Эконометрические исследования математической модели зависимости грузооборота от пассажирооборота

Аналогичная  оценка для показательной функции регрессии находится на уровне линейной, несколько хуже степенной.

 

 

4. Оценка ошибки аппроксимации уравнений регрессии

 

Из приведенных в таблицах расчетных данных следует, что фактическое значение пассажирооборота y (результативный признак) отличаются от теоретических ŷx, рассчитанных по одному из уравнений регрессии. Очевидно, чем меньше это отличие, тем ближе опытные данные к теоретическим значениям и тем лучше качество модели.

Величина, представляющая собой разность опытного и теоретического результативного признака, (y - ŷx ) для каждого опыта представляет собою ошибку аппроксимации функции, связывающей грузооборот и пассажирооборот. В данном случае число таких опытов равно семнадцати. Для оценки каждого опыта используются не сами разности, а их абсолютные  значения разности опытного и теоретического результативного признака отнесенные к опытному, выраженные в процентах, то есть:

 Аi =│(yi-ŷxi)/yi|100%  .

Оценка  качества всей функции регрессии может быть осуществлена как средняя ошибка аппроксимации – средняя арифметическая Аi :

А = (А1 + А2 + …..+ А16 ) / 16 .

Найдем величину средней ошибки аппроксимации линейной функцией связи между грузооборотом и пассажирооборотом:

 

А = 0,5274· 100%  = 52,54 %.

Аналогично получим среднюю ошибку аппроксимации для степенной А = 52,47 % и для показательной функций   А = 77,48 %.

 

 

5. Сравнительная оценка силы связи грузооборота и пассажирооборота с помощью среднего коэффициента эластичности

 

Средний коэффициент эластичности Э показывает, на сколько процентов в среднем изменится пассажирооборот y от своей средней величины при грузооборота x на 1% от своего среднего значения. Он может быть вычислен по формуле:

                          Э = y' (x)· / ŷ¯.

С учетом приведенной формулы средний коэффициент эластичности Э для линейной функции регрессии

                 ŷx = 3198,5945 + 0,1081 · x

примет вид: 

Э = y' (x)· / ŷ¯= b· / ( a + b ) = 0,1081· 68695,625/ (3198,5945 + 0,1081· 68695,625) = 0,6989.

 

Коэффициент эластичности Э для степенной функции регрессии   

           ŷ x = 2,30116 x 0,74371

вычисляется по соотношению:

 

Э = y' (x)· / ŷ¯= a·b·xb¬1·( x/a·xb) = b = 0,7437.

Коэффициент эластичности Э для показательной функции регрессии ŷx =  1722,8224 (1,00004) x  

 

6. Оценка статистической надежности результатов линейного регрессионного моделирования

 

Оценка статистической надежности уравнения регрессии в целом будем производить с помощью F-критерия Фишера. При этом примем нулевую гипотезу H0, что коэффициент регрессии b равен нулю. В таком случае фактор x не оказывает влияние на результат y, то есть грузооборот  не оказывает влияния на пассажирооборот. Альтернативная  гипотеза H1 будет состоять в статистической надежности линейного регрессионного моделирования. Для установления истинной значимости линейной модели необходимо выполнить сравнение факторного Fфакт и критического (табличного) Fтабл значений F-критерия Фишера. Факторный F-критерий Фишера вычисляется по формуле:

Fфакт = Sфакт2 / Sост2,

где  Sфакт2 – фактическая выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

 

Sфакт2 = ((ŷ x1 -

)2 +  (ŷ x2 - )2 + ....+ (ŷ x17 - )2)/ 1;

          Sост2 - остаточная выборочная дисперсия, вычисленная на одну степень свободы по соотношению:

 

Sост2 = ( (y1 - ŷx1)2 +  (y2 - ŷx2)2 + ....+ (y17 - ŷx17)2 )/ n - 2;

 

   Если нулевая гипотеза  справедлива, то факторная и остаточная  выборочные дисперсии не отличаются  друг от друга. Для опровержения  нулевой гипотезы H0 необходимо, чтобы факторная дисперсия превышала остаточную дисперсию в несколько раз. Табличное Fтабл значений F-критерия Фишера – это максимальное величина критерия (отношения дисперсий) под влиянием случайных факторов при данных степенях свободы и уровне значимости α, который примем равным 0,05.

Если Fтабл < Fфакт , то нулевая гипотеза о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и  оцениваемой модели отвергается и признается их статическая значимость и надежность. Если Fтабл > Fфакт, то нулевая гипотеза не отклоняется и признается статическая не значимость и ненадежность уравнения регрессии.

        По таблице  значений F-критерия Фишера при уровне значимости α = 0,05 и степенях свободы к1 = 1, к2 = 14 получаем Fтабл = 4,63. Выполнив расчет получим Fфакт = 162481642,732 : (1074417113,03:14) = 2,11718

Полученные значения F-критерия Фишера указывают, что Fтабл < Fфакт, поэтому необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и оцениваемой модели и  принять альтернативную гипотезу.

 

 

 

7. Расчет прогнозного значения грузооборота по линейной модели при увеличении пассажирооборота дороги

 

Полученное уравнение линейной регрессии позволяет использовать его для прогноза. Согласно заданию на курсовую работу следует рассчитать прогнозное значение грузооборота, если прогнозное значение пассажирооборота увеличиться на 10% от ее среднего значения. При этом установить доверительный интервал прогноза для уровня значимости равном 0,05.

Если прогнозное значение грузооборота составит:

xp = 1,1·

= 1,1· 68695,625 = 75565,1875

то прогнозное точечное значение пассажирооборота можно вычислить по соотношению:

 

ŷp = 3198,5945 +0,1081·xp=3198,5945 + 0,1081·75565,1875 = 11367,91

 

Для определения доверительного прогноза необходимо вычислить ошибку прогноза по формуле:

 

mŷp=Sост·(1+1/7+( xp - )2/( (x1 - )2 +(x2 - )2+...+(x7 –

 

)2))1/2 = 2191,7478 · ((1 + 1/7+ (75565,1875 – 68695,625)2 / ( 1391225693,75))1/2 = 127,65

 

Предельная ошибка прогноза, которая с вероятностью 0,95 не будет превышена, составит:

   ∆ŷp = tтабл · mŷp = 2,1315· 127,65 = 272,086

 

Здесь tтабл табличное значение t-статистки Стьюдента для числа степеней свободы n-2= 14 и уровне значимости 0,05.

Тогда предельные значения доверительного интервала прогноза грузооборота при прогнозируемом увеличении пассажирооборота на 10% можно вычислить по формулам:

 ŷxpmin = ŷxp - ∆ŷp = 11367,91- 272,086= 11095,824;

 ŷxpmax = ŷxp + ∆ŷp = 11367,91+ 272,086= 11639,996.

Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при   достаточной надежности (вероятность 0,95), она  достаточно точна, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,049.

 

8. Реализация решенных задач на компьютере

 

Определение линейной функции регрессии выполним с помощью ППП Excel. Реализацию осуществим на компьютере с применением встроенной статистической функции ЛИНЕЙН. Она позволяет вычислить параметры линейной регрессии:

Ŷx = a + b · x .

Вся регрессионная статистика будет выводиться по схеме:

 

значение коэффициента b		значение коэффициента а
Среднеквадратическое откл. b		среднеквадратическое.	откл а
коэффициент детерминации		среднеквадратическое	откл y
F-статистика		число степеней свободы
регрессионная сумма квадрат.		остаточная сумма квадратов

 

Алгоритм вычисления регрессионной статистики включает следующие этапы:

1.Подготовку исходных данных.

2.Выделение области пустых ячеек  5 x 2  для вывода результатов регрессионной статистики.

3.Активизировать Мастер функций  одним из способов:

а) в главном меню выбрать ВСТАВКА/ФУНКЦИЯ;

в) на панели СТАНДАРТНАЯ щелкнуть по кнопке ВСТАВКА ФУНКЦИИ.

4.В окне КАТЕГОРИЯ выбрать  СТАТИСТИЧЕСКИЕ, в окне ФУНКЦИЯ – ЛИНЕЙН. Далее щелкнуть по кнопке ОК;

5.Заполнить аргументы функции.

6.В левой верхней ячейке выделенной  области появится первый элемент  итоговой таблицы. Для раскрытия  всей таблицы необходимо нажать  на клавишу «F2», а затем нажать на комбинацию клавишей «CTRL» + «SHIFT» + «ENTER».

 

Ниже приводятся результаты регрессионной линейной математической модели грузооборота в зависимости от пассажирооборота  по статистическим данным РФ.

Значение коэффициента  b  0,108069553	Значение коэффициента  a  3198,59452
Среднеквадр. отклонение  b  0,074271748	Среднеквадр. отклонение  а  5552,33103
Коэффициент детерминации  0,13136212	Среднеквадр. отклонение  y  8760,36983
F - статистика  2,17118798	Число степеней свободы 14 5
Регрессионная сумма квадратов  162481642,7	Остаточная сумма квадратов  1074417113

 

Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета прикладных программ Excel и согласно разработанных в курсовой работе алгоритмов (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Эконометрика»), показало высокую степень их совпадения.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Выводы

 

1. В настоящей курсовой работе решена задача разработки математической модели грузооборота в зависимости от пассажирооборота. Исходными данными для ее расчета явились реальные значения расходов на железнодорожные перевозки и длинами 17 дорог, расположенных на территории РФ. Для обоснования модели в курсовой работе рассмотрены линейная, степенная и показательная математические модели.
2. Выполнена оценка тесноты связи грузооборота и пассажирооборота с помощью показателей корреляции и детерминации. Сравнение показателей степени связи между грузооборотов и пассажирооборотами показывают, что степенная модель  несколько лучше линейной модели и показательной  модели.
3. Проведена оценка с помощью ошибки аппроксимации качества уравнений регрессии. Их анализ говорит, что  ошибка аппроксимации находится в допустимых для практического использования пределах, однако с теоретической точки зрения может быть продолжен поиск более качественной функции регрессии.
4. Осуществлена сравнительная оценка силы связи фактора (пассажирооборота) с результатом (грузооборота) с помощью среднего коэффициента эластичности. Из анализа разработанных математических моделей следует, что изменение на 1% пассажирооборота приводит к увеличению грузооборота перевозки. При этом, по линейной модели это увеличение составляет 0,699%, по степенной функции регрессии – 0,744%.
5. Полученные значения F-критерия Фишера при анализе качества линейного уравнения регрессии указывают, что Fтабл < Fфакт , а, следовательно, необходимо отвергнуть нулевую гипотезу о случайной природе коэффициента регрессии, а, следовательно, и оцениваемой модели и принять альтернативную гипотезу.
6. Выполненный прогнозный расчет по линейной регрессионной модели показал, что при   достаточной надежности (вероятность 0,95), она  достаточно точна, так как отношение значений верхней и нижней границ доверительного интервала составляет 1,049.
7. Сравнение результатов расчетов, выполненных на основе пакета прикладных программ Excel и согласно разработанных в курсовой работе алгоритмов (в соответствии с изученными методами в дисциплине «Эконометрика»), показало высокую степень их совпадения.