Дифференциальные уравнения фильтрации

СОДЕРЖАНИЕ

1 Дифференциальные уравнения  фильтрации

2 Закон Дарси

2.1 Верхняя граница применимости  закона Дарси

2.2 Отклонения от закона  Дарси при малых скоростях  фильтрации

3 Нарушение закона Дарси. Нелинейные законы фильтрации

Список использованных источников

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ВВЕДЕНИЕ

Подземная гидромеханика - теоретическая основа разработки нефтяных, газовых и газоконденсатных месторождений. Подземная гидромеханика – наука о движении жидкостей, газов, их смесей в пористых и трещиноватых горных породах. Движение жидкостей и газов происходит по извилистым и очень малым по размерам порам, поэтому оно имеет свои особенности и называется фильтрацией.

Начало развитию подземной гидромеханики было положено французским инженером А. Дарси, который в 1856 году при строительстве водопровода в городе Дижоне заинтересовался очисткой воды при фильтрации её через песок и опубликовал обнаруженный им экспериментальный закон. В последнее время интенсивно развиваются: теория многофазной многокомпонентной фильтрации; подземная гидромеханика неньютоновских жидкостей, теории и методы расчета теплового воздействия на пласт, другие разделы подземной гидромеханики. Это требует знания громоздкого математического аппарата, численных методов решения задач математической физики.

В данной курсовой работе мы стремится рассказать об основах подземной гидродинамики, привести примеры расчета простейших задач, которые наиболее часто встречаются при разработки месторождений.

 

 

 

 

 

 

 

1 ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ УРАВНЕНИЯ ФИЛЬТРАЦИИ

 Подземная гидромеханика является основой современной технологии нефтедобычи и добычи газа и имеет обширные области приложения в гидрогеологии, гидротехнике, инженерной геологии.

История развития подземной гидромеханики можно разделить на два периода. В течение первого периода, начавшегося в середине прошлого века и окончившегося в 1917-1920 гг., подземная гидромеханика развивалась почти исключительно под влиянием запросов техники водоснабжения, ирригации и гидротехнического строительства. Поэтому в течение первого периода решались общие задачи теории фильтрации, движения естественных подземных водных потоков, притока воды к грунтовым колодцам, артезианским скважинам, водосборным галереям, дренажным каналам и т. д.

Проблемы вытеснения нефти водой и газом из пласта в скважины, проблема движения газированной нефти в пористой среде, специфические задачи размещения нефтяных и газовых скважин - эти и им подобные задачи собственно нефтяной подземной гидромеханики не ставились в течение первого упомянутого периода.

Горные породы, которые могут служить вместилищами нефти и газа и способные отдавать их при разработке, называются коллекторами. В зависимости от геометрии пустот коллекторы различают пористые или трещиноватые.

Природные жидкости (нефть, газ, подземные воды их смеси) находятся, в основном, в пустотах (порах и трещинах) коллекторов. Их движение происходит либо вследствие естественных процессов (миграция углеводородов), либо в результате деятельности человека, связанной с извлечением полезных ископаемых, строительством и эксплуатацией гидротехнических сооружений.

Находящиеся в пустотном пространстве пласта природные жидкости называют флюид, подразумевая под ним любую из них. Флюид, находящийся в коллекторе, может находиться в состоянии покоя или двигаться.

Фильтрацией называется движение жидкостей, газов, их смесей в пористых и трещиноватых средах, то есть в твердых телах, пронизанных системой сообщающихся между собой пор и микротрещин. Фильтрация жидкостей и газов по сравнению с движением в трубах и каналах обладает некоторыми специфическими особенностями: происходит по чрезвычайно малым в поперечных размерах поровым каналам при очень малых скоростях движения жидкостей; силы трения при движении жидкости в пористой среде очень велики, так как площади соприкосновения жидкости с твердыми частицами огромны.

Фильтрация может быть обусловлена воздействием различных сил: градиентом давления, концентрации, температуры, капиллярными, электромолекулярными и др. силами. В подземной гидромеханике рассматривают течения, вызываемые действием градиента давления и силы тяжести.

Движение флюидов в малопроницаемых толщах осадочных горных породах имеет особенности, существенно отличающие нефтегазовую подземную гидромеханику не только от обычной гидродинамики (движение жидкостей в открытом пространстве), но и от процессов фильтрации в химической технологии или гидромелиорации.

Для того чтобы описать этот процесс количественно, вводят некоторую схематизацию пористой среды.

Рис. 1.1. Шлиф нефтяного песчаника. (можно нарисовать наоборот – зерна черные, пустоты белые).

Поровое пространство осадочных горных пород - сложная нерегулярная система сообщающихся межзернистых пустот, в которой трудно выделить отдельные поровые каналы (рис. 1.1). Размеры пор в песчаных породах составляют обычно единицы или десятки микрометров (мкм).

Движение флюидов в пласте происходит с очень маленькими скоростями, порядка микрометров в секунду. Поэтому процесс фильтрации с высокой степенью точности считают изотермическим.

При фильтрации возникает значительная сила трения. При движении флюидов в пустотном пространстве коллектора соприкосновение между твердым скелетом и жидкостью происходит по огромной поверхности. В 1 м3 пористой породы площадь поверхности пустотного пространства достигает 10 000 м2. Жидкости приходится, таким образом, преодолевать огромную силу трения, а трение между жидкостью и твердым телом обусловлено вязкостью (основное свойство флюида).

Основным свойством жидкости, которое влияет на ее фильтрацию, является вязкость.

Под пористой средой подразумевается множество твердых частиц, весьма тесно прилегающих друг к другу. Пустое пространство между ними может быть заполнено жидкостью или газом.

Если в пористой среде, содержащей жидкость или газ, будет создан градиент напора, то начнется движение жидкости в направлении от большого напора к меньшему - фильтрация.

Кроме вязкости, поверхностно-активные свойства также влияют на процесс фильтрации.

Пористая среда представляет собой совокупность твердых частиц разнообразной формы и различных размеров, тесно прилегающих друг к другу, сцементированных или несцементированных, пространство между которыми (поры, трещины) может быть заполнено жидкостью или газом.

Поровое пространство природного пласта, ввиду сложности и нерегулярности его структуры, можно рассматривать как систему с большим числом однородных элементов, слабо связанных между собой.

Макроскопическое фильтрационное течение пластовых флюидов проявляется как совокупность множества отдельных микродвижений в неупорядоченной системе поровых «каналов». С возрастанием числа таких микродвижений начинают проявляться статистические закономерности, характерные для движения в целом, но не для одного порового канала или нескольких каналов. При определении физических характеристик вводятся эффективные (фиктивные) величины, которые размазываются по всему объему. Такое эффективное описание физических процессов называется макроскопическим.

Это позволяет в качестве исходного допущения теории фильтрации принять, что пористая среда и насыщающие ее флюиды образуют сплошную среду, т.е. заполняют любой выделенный элементарный объем порового пространства непрерывно. Под «элементарным объемом» в теории фильтрации понимают такой физически бесконечно малый объем, в котором заключено большое число пор и зерен, так что он достаточно велик по сравнению с размерами пор и зерен породы. Для такого элементарного объема вводятся локальные усредненные характеристики системы флюид - пористая среда. В применении к меньшим объемам выводы теории фильтрации становятся несправедливыми.

В случае если объем пор при изменении давления жидкости в них не изменяется, то такая пористая среда считается недеформируемой.

Если же изменением объема порового пространства пренебречь нельзя, то такую пористую среду следует рассматривать как деформируемую.

В некоторых случаях естественные пласты сложены так плотно, что фильтрация, как таковая, крайне незначительна и не имеет практического значения. Тем не менее, скважины, которые пробурены в такой породе, иногда дают нефть, воду или газ. Это может быть обусловлено трещиноватостью. Песчаники или известняки, пронизанные трещинами различного размера, образуют трещиновато-пористую среду. Таким образом, помимо фильтрации, возможно движение жидкости в трещинах. Движение в трещинах приближается к движению в трубах. Жидкость движется, как поток, текущий в трубе прихотливой формы.

Рис. 1.2. Модель пористой среды – пласта. f – площадь. Далее по тексту площадь обознач. S.

Представим себе трубку, являющуюся моделью газового или нефтяного пласта (рис. 1.2). Пусть трубка заполнена пористой средой и до предела насыщена жидкостью. Предположим, что в двух сечениях трубы созданы разные давления р1 и р2, причем давление р1 больше, чем давление р2. Под действием разности давлений жидкость начинает двигаться.

Важнейшей из характеристик пористой среды является коэффициент пористости. Коэффициентом пористости m называется отношение объема пор вобразце Vпор к объему образца V:

m =Vпор/V

Под пористостью понимается активная пористость, которая учитывает только те поры и микротрещины, которые соединены между собой и через которые может фильтроваться жидкость.

В ряде случаев твердые зерна породы обволакиваются тонкой пленкой, остающейся неподвижной при обычных градиентах давления. В этом случае подвижная жидкость будет занимать объем, несколько меньший объему пустот. Кроме того, в реальной пористой среде бывают тупиковые поры, в которых движение жидкости задерживается ввиду образования застойных областей. Таким образом, наряду с геометрической пористостью, определенной выше, часто пользуются понятием динамической пористости, подразумевая под ней отношение объема, занятого подвижной жидкостью, ко всему объему пласта. В дальнейшем под пористостью будем подразумевать динамическую пористость. Для реальных пластов - коллекторов нефти, воды или газа - значения m обычно лежат в пределах 0,15 - 0,22, причем, конечно, возможны значительные отклонения в ту и другую сторону.

Равенство определяет среднюю пористость рассматриваемого элемента. Обычно различают полную и эффективную пористости. При определении последней учитываются лишь соединенные между собой поры, которые могут быть заполнены жидкостью извне. При изучении процессов фильтрации важна именно эффективная пористость. Поэтому в дальнейшем под пористостью будем понимать активную или эффективную пористость.

Коэффициентом просветности n называется отношение площади просветов ωпр в данном сечении пористой среды ко всей площади этого сечения ω:

n =ωпр/ω

Площадь просветов различна в различных поперечных сечениях ω пр(х).

Поперечным сечением ω называется поверхность, проведенная перпендикулярно направлению скорости.

Значение просветности и пористости может изменяться в пределах от 0 до 1.

При определенных допущениях можно доказать, что в данной точке пласта просветность не зависит от выбора направления сечения и равна пористости: n=m. Еще одна важная характеристика пористой среды – удельная поверхность пор, приходящаяся на единицу объема пористой среды. Под удельной поверхностью пор Σ (сигма прописная), рассчитанной на единицу объема пористой среды, понимают отношение площади поверхности пустотного пространства пористой среды SП ко всему объему пористой среды V:

 

Удельная поверхность пор, в отличие от пористости и просветности, которые безразмерны, имеет размерность м - 1.

Коэффициент пористости одинаков для геометрически подобных сред; он не характеризует размеры пор и структуру порового пространства. Поэтому для описания пористой среды необходимо ввести также некоторый характерный размер порового пространства. Существуют различные способы определения этого размера. Естественно, например, за характерный размер принять некоторый средний размер порового канала d или отдельного зерна пористого скелета.

Первые теоретические исследования порового пространства проводили при помощи идеализированных моделей грунта, называемых идеальным или фиктивным грунтом. Это связано с тем, что поровые каналы имеют неправильную форму и самые разнообразные размеры, поэтому невозможно исследовать движение частиц жидкости или газа по всему множеству каналов; невозможно точно знать формы и размеры каждого из этого множества каналов, прорезающих толщу реальной пористой породы.

Фиктивным грунтом (корпускулярным) называется модель пористой среды, состоящей из шариков одинакового диаметра.

Под идеальным грунтом (капиллярным) понимается модель пористой среды, поровые каналы которой представляют пучок тонких цилиндрических трубок (капилляров) с параллельными осями.

В конце прошлого столетия американский гидрогеолог Чарльз Слихтер развил упрощенную теорию фильтрации, позволяющую сравнивать движение жидкости по поровым каналам с течением жидкости по цилиндрическим трубкам. Основываясь на модели фиктивного грунта, он рассмотрел также геометрическую задачу, позволяющую связать пористость с углами, образованными радиусами соприкасающихся шаров, моделирующих пористую среду, при их различной упаковке.