Применение экономико-математических методов в планировании деятельности предприятия

 

Не обращаем внимание на искусственные переменные.

Получаем оптимальный  план

Х* (x₁=6,363; x₂=0; x₃=1,823; x₄=0; x₅=10,542; x₆=0; x₇=0; x₈=0 )

Ζ (Х*)=2*6,363+1*0+4*1,823+5*0+0*10,542+0*0+0*-М+0*-М=20,018

 

3. Двойственная задача

 

Составим двойственную задачу

 

  2x₁+6x₂+x₃+x₄-x₅ = 4

      x₁+x₂+2x₃+5x₄+x₆ =10

     3x₁-x₂-5x₃+10x₄ =10

 

 

Коэффициент с_j целевой функции исходной задачи  - это свободные члены системы ограничений двойственной задачи.

Свободные члены системы  ограничений исходной задачи – это  коэффициенты целевой функции двойственной задачи.

max Z=2x1+x₂+4x₃+5x₄+0x₅+0x₆

 

Составим целевую функцию двойственной задачи

 

min f=4y₁+10y₂+10y₃

 

 

 

 

   2y₁+y₂+3y₃ ≥ 2

     6y₁ +3y₂-y₃ ≥1

       y₁+2y₂-5y₃ ≥ 4

     -y₁+y₂+10y₃ ≥ 5

       -y₁       ≥ 0

        y₂         ≥ 0

 

Находим оптимальный  план

 

Y*=C*∙D^-1

 

C*- матрица коэффициентов базиса последней симплексной таблицы

D^-1- матрица обратная матрице из векторов базиса

Существует два способа  нахождения D^-1

3. D^-1 – состоит из вектора базиса первой симплексной таблицы, координаты базиса берутся из последней симплексной таблицы
4. D – состоит из вектора базиса последней симплексной таблицы, а координат векторов из первой таблицы

       Y* = C*      x        D^-1          

                                                                 A₇              A₆           A₈

(2;4;0)                0       0,455      0,18

       x     0       0,273    -0,091

                    -1       1,183     0,267

 

Y*=[(2*0 + 4*0+0*(-1))+(2*0,455 +4*0,273+0*1,183)+(2*0,18+4*(-0,091)+ 0*0,267)]=( 0; 2,002; -0,004)

Y* можно найти из последней симплексной таблицы исходного задания. Это оценки векторов, входящих в базис в первой симплексной таблице

(A₇; A₆; A₈)      Y*=( 0; 2,002; -0,004)

Данный оптимальный  план Y* подставляем в целевую функцию двойственной задачи.

min f=4*0+10*2,002+10*(-0,004)=19,98

Результат подстановки оптимального плана практически совпадает с результатом подстановки оптимального плана исходной задачи.

 

 

4. Постановка  задачи управления запасами

 

Задача управления запасами играет в математическом программировании большую роль. Основная цель – анализ динамических свойств процессов  управления запасами.

Нужно разработать календарную  программу выпуска какого-либо изделия на плановый период, состоящий из N отрезков времени. Заранее известен спрос D_t на это изделие для каждого отрезка времени t. Продукция, которая изготавливается в течение отрезка времени t, может быть использована для частичного или полного покрытия спроса в течение отрезка времени t. На экономические показатели производства влияют размеры изготавливаемой партии, поэтому бывает выгодно изготовить в течение некоторого отрезка времени t продукции больше, чем спрос на этом отрезке времени, а излишки хранить до следующих периодов. Но хранение возникающих запасов тоже связано с определёнными затратами. Надо разработать такую производственную календарную программу, при которой общая сумма затрат на производство и хранение запасов минимизируется при условии полного и своевременного удовлетворения спроса на продукцию.

Надо разработать календарную  производственную программу выпуска шоколадных конфет, произведённой предприятием «Добрыня» на плановый период, состоящий из N=6 отрезков времени (с января по июнь), при этом необходимо минимизировать затраты.

Заранее известен спрос  на это изделие: D₁=3  при t=1,...,6 . Общие затраты для каждого отрезка времени t рассчитываются по формуле: C_t(x_t,i_t)=C(x_t)+h×i_t

Где x_t – переменная величина, определяющая количество изделий, выпущенных в периоде времени t:   x_t£4

i_t – количество изделий, оставшихся на складе на конец периода времени t, причём количество изделий на складе на конец всего планового периода должно равняться заданной величине i_кон:  i_t£3,  i_кон=0

C(x_t) – производственные затраты: C(x_t)=10+3x_t

Производственные затраты – это сумма условно постоянных  затрат на переналадку оборудования – 10 и затрат, пропорциональных выпуску продукции – 3x_t;

h×i_t – затраты на хранение изделия (складские затраты): h=1.

5. Нахождение оптимальной производственной программы

 

Обозначим f_n(i) – это минимальные затраты в течение n последних отрезков времени при начальном уровне запасов i;

x_n(i) – выпуск продукции, который позволяет достичь этих минимальных затрат f_n(i).

Возьмём n=1.

Рассмотрим программу на последний месяц (на июнь).

D₆=D_июня=3 – спрос на июнь.

Запишем балансовое условие:

i₀=i₁+x₁ – d₁;

где i₀=i_кон =0 – уровень запасов на конец всего планового периода.

d₁=D₆=3-спрос на июнь,

Тогда 1=i₁+x₁ – 3.

Следовательно, i₁=3 – x₁; i₁=0,1,2,3.

Уровень запасов для n=1 не превышает 3.

Выпуск в июне x=3 – i, где i – запас на начало последнего периода (на 1 июня).

Cоставляем таблицу:

 

 

 

 

Таблица 1

f₁(i) = C(x_t)+h*i_кон

f₁(i) = 10+3(3-i)+1*0

I	x1(i)	f1(i)
0	3	19
1	2	16
2	1	13
3	0	0

 

Для n=2

Формула для заполнения клеток таблицы равна:

10+3x+h(i+x-3)+f₁(i+x-3), где

h=1 – затраты на хранение единицы продукции;

10+3x – затраты на производство;

1(i+x-3) – затраты на хранение;

f₁(i+x-3) – минимальные затраты на июнь.

Ограничения для уровня запасов i ≤ 0,1,2,3, d1+d2. Тогда для заданной задачи d1+d2=6, но по условию i = 0,1,2,3; следовательно, i ≤ 3.

Ограничения для выпуска продукции: d₂ – i ≤ x₁ ≤ (d₂+ d₁) – i ;

3-i ≤ x ≤ 6-i.

Расчёт запрещённых  клеток:

i=0, следовательно 3≤x≤6, но по условию x_t ≤ 4 и тогда 3≤x≤4

i=1 следовательно 2≤x≤4

i=2 следовательно 1≤x≤4

i=3 следовательно 0≤x≤3

Таблица 2

xi	0	1	2	3	4	x2(i)	f2(i)
0	*	*	*	38	39	3	38
1	*	*	35	36	37	2	35
2	*	32	33	34	25	4	25
3	19	30	31	22	*	0	19

 

(0;3): 10+3*3+1(0+3-3)+ f₁ (0+3-3)=19+0+19=38

(0;4): 10+3*4+1(0+4-3)+ f₁ (0+4-3)=22+1+16=39

(1;2): 10+3*2+1(1+2-3)+ f₁ (1+2-3)=16+0+19=35

(1;3): 10+3*3+1(1+3-3)+ f₁ (1+3-3)=19+1+16=36

(1;4): 10+3*4+1(1+4-3)+ f₁ (1+4-3)=22+2+13=37

(2;1): 10+3+1(2+1-3)+f₁(2+1-3)=13+0+19=32

(2;2): 10+3*2+1(2+2-3)+f₁(2+2-3)=16+1+16=33

(2;3): 10+3*3+1(2+3-3)+f₁(2+3-3)=19+2+13=34

(2;4): 10+3*4+1(2+4-3)+f₁(2+4-3)=22+3+0=25

(3;0): 1(3+0-3)+f₁(3+0-3)=0+0+19=19

(3;1): 10+3+1(3+1-3)+f₁(3+1-3)=13+1+16=30

(3;2): 10+3*2+1(3+2-3)+f₁(3+2-3)=16+2+13=31

(3;3): 10+3*3+1(3+3-3)+f₁(3+3-3)=19+3+0=22

 

Для n=3 формула заполнения таблицы следующая:

10+3x+1(i+x-3)+f₂(i+x-3)

Таблица 3

xi	0	1	2	3	4	x3(i)	f3(i)
0	*	*	*	57	58	3	57
1	*	*	54	55	49	4	49
2	*	51	52	46	44	4	44
3	38	49	43	41	*	0	38

 

(0;3): 10+3*3+1(0+3-3)+f₂(0+3-3)=19+0+38=57

(0;4): 10+3*4+1(0+4-3)+f₂(0+4-3)=22+1+35=58

(1;2): 10+3*2+1(1+2-3)+f₂(1+2-3)=16+0+38=54

(1;3): 10+3*3+1(1+3-3)+ f₂(1+3-3)=19+1+35=55

(1;4): 10+3*4+1(1+4-3)+ f₂(1+4-3)=22+2+25=49

(2;1): 10+3+1(2+1-3)+f₂(2+1-3)=13+0+38=51

(2;2): 10+3*2+1(2+2-3)+f₂(2+2-3)=16+1+35=52

(2;3): 10+3*2+1(2+3-3)+f₂(2+3-3)=19+2+25=46

(2;4): 10+3*4+1(2+4-3)+f₂(2+4-3)=22+3+19=44

 (3;0): 1(3+0-3)+f₂(3+0-3)=0+0+38=38

(3;1): 10+3+1(3+1-3)+f₂(3+1-3)=13+1+35=49

(3;2): 10+3*2+1(3+2-3)+f₂(3+2-3)=16+2+25 =43

(3;3): 10+3*3+1(3+3-3)+f₂(3+3-3)=19+3+19=41

 

Для n=4 формула заполнения таблицы следующая:

10+3x+1(i+x-3)+f₃(i+x-3)

Таблица 4

xi	0	1	2	3	4	x4(i)	f4(i)
0	*	*	*	76	72	4	72
1	*	*	73	69	68	4	68
2	*	70	66	65	63	4	63
3	57	63	62	60	*	0	57

 

(0;3): 10+3*3+1(0+3-3)+f₃(0+3-3)=19+0+57=76

(0;4): 10+3*4+1(0+4-3)+f₃(0+4-3)=22+1+49=72

(1;2): 10+3*2+1(1+2-3)+f₃(1+2-3)=16+0+57=73

(1;3): 10+3*3+1(1+3-3)+f₃(1+3-3)=19+1+49=69

(1;4): 10+3*4+1(1+4-3)+f₃(1+4-3)=22+2+44=68

(2;1): 10+3+1(2+1-3)+f₃(2+1-3)=13+0+57=70

(2;2): 10+3*2+1(2+2-3)+f₃(2+2-3)=16+1+49=66

(2;3): 10+3*3+1(2+3-3)+f₃(2+3-3)=19+2+44=65

(2;4): 10+3*4+1(2+4-3)+f₃(2+4-3)=22+3+38=63

(3;0): 1(3+0-3)+f₃(3+0-3)=0+0+57=57

(3;1): 10+3+1(3+1-3)+f₃(3+1-3)=13+1+49=63

(3;2): 10+3*2+1(3+2-3)+f₃(3+2-3)=16+2+44=62

(3;3): 10+3*3+1(3+3-3)+f₃(3+3-3)=19+3+38=60

 

Для n=5 формула заполнения таблицы следующая:

10+3x+1(i+x-3)+f₄(i+x-3)

 

Таблица 5

xi	0	1	2	3	4	x5(i)	f5(i)
0	*	*	*	91	91	3 и 4	91
1	*	*	88	88	87	4	87
2	*	85	85	84	82	4	82
3	72	82	81	79	*	0	72