Системы массового обслуживания

 

 

Табл.1

Часы работы	День недели
	пятница			суббота			воскресенье
	оче-редь,	количество покупателей без покупок		оче-редь,	количество покупателей без покупок		оче-редь,	количество покупателей без покупок
		чел.	%		чел.	%		чел.	%
с 9 до 10	2	38	5	5	60	5,4	7	64	4,2
с 10 до 11	3	44	5,3	5	67	5	6	62	3,7
с 11 до 12	3	54	6,5	4	60	5,8	7	121	8,8
с 12 до 13	2	43	4,9	4	63	5,5	8	156	10
с 14 до 15	2	48	5,5	6	79	6,7	7	125	6,5
с 15 до 16	3	61	7,3	6	97	6,4	5	85	7,2
с 16 до 17	4	77	7,1	8	140	9,7	5	76	6
с 17 до 18	5	91	6,8	7	92	8,4	4	83	7,2
с 18 до 19	5	130	7,3	6	88	5,9	7	132	8
с 19 до 20	6	105	7,6	6	77	6
с 20 до 21	6	58	7	5	39	4,4
Итого		749	6,5		862	6,3		904	4,5

В организации работы кассового  узла универсама имеется еще одна важная особенность, которая значительно  влияет на его пропускную способность: наличие экспресс-касс (одной-двух покупок). Изучение структуры потока покупателей  в универсамах по типу кассового  обслуживания показывает, что поток  оборот составляет 12,9% (табл. 2).

Табл. 2

Дни недели	Потоки покупателей			Товарооборот
	всего	по экспресс-кассам	% к дневномупотоку	всего	по экспресс-кассам	% к дневному товарообороту
Летний период
Понедельник	11182	3856	34,5	39669,2	3128,39	7,9
Вторник	10207	1627	15,9	38526,6	1842,25	4,8
Среда	10175	2435	24	33945	2047,37	6
Четверг	10318	2202	21,3	36355,6	1778,9	4,9
Пятница	11377	2469	21,7	43250,9	5572,46	12,9
Суббота	10962	1561	14,2	39873	1307,62	3,3
Воскресенье	10894	2043	18,8	35237,6	1883,38	5,1
Зимний период
Понедельник	10269	1857	18,1	37121,6	2429,73	6,5
Вторник	10784	1665	15,4	38460,9	1950,41	5,1
Среда	11167	3729	33,4	39440,3	4912,99	12,49,4
Четверг	11521	2451	21,3	40000,7	3764,58	9,4
Пятница	11485	1878	16,4	43669,5	2900,73	6,6
Суббота	13689	2498	18,2	52336,9	4752,77	9,1
Воскресенье	13436	4471	33,3	47679,9	6051,93	12,7

Для окончательного построение математической модели процесса обслуживания с учетом перечисленных выше факторов необходимо определить функции распределения  случайных величин, а также случайные  процессы, описывающие входящие и  выходящие потоки покупателей:

1) функцию распределения  времени покупателей на выбор  товаров в зоне самообслуживания;

2) функцию распределения  времени работы контролера-кассира  для обычных касс и экспресс-касс;

3) случайный процесс, описывающий  входящий поток покупателей в  первую фазу обслуживания;

4) случайный процесс, описывающий  входящий поток во вторую фазу  обслуживания для обычных касс  и экспресс-касс.

Моделями для расчета  характеристик системы массового  обслуживания удобно пользоваться в  том случае, если входящий поток  требований в систему обслуживания является простейшим пуассоновским  потоком, а время обслуживания заявок распределено по экспоненциальному  закону.

Исследование потока покупателей  в зоне кассового узла показало, что для него может быть принят пуассоновский поток.

Функция распределения времени  обслуживания покупателей контролерами-кассирами  является экспоненциальной, такое допущение  не приводит к большим ошибкам.

Безусловный интерес представляет анализ характеристик обслуживания потока покупателей в кассовом узле универсама, рассчитанных для трех систем: с потерями, с ожиданием  и смешанного типа.

Расчеты параметров процесса обслуживания покупателей в кассовом узле проведены для коммерческого  предприятия торговой площадью S=650 на основе следующих данных.

Целевая функция может  быть записана в общем виде связи (критерия) выручки от реализации от характеристик СМО:

B=f max,

где - кассовый узел состоит из =7 касс обычного типа и =2 экспресс-касс,

всего n=9;

- интенсивность обслуживания покупателей  в зоне обычных касс – 0,823 чел./мин;

- интенсивность нагрузки кассовых  аппаратов в зоне обычных касс  – 6,65,

- интенсивность обслуживания покупателей  в зоне экспресс-касс – 2,18 чел./мин;

- интенсивность входящего потока  в зону обычных касс – 5,47 чел./мин

- интенсивность нагрузки кассовых  аппаратов в зоне экспресс-касс  – 1,63,

- интенсивность входящего потока  в зону экспресс-касс – 3,55 чел./мин;

- для модели СМО с ограничением  на длину очереди в соответствии  с проектируемой зоной кассового  узла максимально допустимое  число покупателей, стоящих в  очереди в одну кассу, принимается  равным m=10 покупателей.

Следует заметить, что для  получения сравнительно небольших  по абсолютной величине значений вероятности  потерь заявок и времени ожидания покупателей в кассовом узле необходимо соблюдать следующие условия:

В табл. 3 приведены результаты характеристик качества функционирования СМО в зоне расчетного узла.

Расчеты проведены для  наиболее напряженного периода времени  рабочего дня с 17 до 21 часа. Именно на этот период, как показали результаты обследований, приходится около 50% однодневного потока покупателей.

Из приведенных данных в табл. 3 следует, что если бы для  расчета была выбрана:

1. модель с отказами, то 22,6% потока покупателей, обслуживаемых обычными кассами, и соответственно 33,6% потока покупателей, обслуживаемых экспресс-кассами, должны были бы уйти без покупок;
2. модель с ожиданием, то потерь заявок в расчетном узле не должно бы быть;
3. модель с ограничением на длину очереди, то только 0,12% потока покупателей, обслуживаемых обычными кассами, и 1,8% потока покупателей, обслуживаемых экспресс-кассами, покинут торговый зал без покупок. Следовательно, модель с ограничением на длину очереди позволяет более точно и реально описать процесс обслуживания покупателей в зоне кассового узла.

 

 

Табл. 3

Тип кассы	Количество касс в узле	Тип СМО	Характеристики СМО
			Среднее число занятых касс,	среднее время ожидания обслуживания,	Вероятность потери заявок,
Обычные кассы	7	с отказами с ожиданием с ограничением на длину очереди	5,15 6,65     6,7	0 3     2,66	0,226 0     0,0012
Экспресс-кассы	2	с отказами с ожиданием с ограничением на длину очереди	1,08 1,17     1,6	0 0,91     0,84	0,336 0     0,018

 

Интерес представляет сравнительный  расчет мощности кассового узла как  с учетом экспресс-касс, так и без них. В табл. 4 приведены характеристики системы обслуживания кассового узла трех типоразмеров универсамов, рассчитанные по моделям для СМО с ограничением на длину очереди на наиболее напряженный период рабочего дня с 17 до 21 часа.

 

 

Табл. 4

№ п/п	Характеристики СМО	Единица измерения	Обозначение		Показатели, рассчитанные по типам универсамов  торговой площади, кв. м
					Без экспресс-касс						С учетом экспресс-касс
					650		1000		2000		650			1000			2000
											Обычные кассы		Экспресс-кассы	Обычные кассы		экспресс-кассы	Обычные кассы		экспресс-кассы
1	Количество покупателей	чел.	k		2310		3340		6680		1460		850	2040		1300	4080		2600
2	Интенсивность входящего потока	чел./ мин	λ		9,64		13,9		27,9		6,08		3,55	8,55		5,41	17,1		10,8
3	Интенсивность обслуживания	чел./мин	μ		0,823		0,823		0,823		0,823		2,18	0,823		2,18	0,823		2,18
4	Интенсивность нагрузки	-	ρ		11,7		16,95		33,8		6,65		1,63	10,35		2,48	20,7		4,95
5	Количество кассовых аппаратов	шт.	n		12		17		34		7		2	11		3	21		5
6	Общее количество касс расчетного узла	шт.		∑n		12		17		34		9			14			26