Предмет эконометрики

   (4.2)

где

Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции первого  порядка, исследуемый ряд содержит только тенденцию. Если наиболее высоким оказался коэффициент автокорреляции порядка , то ряд содержит циклические колебания с периодичностью в моментов времени. Если ни один из коэффициентов автокорреляции не является значимым, можно сделать одно из двух предположений относительно структуры этого ряда: либо ряд не содержит тенденции и циклических колебаний, либо ряд содержит сильную нелинейную тенденцию, для выявления которой нужно провести дополнительный анализ.

Свойства коэффициента автокорреляции.

1. Он строится по аналогии с линейным коэффициентом корреляции и таким образом характеризует тесноту только линейной связи текущего и предыдущего уровней ряда. Поэтому по коэффициенту автокорреляции можно судить о наличии линейной (или близкой к линейной) тенденции.
2. По знаку коэффициента автокорреляции нельзя делать вывод о возрастающей или убывающей тенденции в уровнях ряда. Большинство временных рядов экономических данных содержат положительную автокорреляцию уровней, однако при этом могут иметь убывающую тенденцию.

Число периодов, по которым рассчитывается коэффициент автокорреляции, называют лагом.

Последовательность коэффициентов  автокорреляции уровней первого, второго  и т.д. порядков называют автокорреляционной функцией временного ряда. График зависимости ее значений от величины лага (порядка коэффициента автокорреляции) называется коррелограммой.

4. 2. Моделирование тенденции  временного ряда

Распространенным способом моделирования  тенденции временного ряда является построение аналитической функции, характеризующей зависимость уровней ряда от времени, или тренда. Этот способ называют аналитическим выравниванием временного ряда.

Для построения трендов чаще всего  применяются следующие функции: линейный тренд: ; гипербола: ; экспоненциальный тренд: (или ); степенная функция: ; полиномы различных степеней: .

Параметры каждого из перечисленных  выше трендов можно определить обычным  МНК, используя в качестве независимой  переменной время  , а в качестве зависимой переменной – фактические уровни временного ряда . Для нелинейных трендов предварительно проводят стандартную процедуру их линеаризации.

Наиболее простую экономическую  интерпретацию имеет линейная функция  : а – начальный уровень временного ряда в момент времени ; b – средний за период абсолютный прирост уровней ряда.

Параметры а и b находятся по формулам:

;  .

Существует несколько способов определения типа тенденции. К числу  наиболее распространенных способов относятся качественный анализ изучаемого процесса, построение и визуальный анализ графика зависимости уровней ряда от времени. В этих же целях можно использовать и коэффициенты автокорреляции уровней ряда. Тип тенденции можно определить путем сравнения коэффициентов автокорреляции первого порядка, рассчитанных по исходным и преобразованным уровням ряда. Если временной ряд имеет линейную тенденцию, то его соседние уровни и тесно коррелируют. В этом случае коэффициент автокорреляции первого порядка уровней исходного ряда должен быть высоким. Если временной ряд содержит нелинейную тенденцию, например, в форме экспоненты, то коэффициент автокорреляции первого порядка по логарифмам уровней исходного ряда будет выше, чем соответствующий коэффициент, рассчитанный по уровням ряда. Чем сильнее выражена нелинейная тенденция в изучаемом временном ряде, тем в большей степени будут различаться значения указанных коэффициентов.

Выбор наилучшего уравнения в случае, когда ряд содержит нелинейную тенденцию, можно осуществить путем перебора основных форм тренда, расчета по каждому уравнению скорректированного коэффициента детерминации и средней ошибки аппроксимации. Этот метод легко реализуется при компьютерной обработке данных.

4.3. Моделирование сезонных  колебаний

Простейший подход к моделированию  сезонных колебаний – это расчет значений сезонной компоненты методом  скользящей средней и построение аддитивной или мультипликативной  модели временного ряда.

Общий вид аддитивной модели следующий:

.     (4.3)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как сумма трендовой ( ), сезонной ( ) и случайной ( ) компонент.

Общий вид мультипликативной модели выглядит так:

.     (4.4)

Эта модель предполагает, что каждый уровень временного ряда может быть представлен как произведение трендовой ( ), сезонной ( ) и случайной ( ) компонент.

Выбор одной из двух моделей осуществляется на основе анализа структуры сезонных колебаний. Если амплитуда колебаний  приблизительно постоянна, строят аддитивную модель временного ряда, в которой значения сезонной компоненты предполагаются постоянными для различных циклов. Если амплитуда сезонных колебаний возрастает или уменьшается, строят мультипликативную модель временного ряда, которая ставит уровни ряда в зависимость от значений сезонной компоненты.

Построение аддитивной и мультипликативной  моделей сводится к расчету значений , и для каждого уровня ряда.

Процесс построения модели включает в себя следующие шаги.

1. Выравнивание исходного ряда методом скользящей средней.
2. Расчет значений сезонной компоненты .
3. Устранение сезонной компоненты из исходных уровней ряда и получение выровненных данных ( ) в аддитивной или ( ) в мультипликативной модели.
4. Аналитическое выравнивание уровней ( ) или ( ) и расчет значений с использованием полученного уравнения тренда.
5. Расчет полученных по модели значений ( ) или ( ).
6. Расчет абсолютных и/или относительных ошибок. Если полученные значения ошибок не содержат автокорреляции, ими можно заменить исходные уровни ряда и в дальнейшем использовать временной ряд ошибок для анализа взаимосвязи исходного ряда и других временных рядов.

В моделях с сезонной компонентой  обычно предполагается, что сезонные воздействия за период взаимопогашаются. В аддитивной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна нулю. В мультипликативной модели это выражается в том, что сумма значений сезонной компоненты по всем кварталам должна быть равна числу периодов в цикле.

Скорректированные значения сезонной компоненты в аддитивной модели равны  , где , в мультипликативной модели получаются при умножении ее средней оценки на корректирующий коэффициент , где .

Прогнозное значение уровня временного ряда в аддитивной модели есть сумма трендовой и сезонной компонент, в мультипликативной модели есть произведение трендовой и сезонной компонент.

4.4. Автокорреляция в  остатках. Критерий Дарбина-Уотсона

Автокорреляция в остатках может  быть вызвана несколькими причинами, имеющими различную природу.

1. Она может быть связана с исходными данными и вызвана наличием ошибок измерения в значениях результативного признака.
2. В ряде случаев автокорреляция может быть следствием неправильной спецификации модели. Модель может не включать фактор, который оказывает существенное воздействие на результат и влияние которого отражается в остатках, вследствие чего последние могут оказаться автокоррелированными. Очень часто этим фактором является фактор времени .

Один из более распространенных методов определения автокорреляции в остатках – это расчет критерия Дарбина-Уотсона:

.     (4.5)

Т.е. величина есть отношение суммы квадратов разностей последовательных значений остатков к остаточной сумме квадратов по модели регрессии.

Можно показать, что при больших  значениях  существует следующее соотношение между критерием Дарбина-Уотсона и коэффициентом автокорреляции остатков первого порядка : .

Таким образом, если в остатках существует полная положительная автокорреляция и  , то . Если в остатках полная отрицательная автокорреляция, то и, следовательно, . Если автокорреляция остатков отсутствует, то и . Т.е. .

Алгоритм выявления автокорреляции остатков на основе критерия Дарбина-Уотсона следующий. Выдвигается гипотеза об отсутствии автокорреляции остатков. Альтернативные гипотезы и состоят, соответственно, в наличии положительной или отрицательной автокорреляции в остатках. Далее по специальным таблицам определяются критические значения критерия Дарбина-Уотсона и для заданного числа наблюдений , числа независимых переменных модели и уровня значимости . По этим значениям числовой промежуток разбивают на пять отрезков. Принятие или отклонение каждой из гипотез с вероятностью осуществляется следующим образом:

 – есть положительная автокорреляция  остатков, отклоняется, с вероятностью принимается ;

 – зона неопределенности;

 – нет оснований отклонять  , т.е. автокорреляция остатков отсутствует;

 – зона неопределенности;

 – есть отрицательная автокорреляция  остатков, отклоняется, с вероятностью принимается .

Если фактическое значение критерия Дарбина-Уотсона попадает в зону неопределенности, то на практике предполагают существование автокорреляции остатков и отклоняют гипотезу .

 

Краткий справочник по формулам

 

Формула	Пояснение
	Остаточная дисперсия
	Параметр а регрессии
	Коэффициент регрессии
	Ковариация
	Вариация х
	Вариация у
	Среднее квадратическое отклонение х
	Среднее квадратическое отклонение у
	Коэффициент корреляции
	Коэффициент детерминации
	Средняя ошибка аппроксимации
	Общая сумма квадратов отклонений равна сумме факторной и остаточной сумм квадратов отклонений
	Общая сумма квадратов  отклонений
	Факторная сумма квадратов  отклонений
	Остаточная сумма квадратов отклонений
	Общая дисперсия на одну степень свободы
	Факторная дисперсия  на одну степень свободы
	Остаточная дисперсия  на одну степень свободы
	Расчетное значение критерия Фишера
, и .	Табличное значение критерия Фишера
	Стандартная ошибка коэффициента регрессии
	Остаточная дисперсия  на одну степень свободы
	t-статистика коэффициента регрессии
	Доверительный интервал коэффициента регрессии
	Стандартная ошибка параметра регрессии
	t-статистика параметра регрессии
	Стандартная ошибка коэффициента корреляции
	t-статистика коэффициента корреляции
	Связь между критерием Стьюдента и критерием Фишера
	Доверительный интервал прогноза
	Предельная ошибка прогноза
	Стандартная ошибка прогноза
	Коэффициент эластичности
	Индекс корреляции
	Индекс детерминации
	Расчетное значение критерия Фишера для нелинейной регрессии
	Стандартизованный вид  множественной регрессии
	Связь между коэффициентами «чистой» регрессии и стандартизованными
	Частный коэффициент  эластичности
	Средний показатель эластичности
	Множественный  коэффициент  корреляции
	Множественный  коэффициент  детерминации
	Определитель матрицы  парных коэффициентов
	Определитель матрицы  межфакторной корреляции
	Скорректированный индекс множественной детерминации
	Частный коэффициент  корреляции
,	Частный коэффициент  корреляции
	Частный коэффициент  корреляции
	Частный коэффициент  корреляции
	Множественный  коэффициент  корреляции
	Множественный  коэффициент  корреляции
	Расчетное значение критерия Фишера для множественной регрессии
	Частный F-критерий
,	Частный F-критерий
	t-статистика коэффициента множественной регрессии
	Стандартная ошибка коэффициента множественной регрессии