Планирование инвестиций в условиях неопределенности и риска

Содержание

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

В практической деятельности весьма часто приходится рассматривать явления и ситуации, в которых участвуют две или более стороны, имеющие различные интересы и обладающие возможностями применять для достижения своих целей разнообразные действия. Подобные явления и ситуации принято называть конфликтными или просто конфликтами.

Конфликтная ситуация, взятая из реальной жизни, как правило, довольно сложна. К тому же ее изучение затруднено наличием разных обстоятельств, часть из которых не оказывает сколько-нибудь существенного влияния ни на развитие конфликта, ни на его исход. Поэтому для того чтобы анализ конфликтной ситуации оказался возможным, необходимо отвлечение от этих второстепенных факторов, что при удачном стечении обстоятельств позволяет построить упрощенную формализованную модель конфликта, которую и принято называть игрой. От реальной конфликтной ситуации игра отличается еще и тем, что ведется по вполне определенным правилам.

Необходимость изучения и анализа конфликтов, представляемых в виде упрощенных математических моделей (игр), вызвала к жизни специальный  математический аппарат – теорию игр.

В последние годы значение теории игр существенно возросло во многих областях экономических и социальных наук. В экономике она применима не только для решения общехозяйственных задач, но и для анализа стратегических проблем предприятий, разработок организационных структур и систем.

Целью данной работы является изучение основных понятий теории игр.

Для реализации поставленной цели можно выделить следующие задачи:

- рассмотреть основные  понятия игр, игровые методы

- познакомиться с планированием инвестиций в условиях неопределенности и риска.

1 Основные понятия игр

 

 

 

Чтобы описать игру, необходимо сначала выявить ее участников. Это  условие легко выполнимо, когда  речь идет об обычных играх типа шахмат, и т.п. Иначе обстоит дело с «рыночными играми». Здесь не всегда просто распознать всех игроков, т.е. действующих или потенциальных конкурентов. Практика показывает, что не обязательно идентифицировать всех игроков, надо обнаружить наиболее важных.

Игры охватывают, как  правило, несколько периодов, в течение  которых игроки предпринимают последовательные или одновременные действия. Эти действия обозначаются термином «ход». Действия могут быть связаны с ценами, объемами продаж, затратами на научные исследования и разработки и т.д. Периоды, в течение которых игроки делают свои ходы, называются этапами игры. Выбранные на каждом этапе ходы в конечном счете определяют «платежи» (выигрыш или убыток) каждого игрока, которые могут выражаться в материальных ценностях или деньгах (преимущественно дисконтированная прибыль).

Еще одним основным понятием данной теории является стратегия игрока. Под ней понимаются возможные действия, позволяющие игроку на каждом этапе игры выбирать из определенного количества альтернативных вариантов такой ход, который представляется ему «лучшим ответом» на действия других игроков. Относительно концепции стратегии следует заметить, что игрок определяет свои действия не только для этапов, которых фактически достигла конкретная игра, но и для всех ситуаций, включая и те, которые могут и не возникнуть в ходе данной игры.

Важна и форма предоставления игры. Обычно выделяют нормальную, или матричную, форму и развернутую, заданную в виде дерева. Эти формы для простой игры представлены на рис. 1 и 2.

 

Рис.1. – Нормальная форма  игры

 

 

Рис.2. – Развернутая  форма игры

 

Чтобы установить первую связь со сферой управления, игру можно описать следующим образом. Два предприятия, производящие однородную продукцию, стоят перед выбором. В одном случае они могут закрепиться на рынке благодаря установлению высокой цены, которая обеспечит им среднюю картельную прибыль ПK. При вступлении в жесткую конкурентную борьбу оба получают прибыль ПW. Если один из конкурентов устанавливает высокую цену, а второй – низкую, то последний реализует монопольную прибыль ПM, другой же несет убытки ПG. Подобная ситуация может, например, возникнуть когда обе фирмы должны объявить свою цену, которая впоследствии не может быть пересмотрена.

При отсутствии жестких  условий обоим предприятиям выгодно  назначить низкую цену. Стратегия «низкой цены» является доминирующей для любой фирмы: вне зависимости от того, какую цену выбирает конкурирующая фирма, самой всегда предпочтительней устанавливать низкую цену. Но в таком случае перед фирмами возникает дилемма, так как прибыль ПK (которая для обоих игроков выше, чем прибыль ПW) не достигается.

Стратегическая комбинация «низкие цены/низкие цены» с соответствующими платежами представляет собой равновесие Нэша, при котором ни одному из игроков невыгодно отходить от выбранной стратегии. Подобная концепция равновесия является принципиальной при разрешении стратегических ситуаций, но при определенных обстоятельствах она все же требует усовершенствования.

Что касается указанной  выше дилеммы, то ее разрешение зависит, в частности, от оригинальности ходов  игроков. Если предприятие имеет  возможность пересмотреть свои стратегические переменные (в данном случае цену), то может быть найдено кооперативное решение проблемы даже без жесткого договора между игроками. Интуиция подсказывает, что при многократных контактах игроков появляются возможности добиться приемлемой «компенсации». Так, при известных обстоятельствах нецелесообразно стремиться к краткосрочным высоким прибылям путем ценового демпинга, если в дальнейшем может возникнуть «война цен».

Как отмечалось, оба рисунка  характеризуют одну и ту же игру. Предоставление игры в нормальной форме в обычном случае отражает «синхронность». Однако это не означает «одновременность» событий, а указывает на то, что выбор стратегии игроком осуществляется в условиях неведения о выборе стратегии соперником. При развернутой форме такая ситуация выражается через овальное пространство (информационное поле).

 

2 Игровые методы

 

 

В игре с нулевой  суммой сумма выигрышей игроков всегда равна нулю. Плательщиком выигрыша первого игрока является второй игрок. Таким образом, какая-либо кооперация между ними не возможна.

 

Игра двух лиц с нулевой суммой (условие):

 

• имеются два игрока,  стратегии одного из которых расположены по строкам (первый игрок), а другого по столбцам (второй игрок);
• каждый игрок выбирает одну из своих стратегий независимо от другого: первый одну из т стратегий, второй одну из п;
• если первый игрок выбирает стратегию i, а второй стратегию j, то первый игрок получает выигрыш a_ij, который интерпретируется как платеж от второго игрока.

Такая игра называется игрой  двух лиц с нулевой суммой и представляется в виде матрицы игры (табл. 2.1), которая содержит выигрыши первого игрока (или, как отмечалось, проигрыши второго игрока)

Таблица 2.1

 

	Стратегия 1 Игрока 2	Стратегия 2 Игрока 2	…	Стратегия п Игрока 2
Стратегия 1 Игрока 1	a11	a12	…	a1n
Стратегия 2   Игрока 1	a21	a22	…	a2n
…	…	…	…	…
Стратегия т Игрока 1	am1	am2	…	amn

 

В табл. 2.2 приведена некоторая конкретная матрица игры, согласно которой выигрыш первого игрока составит 2 единицы, если первый игрок выберет свою вторую стратегию, а второй игрок свою первую стратегию.

 

 

Таблица 2.2

 

	Стратегия 1	Стратегия 2	Стратегия 3	Стратегия 4
Стратегия 1	1	2	3	-1
Стратегия 2	2	1	-2	0

 

В игре с нулевой суммой сумма выигрышей игроков всегда равна нулю. Как уже отмечалось, плательщиком выигрыша первого игрока является второй игрок. Таким образом, какая-либо кооперация между ними не возможна.

 

Верхнее и нижнее значение игры, условие  седловой точки

 

Предполагается, что каждый из игроков знает стратегию  своего противника и платежную матрицу игры. Рассмотрим с этой точки зрения некоторую конкретную игру (табл. 2.3).

Таблица 2.3

 

	Стратегия 1	Стратегия 2	Стратегия 3	Минимум по строкам
Стратегия 1	4	4	10	4
Стратегия 2	2	3	1	1
Стратегия 3	6	5	7	5
Максимум  по столбцам	6	5	10

 

Как должен играть первый игрок? Если первый игрок выберет свою первую стратегию, то второй игрок, очевидно, выберет первую или вторую, поскольку в этом случае его потери будут минимальными - 4 единицы. Значение «4» является минимальным в первой строке. Рассуждая аналогично, легко видеть, что если первый игрок выбирает свою третью стратегию, то второй выбирает 3-ю, проигрывая при этом 1. Если первый игрок выбирает стратегию 2, то второй стратегию 2 с проигрышем 5. В крайнем правом столбце таблицы записаны минимумы по строкам. Логично предположить, что первый игрок будет выбирать стратегию, обеспечивающую ему выигрыш максимального из этих значений.

Мы показали, что первый игрок может гарантированно выиграть по крайней мере 5 единиц. Он понимает, что на большее он рассчитывать не может, так как, выбирая стратегию 2, второй игрок обеспечивает выигрыш первого не более 5.

Матрица, которую мы рассматриваем, удовлетворяет условию седловой точки:

max (минимумы  по строкам) = min (максимум по столбцам). Справедливо следующее:

Матрица удовлетворяет условию седловой точки в том случае, если: max (минимумы по строкам) = min (максимум по столбцам)

        или                

Величина называется нижней ценой игры, или максимальным гарантированным выигрышем первого игрока (максимином).

Величина  называется верхней ценой игры, или минимальным гарантированным проигрышем второго игрока (минимаксом).

 

Аналитическое решение игры 2x2

 

Рассмотрим игру размера 2x2, которая является простейшим случаем  конечной игры. Для игры 2x2 любая чистая стратегия противника является активной, если отсутствует седловая точка. Доминируемые стратегии могут быть исключены, при этом цена игры не изменяется. Доминирование можно распространить и на смешанные стратегии.

 

Доминирование стратегий

 

Говорят, что некоторая  стратегия i первого игрока (задается i-й строкой платежной матрицы) доминируется некоторой другой стратегией k первого игрока, если все элементы строки i не больше соответствующих элементов строки k, а именно: a_ij <= a_kj, j= 1, ..., n. Аналогичное определение можно привести и для стратегий второго игрока, а именно: некоторая стратегия j второго игрока (задается j-м столбцом платежной матрицы) доминируется некоторой другой стратегией k второго игрока, если все элементы столбца j не меньше соответствующих элементов столбца k, а именно: a_ij <= a_ik, i= 1, ..., m

Доминирование представляет отношение между стратегиями, наличие  которого во многих практических случаях  дает возможность сократить размеры  исходной платежной матрицы игры. Это следует из того факта, что доминируемые стратегии могут быть исключены, при этом цена игры не изменяется.

Рассмотрим это понятие  на примере матрицы:

Рассуждая с позиции  игрока 2, можно обнаружить преимущество его третьей стратегии перед второй, поскольку при первой стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -3 (вторая стратегия) и 1 (третья стратегия), а при второй стратегии игрока 1 выигрыш игрока 2 равен -2 (вторая стратегия) и -0,5 (третья стратегия). Таким образом, при любой стратегии игрока 1 игроку 2 выгоднее применять свою третью стратегию по сравнению со второй. При наличии третьей стратегии игрок 2, если он стремится играть оптимально, никогда не будет использовать свою вторую стратегию, поэтому ее можно исключить из игры, т.е. в исходной платежной матрице можно вычеркнуть 2-й столбец:

С позиции игрока 1 его  первая стратегия оказывается хуже второй, так как по первой стратегии он только проигрывает. Поэтому первую стратегию можно исключить, а матрицу игры преобразовать к виду:

Учитывая интересы игрока 2, следует оставить только его первую стратегию, поскольку, выбирая вторую стратегию, игрок 2 оказывается в  проигрыше (0,5 — выигрыш игрока 1), и матрица игры принимает простейший вид: (0), т.е. имеется седловая точка. Доминирование можно распространить и на смешанные стратегии.