Численное интегрирование

Работу выполнил студент группы 3-М-2 Донсков И.В. 5-Вт.

 

 

Министерство образования и науки

Российской Федерации

 

Санкт-Петербургский государственный

архитектурно-строительный университет

 

Факультет экономики и управления

Кафедра прикладной математики и информатики

 

 

 

 

 

 

 

курсовой проект

по дисциплине «Информатика»

 

 

 

 

 

 

                                                                          

 

 

 

Выполнил: студент группы _____

                                                                          Ф.И.О_______________________                                                        

                                                                           Руководитель: должность, Ф.И.О

                                                                           ____________________________                                                                                                      

                                 Защищен 

                                                                           с оценкой ___________________

                                                                           ____________________________

                                                                           «___»____________20__г.

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2014

 

Оглавление

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1. Численное интегрирование

 

1.1 Теория

Численное интегрирование — вычисление значения определённого интеграла. Под численным интегрированием понимают набор численных методов для нахождения значения определённого интеграла.

Численное интегрирование применяется, когда:

1. Сама подынтегральная функция не задана аналитически. Например, она представлена в виде таблицы (массива) значений в узлах некоторой расчётной сетки.
2. Аналитическое представление подынтегральной функции известно, но её первообразная не выражается через аналитические функции. Например,  .

В этих двух случаях невозможно вычисление интеграла по формуле Ньютона — Лейбница. Также возможна ситуация, когда вид первообразной настолько сложен, что быстрее вычислить значение интеграла численным методом.

 

Метод прямоугольников:

Разобьем интервал интегрирования на n равных частей, каждая длиной .

Приближенное значение интеграла получается в виде суммы площадей n прямоугольников, высота которых равна значению f(x) на левом краю каждого подынтервала (рис. 3).

hy0+hy1+…+hyn-1 = h(y0+y1+…+yn-1). То есть формула численного интегрирования имеет вид:

      (4)

и называется формулой «левых» прямоугольников.

 

 

 

Рис. 3. Геометрическая интерпретация метода «левых» прямоугольников.

 

Если в качестве приближенного значения площади для каждого подынтервала принять площадь прямоугольника, высота которого равна значениюf(x)на правом краю подинтервала (рис. 4), то формула численного интегрирования имеет вид (5):

 (5)

 

Рис. 4. Геометрическая интерпретация метода «правых» прямоугольников.

 

Существует третья модификация метода прямоугольников – метод «средних» прямоугольников. В этом случае в качестве приближенного значения площади для каждого подынтервала принимается площадь прямоугольника, высота которого равна значениюf(x) в средней точке подынтервала (рис. 5).

 

 

Рис. 5. Геометрическая интерпретация метода «средних» прямоугольников.

 

Тогда формула численного интегрирования имеет вид (6):

     (6)

Метод прямоугольников – это наиболее простой и вместе с тем наиболее грубый метод приближенного интегрирования. Очевидно, что чем больше будет числоnотрезков разбиения, тем более точный результат дадут формулы (4)-(6). Однако увеличение числа отрезков разбиения промежутка интегрирования не всегда возможно. Поэтому большой интерес представляют формулы, дающие более точные результаты при том же числе точек разбиения. Заметно меньшую погрешность дает другой метод – метод трапеций.

 

Метод трапеций:

В этом методе отрезок [a; b]так же разбивается наnравных частей. На каждом отрезке [xi; xi+1] криваяy = f(x)заменяется прямой, проходящей через две известные точки с координатами и , где и строится прямоугольная трапеция с высотой (рис. 6).

 

 

Рис. 6. Геометрическая интерпретация метода трапеций.

 

В итоге искомая площадь криволинейной трапеции приближенно заменяется суммой площадей элементарных геометрических трапеций. (Площадь трапеции с высотой h и основаниями a, b вычисляется по формуле: ). Из геометрических соображений понятно, что площадь такой фигуры будет, вообще говоря, более точно выражать площадь криволинейной трапеции, нежели площадь ступенчатой фигуры, рассматриваемая в методе прямоугольников.

Тогда

вынесем h за скобку, получим

разобьем каждую дробь на две дроби

приведем подобные слагаемые, получим

.

Итак, .

 

 

Коротко полученную формулу можно записать в виде (7).

    (7)

Заметим, что в данном методе получаем ступенчатую фигуру, составленную из трапеций, которая «плотнее» прилегает к заданной криволинейной трапеции, нежели фигура, составленная из прямоугольников в предыдущем методе.

 

Метод парабол (Симпсона):

Значительное повышение точности приближенных формул численного интегрирования дает метод парабол (Симпсона). Идея метода исходит из того, что на частичном промежутке дуга некоторой параболы в общем случае теснее прилегает кривой y = f(x), чем хорда, соединяющая концы дуги этой кривой (метод трапеций). Поэтому значения площадей соответствующих элементарных трапеций, ограниченных сверху дугами парабол, являются более близкими к значениям площадей соответствующих частичных криволинейных трапеций, ограниченных сверху дугой кривой y = f(x), чем значения площадей соответствующих прямолинейных трапеций.

Рис. 7. Геометрическая интерпретация метода парабол.

 

Рассмотрим функцию y = f(x). Будем считать, что на отрезке [a; b] она положительна и непрерывна. Найдем площадь криволинейной трапеции aABb (рис. 7).

 

Для этого разделим отрезок [a, b] точкой c= пополам и в точке C(c, f(c)) проведем касательную к линии y = f(x). После этого разделим [a, b] точками p и q на три равные части и проведем через них прямые x = p и x = q. Пусть P и Q – точки пересечения этих прямых с касательной. Соединив A с P и B с Q, получим три прямолинейные трапеции aAPp, pPQq, qQBb. Тогда площадь трапеции aABb можно приближенно посчитать по следующей формуле

 

,

где .

 

Откуда получаем

.

Заметим, что aA = f(a),bB = f(b),а pP + qQ = 2f(c) (как средняя линия трапеции), в итоге получаем малую формулу Симпсона

     (8)

В данном случае дуга ACBзаменяется параболой, проходящей через точки A, P, Q, B.

Малая формула Симпсона дает интеграл с хорошей точностью, когда график подынтегральной функции мало изогнут, в случаях же, когда дана более сложная функция, малая формула Симпсона непригодна. Тогда, чтобы посчитать интеграл заданной функции нужно разбить отрезок [a, b] на n частей и к каждому из отрезков применить формулу (8).

Обязательным требованием, вытекающим из геометрического смысла метода парабол, является то, что n должно быть четным. Пусть , точки деления будут х0=а, x1, x2, …xn-2, xn-1, xn=b, а y0, y1, …yn – соответствующие значения подынтегральной функции на отрезке [a, b].

Тогда, применяя малую формулу Симпсона к каждой паре получившихся отрезков, имеем

Тогда .       (9)

Заметим, что во всех выражениях первый множитель равен :

         (10)

Сделав замену по формулам (10), вынося общий множитель за скобку, в (9) получаем:

группируем слагаемые

.

Таким образом, получаем «большую» формулу Симпсона, которая имеет вид:

 (11)

Предлагаем для запоминания следующий вид формулы:

    (11’)

гдеYкр = y0 + yn,Yнеч = y1 + y3 + … + yn-1,Yчет = y2 + y4 + … + yn-2,а .

 

 

1.2 Постановка задачи

В рамках этой лабораторной работы необходимо вычислить значение определенного интеграла 3-мя методами: прямоугольников, трапеции, метод парабол (Симпсона).

 

Решить данное уравнение с точностью е = 0.0005 

1.3 Решение

1. Для вычисления этой площади надо отрезок [0, 1] разделить на 10 равных частей.
2. Площадь криволинейной фигуры S можно представить, как сумму площадей элементарных фигур Si.
3. В свою очередь площадь каждой элементарной криволинейной фигуры будем моделировать площадями фигур, который легко вычислить: прямоугольником (левым, правым, средним), трапецией и методом Симпсона.

 

a=	1,3	b=	2,5
n1=	6	n2=	12
h1=	0,2	h2=	0,1

 

 

i	x	f(x)	f(xi)h	xср	f(xср)	f(xср)h
0	1,3	2,092845	0,209284495	1,35	2,155226206	0,215523
1	1,4	2,2181073	0,22181073	1,45	2,281446909	0,228145
2	1,5	2,3452079	0,234520788	1,55	2,409356761	0,240936
3	1,6	2,4738634	0,247386338	1,65	2,538700455	0,25387
4	1,7	2,6038433	0,260384331	1,75	2,669269563	0,266927
5	1,8	2,7349589	0,273495887	1,85	2,800892715	0,280089
6	1,9	2,8670542	0,286705424	1,95	2,933428029	0,293343
7	2	3	0,3	2,05	3,066757245	0,306676
8	2,1	3,1336879	0,313368792	2,15	3,200781155	0,320078
9	2,2	3,2680269	0,326802693	2,25	3,335416016	0,333542
10	2,3	3,4029399	0,340293991	2,35	3,470590728	0,347059
11	2,4	3,5383612	0,35383612	2,45	3,606244584	0,360624
12	2,5	3,6742346	0,367423461	1,25	2,031009601	0,203101

 

i	x	f(x)	f(xi)h	xср	f(xср)	f(xср)h
0	1,3	2,092845	0,209284495	1,4	2,218107301	0,221811
1	1,5	2,3452079	0,234520788	1,6	2,473863375	0,247386
2	1,7	2,6038433	0,260384331	1,8	2,734958866	0,273496
3	1,9	2,8670542	0,286705424	2	3	0,3
4	2,1	3,1336879	0,313368792	2,2	3,268026928	0,326803
5	2,3	3,4029399	0,340293991	2,4	3,538361203	0,353836
6	2,5	3,6742346	0,367423461	1,25	2,031009601	0,203101

 

 

 

 

Площади фигур, найденных методами указанных выше в Microsoft Excel:

 

 

	Excel			Excel
Лев.прям	3,367890		Лев.прям	3,289116
Прав.прям	3,526029		Прав.прям	3,605394
Сред.прям	3,446811		Сред.прям	3,446664
Трап	3,446959		Трап	3,447255
Симпс	3,446861		Симпс	3,446863