Линии второго порядка в проективной геометрии

Теорема 4. Теорема Штейнера

На проективной плоскости множество точек пересечения соответствующих прямых двух проективных, но не перспективных пучков есть невырожденная кривая  второго порядка. И обратно, два пучка с центрами на кривой второго порядка, у которых соответствующие прямые пересекаются на этой кривой – проективны.

Доказательство:

Пусть даны два пучка с различными центрами O1 и O2 и установлено проективное, но не перспективное отображение f первого пучка на второй. Докажем, что множество γ точек пересечения соответственных прямых этих пучков есть овальная линия, проходящая через точки O1 и O2.

 

 

 

Рисунок 3

Обозначим через m прямую (O1O2) и рассмотрим прообраз n этой прямой m=f(n). Отображение f зададим с помощью трех попарно различных прямых n, m, l пучка O1 и их образов m, m′, l′ в пучке O2:

f: n m; m m′;  l l′

Прямые n, m′, l′  попарно различны, так как f не является перспективным отображением, поэтому точки O1=n∩m, O2=m∩m′ и O3=n∩m′ не лежат на одной прямой, точка E=l∩ l′ не принадлежит прямым m, m′, n, следовательно, мы получим репер R = (O1, O2 , O3 ,E,).

Пусть X (x1,x2,x3) произвольная точка, не лежащая на сторонах трехвершинника O1O2O3 . По определению сложного отношения прямых (mn, l(O1 X)) = (O2O3,E1,X1), и (m′m, l′(O2 X)) = (O3O1,E2,X2) (см. рисунок 3).

В репере R2 = (O2, O3,E1) на координатной прямой  (O1O2) точка X1 имеет координаты  (x2, x3), поэтому (O2O3,E1,X1) = . Аналогично,  (O3O1,E2,X2) = . Таким образом, (, (O1X)) = (O2O3,E1,X1);   ((O2X)) = (O3O1,E2,X2).

Если Xγ, то в силу сохранения проективным отображением сложного отношения имеем

Поэтому , и мы получаем уравнение линии второго порядка:

(x1x2) - (x3)2 = 0 (16)

Если т.е. координаты точки Х не удовлетворяют уравнению (16).

Если точка X лежит на  сторонах трехвершинника O1O2O3, то ее координаты удовлетворяют уравнению (16), если, и только если Х совпадает с одной из точек O1(1,0,0) и O2(0,1,0), которые принадлежат множеству γ.

Уравнение (16) есть уравнение второй степени, ранг максимален, следовательно, оно определяет невыраженную линию второго порядка, на которой есть действительные точки O1 и O2, т.е. овальную линию.

7. Теоремы Паскаля и Брианшона

Пусть шесть точек A1, A2,…, A6 заданы на овальной линии второго порядка. Тогда три точки пересечения прямых (A1, A5) и (A2, A4), (A3, A4) и (A1, A6), (A2, A6) и (A3, A5) лежат на одной прямой.

Если шестивершинник есть любая шестизвенная замкнутая ломанная, а под сторонами шестивершинника понимают прямые, содержащие звенья ломанной, то теорему Паскаля можно сформулировать следующим образом.

Теорема 5. Теорема Паскаля

Противолежащие стороны шестивершинника, вписанного в овальную линию второго порядка, пересекаются в точках, лежащих на одной прямой.

Рисунок 4.

Доказательство:

Пусть вершины шестивершинника A1A2A3A4A5A6 лежат на овальной линии γ. Докажем, что точки O = (A1A6) ∩ (A3A4), N = (A2A4) ∩ (A1A5) и N′ = (A2A6) ∩ (A3A5) лежат на одной прямой.

 

Рисунок 5.

 

Пусть f – проективное отображение пучков с центрами A1 и A3, которое устанавливается овальной линией γ согласно теореме Штейнера. Отображение f порождает проективное отображение φ: (A2, A4)→(A2, A6), в которой каждой точке  Х1 на (A2, A4) соответствует точка Х2 прямой (A2,A6), такая, что прямые (A1, Х1) и (A3,Х2) пересекаются в точке Х, принадлежащей линии γ. Поскольку φ(A2)= A2, то φ – перспективное отображение, центром его является точка O, причем N′ = φ(N), следовательно N, O, N′ принадлежат одной прямой.

Теорема 6. Обратная теорема Паскаля

Если точки пересечения противоположных сторон шестивершинника лежат на одной прямой, то все его вершины лежат на овальной линии второго порядка.

«Двойственной к теореме Паскаля является следующая»[1]

 

Теорема 7. Теорема Брианшона

Шестивершинник описан около овальной линии второго порядка тогда и только тогда, когда его большие диагонали пересекаются в одной точке.

Рисунок 6.

Рассмотрим частные случаи теорем Паскаля и Брианшона.

Представим себе, что точки определяющие какую-нибудь сторону вписанного шестивершинника, сливаются, тогда эта сторона превращается в касательную и получается фигура, изображенная на  рисунке 7.

Рисунок 7.

 

Теорема 8

Касательная к линии второго порядка, проведенная в одной из вершин вписанного пятивершинника, пересекается со стороной, противоположной этой вершине, в точке, которая лежит на прямой, проходящей через точки пересечения остальных пар несмежных сторон этого пятивершинника.

Двойственную этому предельному случаю теорему Брианшона получим, полагая, что две смежные стороны описанного шестисторонника сливаются в одну, а общая их вершина превращается в точку прикосновения.

 

 

Теорема 9

Прямая, соединяющая точку касания одной из сторон описанного пятисторонника с противоположной вершиной, проходит через общую точку прямых, соединяющих остальные две пары несмежных вершин этого пятисторонника.

Рисунок 8

 

8. Примеры задач

№1

Даны пять точек кривой 2-го порядка. Построить касательную к кривой в одной из них.

 

Решение:

Рисунок 9

Пусть А, В, С, D, Е - данные пять точек.

Требуется построить касательную к кривой в точке Е.

1. Построим пятиугольник ABCDE и обозначим его стороны теми же (строчными) буквами, что и противоположные вершины (рис. 9).
2. В силу теоремы 5 точки пересечения двух пар несмежных сторон пятиугольника и пятой стороны с касательной, в противоположной вершине коллинеарны.
3. В данном случае пятой, стороной является е, а остальные четыре стороны можно разбить на две пары несмежных единственным образом: а, с и b, d.
4. Построим точки ас = Х и bd = У
5. Построим прямую Паскаля ХY. Пусть XY∙е = Z, тогда прямая EZ есть искомая касательная.

 

№2

Даны две стороны трехсторонника, описанного около кривой 2-го порядка, точки касания этих сторон и точка Брианшона. Построить третью сторону.

Решение:

Рисунок 10

Пусть z и x данные две стороны, B₀ - точка Брианшона, C, B - точки касания.

Требуется построить сторону y.

1. В силу теоремы Брианшона прямые, соединяющие вершины трехсторонника с точками касания противоположных сторон, пересекаются в одной точке.
2. z∙x=A, где А одна из вершин трехсторонника. bb₀∙z=B, cb₀∙x= C.
3. Прямая BC = y и будет третьей стороной, точкой касания будет точка а, т.к Ab₀ ∙ y = a.

№3

Овальная кривая второго порядка задана четырьмя точками и касательной в одной из них.

а) Построить касательную к кривой в одной из данных точек;

б) Построить еще одну точку кривой.

Решение:

Рисунок 11

Пусть заданы точки , , , , и прямая – касательная к кривой в точке .

1. Построим касательную к кривой в точке B. Примем точки и за центры пучков и , порождающих кривую (следствие теоремы Штейнера). В проективном отображении , которое переводит прямые , , соответственно в прямые , , , касательной к кривой в точке является прямая . Задача сводится к построению образа прямой в заданном проективном отображении . Для этого построим точку – центр перспективного отображения . Находим далее , . Прямая – искомая касательная.
2. Возьмем произвольную прямую и найдем . Тогда по теореме Штейнера .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Заключение

«В начале своего возникновения проективная геометрия имела довольно ограниченную область приложений, связанную, главным образом, с теорией проектирования фигур в евклидовом пространстве. Однако по мере накопления фактов эта ветвь геометрии постепенно освобождалась от метрических понятий и превратилась в самостоятельную дисциплину, изучающую свойства взаимного расположения геометрических фигур». [2]

Мы же рассмотрели линии второго порядка, их свойства, теоремы Штейнера, Паскаля и Брианшона, практические задачи с линиями второго порядка в проективной плоскости.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Список использованной литературы

1. Исаева М.А., Мартынюк А.Н., Матвеев О.А., Птицына И.В., Введение в действительную проективную геометрию. Учебное пособие. – М.: Издательство МГОУ,  2010,  135с.
2. Атанасян Л.С., Гуревич Г.Б. Геометрия, ч. 2. – М.: Просвещение, 1976.
3. Атанасян Л.С., Базылев В.Т. Геометрия. Ч.2 - М.: Просвещение, 1987. -352 с.

4. Певзнер С.Л. Проективная геометрия. – М.: Просвещение, 1980.

5. Абруков Д.А., Электронный учебник по реометрии, ч.2 – Чебоксары: ЧГПУ, 2012.