Определение моментов инерции твердых тел

Лабораторная  работа № 6

Определение моментов инерции

твердых тел

1. ЦЕЛЬ РАБОТЫ

    Определение моментов инерции набора тел. Проверка теоремы Гюйгенса - Штейнера.

2. ПРИБОРЫ И ПРИНАДЛЕЖНОСТИ

    Трифилярный подвес, крутильный (торсионный) маятник, грузы, секундомер, штангенциркуль, весы.

Вариант 1

4. Определение моментов  инерции твердых  тел и проверка теоремы гюйгенса - штейнера

с помощью трифилярного подвеса

4.1. описание рабочей установки и метода измерения

    Одним из методов экспериментального определения  момента инерции является метод крутильных колебаний трифилярно подвешенного диска (трифилярного подвеса).

    Трифилярный подвес состоит из большого диска Р, массой m, радиуса R (рис. 6.4), подвешенного на трех симметрично расположенных капроновых нитях, и малого неподвижного диска Р' радиусом r, укрепленного на кронштейне. При повороте нижнего диска Р вокруг вертикальной оси ОО' на некоторый угол возникает момент сил, стремящийся вернуть диск в положение равновесия. Диск Р начнет совершать крутильные ко-

лебания относительно оси ОО'. Если угол мал ( =1-5°), в этом случае можно считать, что диск совершает гармонические колебания.

    Гармоническим крутильным колебанием тела называется

периодическое движение относительно вертикальной оси, проходящей через центр тяжести этого тела, когда угол отклонения от положения равновесия изменяется по закону синуса или косинуса. Например:

.                              (6.8)

    Очевидно, что период колебаний подвеса будет зависеть от момента инерции системы (нижний диск и какое-либо тело на нем), а также от различных постоянных для данного трифилярного подвеса величин (длины нитей ℓ, радиусов верхнего и нижнего дисков r и R).

    

    Воспользуемся законом сохранения энергии для того, чтобы найти связь периода колебаний трифилярного подвеса с его моментом инерции. При повороте нижнего диска Р на некоторый угол α₀ относительно положения равновесия он поднимается на высоту Δh = h₁ – h₂ (рис. 6.5), при этом приращение потенциальной энергии равно:

ΔE_пот = mgΔh.                                     (6.9)

При вращении диска в другую сторону потенциальная энергия переходит в кинетическую энергию вращательного движения.

,                                    (6.10)

где J – момент инерции платформы; ω – угловая скорость платформы.

    В момент прохождения положения равновесия кинетическая энергия принимает максимальное значение. Тогда, пренебрегая работой сил трения, на основании закона сохранения механической энергии имеем:

,                                (6.11)

где ω_mах - угловая скорость платформы в момент достижения положения равновесия.

    Считая, что платформа совершает гармонические  колебания согласно (6.8), можно найти угловую скорость, взяв производную от α

.                   (6.12)

    В нашем случае , так как при t = 0, α = α₀.

    В момент прохождения через положения  равновесия ( и т.д.) абсолютное значение этой величины будет

.                                 (6.13)

    На  основании выражений (6.9), (6.10) и (6.11), (6.13)

.                           (6.14)

    Из  рис. 6.5 видно, что Δh можно выразить через параметры трифилярного подвеса:

R – радиус диска платформы;

ℓ - длина нитей подвеса;

r – радиус верхнего диска.

,

но

(ВС)² = (АВ)² – (АС)² = ℓ² – (r – R)²,

(ВС₁)² = (А₁В)² – (А₁С₁)² = ℓ² – (R² + r² – 2R×r×cos α₀),

следовательно,

.

При малых  углах отклонения sin α₀ можно заменить углом α, а ВС + ВС₁ = 2ℓ и получим:

.                                    (6.15)

Подставляя (6.15) в (6.14), можно записать:

.

Откуда

.                              (6.16)

Учитывая, что параметры (R, r, ℓ) во время опыта не изменяются, формулу (6.16) удобно записать в виде

J = k·m·T ²,                                   (6.17)

где                                        .

Формула позволяет вычислить момент инерции  платформы с телом и без по измеренной величине периода Т.

4.2. Экспериментальная часть

    Задание. 1. Определение моментов инерции набора твёрдых тел.

    1. Определите момент инерции ненагруженной  нижней платформы трифилярного подвеса J₀ по формулам (6.16), (6.17), где m_пл = 1,5 кг; R = 10,5 см; r = 4,5 см. Измерьте ℓ. Для расчета J₀ необходимо определить период крутильных колебаний установки:

    а) повернув платформу на небольшой угол α = 5°¸6^о в горизонтальной плоскости, создайте крутильные колебания;

    б) измерьте время t, за которое совершается п = 20-30 полных колебаний. Измеренные величины внесите в таблицу;

    в) определите период колебаний ;

    г) из трех Т определите Т_ср;

    д) по формулам (6.16), (6.17) рассчитайте J₀.

    2. Определите момент инерции тел: диска, бруска.

Для этого:

    а) тело поместите в центр платформы и проведите операции 1 а – д. В формуле (6.16) m = m_пл + m_тела. Определенное по

формуле экспериментальное значение

J = J₀ + J_тела

    б) рассчитайте (J_тела)_эксп = J– J₀;

    в) сравните (J_тела)_эксп, полученные из опыта со значениями, рассчитанными теоретически по формулам

 - для диска,

 - для бруска.

    Задание. 2. Проверка теоремы Гюйгенса - Штейнера.

Для проверки теоремы Гюйгенса - Штейнера выполните следующие действия:

    а) на одинаковом расстоянии d от центра платформы расположите одинаковые грузы (цилиндры) и проделайте операции 1 а – д.

    

    В формуле (6.16) m = m_пл + 2m_гр. Определенное по формуле экспериментальное значение:

J = J₀ + 2J_гр;

б) рассчитайте  ;

    в) если теорема Штейнера выполняется, то

     ;                   (6.18)

    г) совпадение значения (J_гр)_эксп со значением (J_гр)_теор, рассчитанным по формуле (6.18), в пределах погрешности эксперимента, доказывает истинность теоремы Гюйгенса - Штейнера.

Контрольные вопросы и задания

    1. Сформулируйте цель работы.

    2. Какая физическая величина называется моментом инерции материальной точки, твердого тела?

    3. Каков физический смысл понятия момента инерции?

    4. Запишите формулу моментов инерции кольца, диска, цилиндра, шара, бруска относительно оси, проходящей через центр масс этих тел.

5. Сформулируйте теорему Гюйгенса - Штейнера.

    6. Какое движение называется колебательным? Какие колебания называются гармоническими?

    7. Дайте определение амплитуды, периода, частоты, фазы колебаний.

    8. Как связаны между собой период и частота колебаний?

    9. Опишите рабочую установку и ход эксперимента.

    10. Какие колебания называются крутильными?

    11. Выведите формулу периода колебаний трифилярного подвеса.

Вариант 2

    5. ОПРЕДЕЛЕНИЕ МОМЕНТА  ИНЕРЦИИ ТЕЛА

    С ПОМОЩЬЮ КРУТИЛЬНОГО

    (ТОРСИОННОГО) МАЯТНИКА

5.1. описание метода измерения

    Тело, момент инерции которого необходимо определить относительно некоторой оси вращения ОО¢, проходящей через центр симметрии С тела, жестко скрепляют с этой осью. В качестве оси используют упругий материал, например стальную тонкую проволоку. Если концы оси зафиксировать, то тело с такой осью можно рассматривать как крутильный (торсионный) маятник. Такой маятник, выведенный из состояния равновесия, будет совершать колебания вокруг оси ОО′ с периодом

.                                  (6.19)

    Здесь c называется коэффициентом угловой жесткости или модулем кручения подвеса (оси). Численно c выражает величину момента силы, возникающего в материале при его закручивании на единичный угол. Для тела, момент инерции J_х которого необходимо определить в опыте, период колебаний будет иметь величину T₀

     .                                (6.19а)

    Если  коэффициент угловой жесткости  известен, то J_Х легко определить из формулы (6.19а). Однако часто коэффициент угловой жесткости неизвестен. Тогда при определении момента инерции тела J_Х, чтобы исключить из формулы (6.19а) c, поступают следующим образом: добавляют к телу, момент инерции которого определяют, дополнительное эталонное тело правильной геометрической формы, момент инерции J_этал. которого относительно оси ОО¢ маятника легко вычислить по теореме Гюйгенса – Штейнера. Период колебаний такого усложненного маятника станет равным