Картография

Введение

 

Численные методы анализа  эмпирических данных используются в  науке и инженерных отраслях вот уже более 300 лет.

Фактически, сегодня можно  с уверенностью утверждать, что геологические  науки, в самом широком смысле этого термина, вплотную подошли к созданию реальных пространственно временных моделей и реконструкции реальных процессов, происходящих и происходивших на Земле и в ее недрах.

Легкость, с которой  сегодня могут быть получены эмпирические данные приводит к появлению опасной тенденции, не обращать внимание на их качество, тщательно отслеживая только процедуры последующей обработки и анализа. Автоматизация инструментальных средств измерения, генерации данных и их анализа должна включать методы оценки качества, как на этапе получения данных, так и на этапе их обработки. К сожалению, это делается далеко не всегда. Производители оборудования обычно разрабатывают и изготовляют его, предполагая, что они хорошо знают, чего хочет от него потребитель. Как правило, это приводит к допущению, что автоматизированное обеспечение контроля качества измерений менее важно чем низкая стоимость, удобство пользования, скорость и длительность срока эксплуатации.

Например, при использовании  трехмерных (3D) координат точек, описывающих топографию местности для двух разных эпох, отличия в координатах, а следовательно, в полученных по ним поверхностям рельефа, могут быть обусловлены следующими основными причинами: 1) координатные сетки (datums) для разных эпох могут быть различными; 2) различия в данных могут определяться различиями в методах их интерполяции; 3) наконец, топография могла просто измениться за указанное время.

 

1 Понятие об  отображении земной поверхности  на плоскости

 

Физическая поверхность  Земли имеет неправильную форму  и потому не может быть описана замкнутыми формулами. В силу этого, для решения задач, эту поверхность заменяют математически правильной поверхностью. В самом точном приближении таковой поверхностью является поверхность геоида.

Геоид – это геометрическое тело, ограниченное уровенной поверхностью морей и океанов, связанных между собой и имеющих единую водную массу. В каждой своей точке эта поверхность нормальна направлению силы тяжести.

Геоид тоже не может быть описан замкнутыми формулами. Вместо него, в качестве поверхности относимости, используется эллипсоид вращения с малым сжатием, причем, берут его таких размеров и так ориентируют в теле Земли, чтобы он напоминал геоид – это референц- эллипсоид (земной эллипсоид, рис.1.).

Рис.1. эллипсоид

 

В разных странах приняты  свои референц- эллипсоиды, различающиеся своими параметрами (см.табл.). В нашей стране используется референц-эллипсоид Красовского.

Эллипсоид вращения – это тело, образованное вращением эллипса вокруг полярной оси.

 

Рис. 2.

 

В случае использования  эллиптической модели Земли, мы должны учитывать параметры определяющие главную (большую) и второстепенную (малую) оси эллипса (рис. 3.). Параметр сжатия (уплощения) определяется как отношение этих осей и примерно равен 0.003353.

Рис. 3.

 

Для решения практических задач, земная поверхность может быть принята за сферу (рис. 4.).

           Рис. 4.

 

Сжатием эллипсоида можно  пренебречь в следующих случаях:

1) При создании мелкомасштабных  обзорных карт

2) Когда при заданных  величинах искажений невозможно  получить

непосредственно проекцию эллипсоида на плоскости.

В этих случаях прибегают  к двойным преобразованиям:

Эллипсоид                 Сфера                   Плоскость

Размеры земной сферы  могут быть получены по-разному. В  частности, можно потребовать, чтобы земная сфера имела равную площадь с эллипсоидом. Если сфера равновелика с поверхностью эллипсоида, то ее радиус равен 6 376 116 метров. Можно потребовать, чтобы сфера была равна объему эллипсоида, тогда ее радиус будет равен 6 376 110 метров.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 Понятие о  картографической проекции

 

Проблема изображения  земной поверхности на плоскости  решается в два этапа:

1. Неправильная физическая  поверхность Земли отображается  на математически правильную поверхность (поверхность относимости).

2. Поверхность относимости  отображается на плоскости (по тому или иному закону). В результате получаем картографические проекции.

Картографическая проекция позволяет установить зависимость  между точками на земной поверхности и на плоскости (карте).

Картографическая проекция – определенный математический закон отображения одной поверхности на другую, при следующих условиях:

1) точки, взятые на  одной поверхности, соответствуют  точкам на другой поверхности  и наоборот;

2) непрерывному перемещению  точки на одной поверхности  соответствует перемещение на второй поверхности.

Картографическая проекция – определенный способ отображения одной поверхности на другую, устанавливающий аналитическую зависимость между координатами точек эллипсоида (сферы) и соответствующих точек плоскости.

Пусть на поверхности сфероида (S) задана замкнутая область D, ограниченная замкнутым контуром L (рис. 5.). Положение точки М на этой поверхности определено координатными линиями λ=const, φ=const.

Рис. 5.

Пусть этой точке М  на плоскости в прямоугольных  координатах X и Y соответствует точка М’ (рис. 6.).

Рис. 6. плоскость

 

Тогда между этими  точками существует следующая связь:

X=f1 (φ; λ)

Y=f2 (φ; λ)

В этих уравнениях X и Y – плоские прямоугольные координаты изображаемой на плоскости точки, выраженные как функции геодезических координат той же точки на поверхности эллипсоида.

Для того, чтобы эта  функциональная зависимость описывала  картографическое отображение, которое должно быть непрерывное и однозначное, необходимо наложить на функции следующие требования:

1) f1и f2 должны быть однозначны;

2) f1и f2 должны иметь  непрерывные частные производные

3) f1и f2 должны иметь  определитель системы (якобиан)  больше нуля

( H=XφYλ-XλYφ>0 )

Только в этом случае точка М отобразится только одной  точкой М’ и точке М’ будет соответствовать на поверхности единственная точка М.

Если выбрать под  тем или иным условием закон изображения  точек эллипсоида на плоскости, то можно, пользуясь написанными формулами, получить формулы для перехода от расстояний и углов на поверхности эллипсоида к соответствующим расстояниям и углам на плоскости.

Законов изображения  поверхности эллипсоида на плоскости  может быть бесчисленное множество; очевидно, каждый закон изображения определяется видом функций f1 и f2 в приведенных уравнениях.

Картографическая  проекция – однозначное, дважды непрерывно

дифференцируемое с  определителем, отличным от нуля, соответствие между точками поверхности эллипсоида и точками плоскости.

С геометрической точки  зрения условия, накладываемые на функции, означают следующее:

1) бесконечно малому приращению координат на одной поверхности,

соответствует бесконечно малое приращение координат на второй;

2) бесконечно малый  линейный отрезок, взятый на  одной поверхности,

отображается на второй также бесконечно малым линейным отрезком;

3) два линейных бесконечно малых параллельных отрезка, взятые на одной поверхности, отображаются на второй также бесконечно малыми параллельными отрезками;

4) т.к. Н>0 (якобиан), будет  сохраняться направление обхода  контура на одной и второй поверхности.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3 Классификация  картографических проекций

 

Известно, что признаков  для классификации может быть несколько, следовательно, и классификаций может быть несколько; при этом следует заметить, что одни и те же проекции в зависимости от признака могут попасть в разные группы. В настоящее время в нашей стране пользуются классификацией Каврайского. Согласно ей все проекции классифицируются по четырем признакам:

I. Характеру искажения

II. Виду меридианов  и параллелей нормальной сетки

III. Положению полюса  нормальной системы координат

IV. Способу использования

По характеру  искажения

Самым существенным признаком  проекций является свойство изображений.

Неизбежным же свойством  изображений являются искажения. Характер искажений определяется в зависимости от того, что искажается – длина, угол или площадь. Если величина искажений в большей или меньшей степени зависит от размеров и формы изображаемой территории, то характер искажений всецело зависит от самой проекции. Вот почему при выборе проекции решающую роль играет характер искажений.

По характеру искажения проекции делятся на:

1) Равноугольные (конформные) – углы и азимуты передаются без искажений, т.к. масштабы длин в точках не зависят от направления. Как следствие, в этих проекциях сохраняется подобие в бесконечно малых частях. Картографическая сетка в этих проекциях ортогональна. На картах в равноугольных проекциях можно измерять углы и азимуты, на них удобно производить измерение длин по всем направлениям.

2) Равновеликие (эквивалентные) – масштаб площадей остается постоянным и равным единице, а следовательно площади передаются без искажений. На картах в равновеликих проекциях можно делать сопоставление площадей.

3) Равнопромежуточные (эквидистантные) – масштаб по одному из главных направлений сохраняется и равен единице (а=1 или b=1)

4) Произвольные – присутствуют все виды искажений.

Свойства равноугольности, равновеликости, равнопромежуточности одновременно на одной и той же проекции несовместимы. Проекции, на которой всюду отсутствовали бы искажения длин, т.е. было бы сохранено постоянство масштаба, не существует. На карте могут отсутствовать либо искажения углов, либо площадей, но одновременно отсутствовать искажения углов и площадей не могут. Поэтому характерным свойством картографической проекции является обязательное наличие на карте того или иного искажения.

По виду меридианов и параллелей нормальной сетки

Классификация проекций по виду нормальной сетки наиболее наглядна и наиболее проста, и поэтому она легче всего воспринимается. Следует подчеркнуть, что классификация по этому признаку касается только проекций в нормальном положении, вид косых или поперечных сеток будет уже другой, не охватываемый классификацией.

По виду меридианов и параллелей нормальной сетки:

1) Круговые – проекции, у которых меридианы и параллели изображаются окружностями. Экватор и ср. меридиан – прямые линии. Применяются для изображения всей поверхности Земли. (произвольная Гринтена, равноугольная Лагранжа).

          

 

2) Азимутальные – параллели – одноцентренные окружности, меридианы – пучок прямых, расходящихся радиально из центра параллелей. Эти проекции применяются в прямом положении - для полярных территорий; в поперечном - для изображения зап. И вост. полушарий; в косом - для изображения территорий, имеющих округлую форму.

     

 

3) Цилиндрические – параллели - параллельные прямые, перпендикулярные осевому меридиану, причем параллели всегда равноразделенные (отрезки параллелей пропорциональны разностям долгот); меридианы - Все меридианы прямые, перпендикулярные параллелям. Расстояния между меридианами пропорциональны разностям долгот. В этих проекциях можно изобразить весь земной шар. Наиболее выгодны эти проекции для изображения территорий, расположенных вблизи экваториальных широт и растянутых вдоль экватора (или вдоль некоторой стандартной параллели).

        

 

 

4) Конические – параллели - Дуги концентрических окружностей, общий центр которых лежит на осевом меридиане или его продолжении. Параллели равноразделенные, т.е.вдоль каждой параллели отрезки между меридианами одинаковые; меридианы - пучок прямых, расходящихся радиально из точки, являющейся центром параллелей.

Углы между меридианами  пропорциональны разностям их долгот. Эти проекции наиболее выгодны для изображения территорий, расположенных в средних широтах и растянутых вдоль параллелей.