Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

Министерство образования Российской Федерации

Санкт-Петербургский государственный горный институт им. Г.В. Плеханова

(технический университет)

 

 

 

 

 

КУРСОВАЯ РАБОТА

 

 

По дисциплине     ИНФОРМАТИКА

(наименование учебной дисциплины  согласно учебному плану)

   

 

ПОЯСНИТЕЛЬНАЯ ЗАПИСКА

 

Тема: Аппроксимация функций методом наименьших квадратов

 

Автор: студент гр.   ЭГ-10-1455                /________________/ Кузьмина В.Б.                     (подпись)           (Ф.И.О.)

 

 

ОЦЕНКА: _____________

 

Дата: ___________________

 

ПРОВЕРИЛ

 

Руководитель проекта   ст. преподаватель       /________________/  

                  (должность)                            (подпись)                                     (Ф.И.О.)

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Санкт-Петербург

2012 год 

Аннотация.

 

Пояснительная записка представляет собой отчет о выполнении курсовой работы. В ней рассматриваются вопросы по получению эмпирических формул методом наименьших квадратов (МНК). Расчеты проведены средствами пакета Microsoft Excel.

 

The Summary

The explanatory note presents a report: in which we discuss questions of the construction of the empirical formulas using method of the least squares in Microsoft Excel.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Оглавление

 

Введение……………………………………………………………………………………5            

1. Постановка задачи…………………………………………………………………6
2. Расчетные формулы……………………………………………………………….7
1. Построение эмпирических формул  методом наименьших квадратов……7
2. Линеаризация экспоненциальной зависимости…………………………….9
3. Элементы теории корреляции………………………………………………10
3. Расчет коэффициентов аппроксимации в Microsoft Excel…………………….13

3.1. Аппроксимация функции y = f(х) многочленом первой степени ……………………………………………………………….13                                                                                                                                                                            

3.2.   Аппроксимация  многочленом второй степени

  ……………………………………………………….16

3.3. Аппроксимация экспоненциальной зависимостью ……………17

3.4. Расчет коэффициентов  детерминированности и корреляции……………19

4. Построение графиков функций и использование функции ЛИНЕЙН……….23

4.1. Построение графика  зависимости…………………………………………..23

4.2. Построение линии тренда…………………………………………………...23

4.3. Получение числовых  характеристик зависимости………………………...25

Заключение……………………………………………………………………………….27

Список литературы………………………………………………………………………28

 

 

 

 

 

 

 

 

Введение

 

Аппроксимация, или приближение — математический метод, состоящий в замене одних математических объектов другими, в том или ином смысле близкими к исходным, но более простыми. В нашем случае, аппроксимация заключается в том, что используя имеющуюся информацию по f(x) можно рассмотреть другую функцию φ(y) близкую в некотором смысле к f(x), позволяющую выполнить над ней соответствующие операции и получить оценку  погрешность такой замены.

       Аппроксимация  позволяет исследовать числовые  характеристики и качественные  свойства объекта, сводя задачу  к изучению более простых или  более удобных объектов (например, таких, характеристики которых легко  вычисляются, или свойства которых  уже известны).

        Как известно, между величинами может существовать  точная (функциональная) связь, когда  одному значению аргумента соответствует  одно определенное значение, и  менее точная (корреляционная) связь, когда одному конкретному значению  аргумента соответствует приближенное  значение или некоторое множество  значений функции, в той или  иной степени близких друг  к другу.

      При  выборе  аппроксимации  следует  исходить  из  конкретной   задачи исследования. Обычно,  чем  более  простое   уравнение   используется   для аппроксимации, тем более  приблизительно  получаемое  описание  зависимости. Поэтому важно  считывать, насколько существенны  и чем обусловлены  отклонения  конкретных  значений  от  получаемого  тренда. Также очень важно уловить  общую  закономерность,  которая  в  данном случае  наиболее  логично  и  с  приемлемой  точностью   выражается   именно двухпараметрическим  уравнением степенной  функции. 

1. Постановка задачи.

 

Во всех вариантах требуется:

1. Используя метод наименьших  квадратов функцию  , заданную таблично, аппроксимировать

а) многочленом первой степени ;

б) многочленом второй степени ;

в) экспоненциальной зависимостью .

2. Для каждой зависимости вычислить  коэффициент детерминированности.

3. Вычислить коэффициент корреляции (только в случае а).

4. Для каждой зависимости построить  линию тренда.

5. Используя функцию ЛИНЕЙН вычислить  числовые характеристики          зависимости y от x.

       6. Сравнить свои вычисления с результатами, полученными при помощи функции ЛИНЕЙН.

7. Сделать вывод, какая из полученных  формул наилучшим образом аппроксимирует  функцию  .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2. Расчетные  формулы.

2.1. Построение эмпирических формул  методом наименьших квадратов

 

Очень часто, особенно при анализе эмпирических данных возникает необходимость найти в явном виде функциональную зависимость между величинами x и y , которые получены в результате измерений.

При аналитическом исследовании взаимосвязи между двумя величинами x и y производят ряд наблюдений и в результате получается таблица значений:

 

x			¼		¼
y			¼		¼

 

Эта таблица обычно получается как итог каких-либо экспериментов, в которых (независимая величина) задается экспериментатором, а получается в результате опыта. Поэтому эти значения будем называть эмпирическими или опытными значениями.

Между величинами x и y существует функциональная зависимость, но ее аналитический вид обычно неизвестен, поэтому возникает практически важная задача - найти эмпирическую формулу

                                                   (2.1.1)

(где  - параметры), значения которой при возможно мало отличались бы от опытных значений .

Обычно указывают класс функций (например, множество линейных, степенных, показательных и т.п.) из которого выбирается функция , и далее определяются наилучшие значения параметров.

Если в эмпирическую формулу (2.1.1) подставить исходные , то получим теоретические значения , где .

Разности называются отклонениями и представляют собой расстояния по вертикали от точек   до графика эмпирической функции.

Согласно методу наименьших квадратов наилучшими коэффициентами   считаются те, для которых сумма квадратов отклонений найденной эмпирической функции от заданных значений функции

                                 (2.1.2)

будет минимальной.

Поясним геометрический смысл метода наименьших квадратов.

Каждая пара чисел из исходной таблицы определяет точку на плоскости . Используя формулу (2.1.1) при различных значениях коэффициентов можно построить ряд кривых, которые являются графиками функции (2.1.1). Задача состоит в определении коэффициентов таким образом, чтобы сумма квадратов расстояний по вертикали от точек до графика функции (2.1.1) была наименьшей.

Построение эмпирической формулы состоит из двух этапов: выяснение общего вида этой формулы и определение ее наилучших параметров.

Если неизвестен характер зависимости между данными величинами x и y , то вид эмпирической зависимости является произвольным. Предпочтение отдается простым формулам, обладающим хорошей точностью. Удачный выбор эмпирической формулы в значительной мере зависит от знаний исследователя в предметной области, используя которые он может указать класс функций из теоретических соображений. Большое значение имеет изображение полученных данных в декартовых или в специальных системах координат (полулогарифмической, логарифмической и т.д.). По положению точек можно примерно угадать общий вид зависимости путем установления сходства между построенным графиком и образцами известных кривых.

Определение наилучших коэффициентов входящих в эмпирическую формулу производят хорошо известными аналитическими методами.

Для того, чтобы найти набор коэффициентов , которые доставляют минимум функции S , определяемой формулой (2.1.2), используем необходимое условие экстремума функции нескольких переменных - равенство нулю частных производных.  В результате получим нормальную систему для определения коэффициентов :

                              (2.1.3)

Таким образом, нахождение коэффициентов сводится к решению системы (2.1.3).

Эта система упрощается, если эмпирическая формула (2.1.1) линейна относительно параметров , тогда система (2.1.3) - будет линейной.

Конкретный вид системы (2.1.3) зависит от того, из какого класса эмпирических формул мы ищем зависимость (2.1.1). В случае линейной зависимости система (2.1.3) примет вид:

             (2.1.4)

Эта линейная система может быть решена любым известным методом (методом Гаусса, простых итераций, формулами Крамера).

В случае квадратичной зависимости система (2.1.3) примет вид:

                                  (2.1.5)

 

 

2.2. Линеаризация экспоненциальной зависимости

 

В ряде случаев в качестве эмпирической формулы берут функцию в которую неопределенные коэффициенты  входят нелинейно. При этом иногда задачу удается линеаризовать, т.е. свести к линейной. К числу таких зависимостей относится экспоненциальная зависимость

                                                           (2.2.1)

где и неопределенные коэффициенты.

Линеаризация достигается путем логарифмирования равенства (2.2.1), после чего получаем соотношение

                                                       (2.2.2)

Обозначим и соответственно через и , тогда зависимость (2.2.1) может быть записана в виде , что позволяет применить формулы (2.1.4) с заменой на и на .

 

2.3. Элементы теории корреляции

 

График восстановленной функциональной зависимости по результатам измерений называется кривой регрессии. Для проверки согласия построенной кривой регрессии с результатами эксперимента обычно вводят следующие числовые характеристики: коэффициент корреляции (линейная зависимость), корреляционное отношение и коэффициент детерминированности. При этом результаты обычно группируют и представляют в форме корреляционной таблицы. В каждой клетке этой таблицы приводятся численности тех пар , компоненты которых попадают в соответствующие интервалы группировки по каждой переменной. Предполагая длины интервалов группировки (по каждой переменной) равными между собой, выбирают центры (соответственно ) этих интервалов и числа в качестве основы для расчетов.

Коэффициент корреляции является мерой линейной связи между зависимыми случайными величинами: он показывает, насколько хорошо в среднем может быть представлена одна из величин в виде линейной функции от другой.

Коэффициент корреляции вычисляется по формуле:

,                                              (2.3.1)

где    , и ¾ среднее арифметическое значение соответственно по x и y.

Коэффициент корреляции между случайными величинами по абсолютной величине не превосходит 1. Чем ближе к 1, тем теснее линейная связь между x и y.