Численное интегрирование

Требуется построить интерполирующую функцию F(x), принимающую в узлах интерполяции те же значения, что и f(x).

Геометрически это означает, что нужно найти некоторую кривую y=F(x) определённого типа, проходящую через заданную систему точек.

В такой постановке задача интерполяции, может иметь бесчисленное множество решений, однако задача становится однозначной, если вместо произвольной функции F(x) искать полином Pn(x) степени n.

Полученную интерполяционную формулу обычно используют для приближенного вычисления значений данной функции f(x) в точках х, которые отличны от узлов интерполирования.

Наиболее часто для определения функции φ(Х) используется постановка, называемая постановкой задачи интерполяции.

В этой классической постановке задачи интерполяции требуется определить приближенную аналитическую функцию φ(Х), значения которой в узловых точках Хiсовпадают со значениями Y(Хi) исходной таблицы, т.е. условий .

Построенная таким образом аппроксимирующая функция φ(Х) позволяет получить достаточно близкое приближение к интерполируемой функции Y(X) в пределах интервала значений аргумента [Х0; Хn], определяемого таблицей. При задании значений аргумента Х, не принадлежащих этому интервалу, задача интерполяции преобразуется в задачу экстраполяции. В этих случаях точность значений, получаемых при вычислении значений функции φ(Х), зависит от расстояния значения аргумента Х от Х0, если Х <Х0 , или от Хn , если

При математическом моделировании интерполирующая функция может быть использована для вычисления приближенных значений исследуемой функции в промежуточных точках подынтервалов [Хi; Хi+1]. Такая процедура называется уплотнением таблицы.

Алгоритм интерполяции определяется способом вычисления значений функции φ(Х). Наиболее простым и очевидным вариантом реализации интерполирующей функции является замена исследуемой функции Y(Х) на интервале [Хi; Хi+1] отрезком прямой, соединяющим точки Yi , Yi+1.

 

3.3 Решение

Исходная таблица значений

X	-3	-1	1	3
Y(X)	7	-1	4	3

 

Линейная интерполяция
X	-3	-2	-1	0	1	2	3
Yисходн	7		-1		4		3
YЛ(X)	7	3	-1	1,5	4	3,5	3

 

 

 

 

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
YК(X)	7	0,1875	-1	1,0625	4	5,4375	3

 

 

 

 

 

Интерполяция полиномом Лагранжа
i	qi	X	-3	-2	-1	0	1	2	3
0	-0,145833	l0(x)	7	2,1875	0	-0,4375	0	0,4375	0
1	-0,0625	l1(x)	0	-0,9375	-1	-0,5625	0	0,3125	0
2	-0,25	l2(x)	0	-1,25	0	2,25	4	3,75	0
3	0,0625	l3(x)	0	0,1875	0	-0,1875	0	0,9375	3
		YL(X)	7	0,1875	-1	1,0625	4	5,4375	3

 

Интерполяция полиномом Ньютона
i	X	Y	Δyi	Δ2yi	Δ3yi	hi	i!
0	-3	7	-8	13	-19	1	1
1	-1	-1	5	-6		2	1
2	1	4	-1			4	2
3	3	3				8	6

 

h=	2
a0	7
a1	-4
a2	1,625
a3	-0,3958333

 

X	-3	-2	-1	0	1	2	3
YNf(X)	7	-99	-1	149	199	-3	-609
YN1(X)	7	0,1875	-1	1,0625	4	5,4375	3
YN2(X)	7	0,1875	-1	1,0625	4	5,4375	3

 

Сводная таблица результатов интерполяции
X	-3	-2	-1	0	1	2	3
Yисходн	7		-1		4		3
YЛ(X)	7	3	-1	1,5	4	3,5	3
YК(X)	7	1,8875	-1	1,7875	4	1,3875	3
YL(X)	7	1,8875	-1	1,7875	4	1,3875	3
YN(X)	7	1,8875	-1	1,7875	4	1,3875	3

 

 

 

 

 

Вывод

Была сделана интерполяция тремя способами: полином Лагранжа, полином Ньютона и канонический полином. В итоге все окончательные значение интерполируемой функции оформлены в виде таблицы и диаграммы.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4. Аппроксимация таблицы методом наименьших квадратов

 

4.1 Теория

Совпадение значений исходной и интерполирующей функций в узловых точках таблицы не всегда достаточно точно отражает поведение реального физического процесса. В случаях, когда значения функции, записанные в таблицу, получены экспериментально, они, как правило, несут в себе некоторую измерительную погрешность. По этой причине при построении аналитической функции, предполагающей наличие погрешностей в результатах измерений, нет необходимости добиваться точного совпадения аппроксимирующей функции с исходной табличной. Требуется построить функцию, учитывающую характер исследуемого процесса.

Одним из распространенных в инженерной практике методов получения аппроксимирующих зависимостей является графоаналитический метод. В этом методе по таблице, полученной в результате экспериментальных исследований, строится точечный график, а затем проводится плавная кривая наилучшим образом сглаживающая имеющуюся точечную зависимость.

Рис.1. Пример табличной функции и аппроксимирующей функции, построенной графически.

 

Расстояние между двумя множествами точек yi и fiобычно определяется по формуле

 

где yi, значения функции, полученные экспериментально, а fi , вычисленные значения аппроксимирующей аналитической функции.

Таким образом, задача нахождения аппроксимирующей функции формулируется следующим образом: для таблично заданной функции y(xi) необходимо определить аналитическую функцию F(x), обеспечивающую минимальное значение расстояния (2) между этими функциями.

Для решения этой задачи используется метод, называемый методом наименьших квадратов (МНК), а задача называется задачей построения приближающей функции методом наименьших квадратов.

В качестве аппроксимирующих функций в зависимости от характера точечного графика исходной функции y(xi) используются следующие функции:

 

 

4.2 Постановка задачи

Для функции, заданной таблицей, вычислить значения коэффициентов аппроксимирующих функций линейной и квадратичной регрессии. Построить объединённые таблицы, включающие исходную таблицу, таблицу, полученную по формуле линейной регрессии и по формуле квадратичной регрессии. После чего построить объединённую диаграмму этих зависимостей.

 

При решении различных практических задач результаты исследований оформляются в виде таблиц, отображающих зависимость одной или нескольких измеряемых величин от одного определяющего параметра (аргумента). Такого рода таблицы представлены обычно в виде двух или более строк (столбцов) и используются для формирования математических моделей.

Ограниченность информации, представленной такими таблицами, в ряде случаев требует получить значения функций Y(Xj) (j=1,2,…,m) в точках Хj, не совпадающих с узловыми точками таблицы Хi(i=0,1,2,…,n). В таких случаях необходимо определить некоторое аналитическое выражение F(Х) для вычисления приближенных значений исследуемой функции Y(X) в произвольно задаваемых точках Х. Формула

f = F(Х),

используемая для определения приближенных значений функции Y(X), называется эмпирической формулой или уравнением регрессии y на x, а функция F(Х) - аппроксимирующей функцией (от латинского approximo- приближаюсь).