865	0,5530476
506,3970139	-643,6029861	643,6029861	0,5596548
506,3970163	-615,6029837	615,6029837	0,5486658

 

 

 

Средняя ошибка аппроксимации А равна:

Чем меньше рассеяние  эмпирических точек от теоретических, тем меньше средняя ошибка аппроксимации. Ошибка аппроксимации меньше 15% свидетельствует  о хорошем качестве модели.

А

0,556442227

55,64422272

 

 

Коэффициент аппроксимации  превышает 15%, это значит, что модель не является адекватной.

 

2. Провести  дисперсионный анализ полученных  результатов.

 

Задача дисперсионного анализа состоит в проверке нулевой  гипотезы H(0), о статистической незначимости уравнения регрессии в целом и показателя тесноты связи.

Анализ выполняется  при сравнении фактического и  табличного (критического) значений  F-критерий Фишера  Fтабл  и  Fфакт. Fфакт определяется из соотношения значений факторной и остаточной дисперсий, рассчитанных на одну степень свободы:

Находим общую, остаточную и факторную дисперсию:

, где

  — общая дисперсия результативного признака ; — остаточная дисперсия, определяемая из уравнения регрессии .

Так как  -фактическое дисперсия результативного признака.

Расчеты дисперсионного анализа представлены в таблице:

у^	у^-у	|у^-у|	|у^-у|/у	(у^-у)^2	У-Уср.	(У-Уср)^2
506,3970198	-623,6029802	623,6029802	0,551861	388880,68	-11,72	137,3584
506,3970146	-626,6029854	626,6029854	0,5530476	392631,3	-8,72	76,0384
506,3970156	-643,6029844	643,6029844	0,5596548	414224,8	8,28	68,5584
506,3970195	-635,6029805	635,6029805	0,55657	403991,15	0,28	0,0784
506,3970198	-635,6029802	635,6029802	0,55657	403991,15	0,28	0,0784
506,3970198	-626,6029802	626,6029802	0,5530476	392631,29	-8,72	76,0384
506,3970149	-643,6029851	643,6029851	0,5596548	414224,8	8,28	68,5584
506,3970163	-640,6029837	640,6029837	0,558503	410372,18	5,28	27,8784
506,3970188	-633,6029812	633,6029812	0,5557921	401452,74	-1,72	2,9584
506,3970153	-637,6029847	637,6029847	0,5573453	406537,57	2,28	5,1984
506,3970095	-643,6029905	643,6029905	0,5596548	414224,81	8,28	68,5584
506,3970163	-636,6029837	636,6029837	0,556958	405263,36	1,28	1,6384
506,3970125	-639,6029875	639,6029875	0,5581178	409091,98	4,28	18,3184
506,3970129	-638,6029871	638,6029871	0,5577319	407813,78	3,28	10,7584
506,3970142	-633,6029858	633,6029858	0,5557921	401452,74	-1,72	2,9584
506,3970156	-628,6029844	628,6029844	0,5538352	395141,71	-6,72	45,1584
506,3970163	-641,6029837	641,6029837	0,5588876	411654,39	6,28	39,4384
506,3970198	-642,6029802	642,6029802	0,5592715	412938,59	7,28	52,9984
506,397016	-626,602984	626,602984	0,5530476	392631,3	-8,72	76,0384
506,3970118	-643,6029882	643,6029882	0,5596548	414224,81	8,28	68,5584
506,3970163	-638,6029837	638,6029837	0,5577319	407813,77	3,28	10,7584
506,3970108	-636,6029892	636,6029892	0,556958	405263,37	1,28	1,6384
506,3970135	-626,6029865	626,6029865	0,5530476	392631,3	-8,72	76,0384
506,3970139	-643,6029861	643,6029861	0,5596548	414224,8	8,28	68,5584
506,3970163	-615,6029837	615,6029837	0,5486658	378967,03	-19,72	388,8784

 

σ1	1237,5
σ2	1244,818182

3. Оценить  статистическую значимость уравнения.

Для проверки основной гипотезы используют F-критерий со статистикой

где — число наблюдений; m— число оцениваемых параметров.

Указанная статистика имеет распределение Фишера —  Снедекора. По таблицам распределения  Фишера — Снедекора находят критическое  значение для F-критерия в зависимости от уровня значимости α и двух степеней свободы   и . Значение F-критерия _., рассчитанное по данным выборки, сравнивают с критическим значением . Если то принимают гипотезу о незначимости уравнения регрессии. Если же , то гипотезу о незначимости уравнения регрессии отвергают и принимают альтернативную гипотезу о статистической значимости уравнения регрессии.

Рассчитаем F-критерий:

 

Fkp

2,787569326

F

4,590694761

 

 

Fфакт=4,590695> Fтабл=2,788.

Т.к. то принимаем гипотезу о незначимости уравнения регрессии.

4.  Оценить статистическую значимость параметров регрессии.

Для оценки статистической значимости  коэффициента регрессии и корреляции рассчитываются t-критерий Стьюдента и доверительные интервалы каждого из показателей. Выдвигается гипотеза H 0  о случайной природе показателей, т.е. о незначимом их отличии от нуля.

 

t табл для числа степеней свободы n-2=20   и a=0,05 составит 2,067.

Определим случайные  ошибки m(a) и m(b),  m(r). Расчеты параметров  представлены в таблице:

У-Уср.	(У-Уср)^2	Z-Zср	(Z-Zср)^2
-11,72	137,3584	0,000010	0,0000000001
-8,72	76,0384	-0,000002	0,0000000000
8,28	68,5584	0,000000	0,0000000000
0,28	0,0784	0,000009	0,0000000001
0,28	0,0784	0,000010	0,0000000001
-8,72	76,0384	0,000010	0,0000000001
8,28	68,5584	-0,000002	0,0000000000
5,28	27,8784	0,000002	0,0000000000
-1,72	2,9584	0,000007	0,0000000001
2,28	5,1984	-0,000001	0,0000000000
8,28	68,5584	-0,000014	0,0000000002
1,28	1,6384	0,000002	0,0000000000
4,28	18,3184	-0,000007	0,0000000001
3,28	10,7584	-0,000006	0,0000000000
-1,72	2,9584	-0,000003	0,0000000000
-6,72	45,1584	0,000000	0,0000000000
6,28	39,4384	0,000002	0,0000000000
7,28	52,9984	0,000010	0,0000000001
-8,72	76,0384	0,000001	0,0000000000
8,28	68,5584	-0,000009	0,0000000001
3,28	10,7584	0,000002	0,0000000000
1,28	1,6384	-0,000011	0,0000000001
-8,72	76,0384	-0,000005	0,0000000000
8,28	68,5584	-0,000004	0,0000000000
-19,72	388,8784	0,000002	0,0000000000

 

 

 

m(b)=	235345,8966
m(a)=	211,6210332
m(r)=	0,190378842

 

t=	2,068657599

 

 

 

 

 

Тогда:

Для свободного коэффициента  a и коэффициента b нулевая гипотеза отклоняется, т.е. оно не случайно отличается от нуля, а статистически значимо.

 Для коэффициента  корреляции нулевая гипотеза  не отклоняется и признается  случайная природа  формирования r параметра.

 

5. Вычислить средний коэффициент эластичности.

 

Средний  коэффициент эластичности  Э показывает, на сколько процентов по совокупности изменится в среднем результат у от своей средней величины, если фактор изменится на 1 % от своего среднего значения. Коэффициент эластичности Э вычисляется по формуле

                                                                  

где f'(x) — первая производная функции.

Э=	0,41811014884

 

 

  _{Полученное значение}  =0,42 -коэффициент эластичности показывает, что при увеличении из фактора Х на 1 %  от своего среднего уровня результативный признак У увеличивается на 42% от своего среднего  уровня.

 

 

Оформим сводную  таблицу:

 

	линейная функция	показательная функция	степенная функция	гиперболическая функция
уравнение	y=822,823+0,287x	y=822,82+0,287x	y=545,98+0,332x	y=0,429+506,3966x
коэффициент парной корреляции rxy	0,31	0,41	0,4079	0,361
средняя ошибка аппроксимации A(%)	0,51	0,52	19,83	55,64
Fфакт	2,52502	2,527	-24,22145512	4,590695
Fтабл	2,06866	0,127	0,127	2,788
Коэффициент эластичности Э(%)	28	29	32	42

 

Выводы: по средней  ошибке аппроксимации делаем вывод,  что степенная и гиперболическая функции являются неадекватными, следовательно, их в рассмотрение не принимаем.

Рассматриваем линейную и показательную функции.  Коэффициент аппроксимации обеих функций приблизительно одинаковый ( примерно 0,5). Это значит, что модели являются адекватными.

Коэффициент эластичности обеих функций тоже примерно одинаковый, это значит, что при увеличении из фактора Х на 1 %  от своего среднего уровня результативный признак У  увеличивается на 28 (29)% от своего среднего  уровня.

Тогда делаем вывод, что можно использовать обе модели, например, для прогнозирования.